定點、定值、探索性問題

1、考點11 定點、定值、探索性問題1. （15泰州一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，離心率為的橢圓C： +=1（ab0）的左頂點為A，過原點O的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓C交于P，Q兩點，直線PA，QA分別與y軸交于M，N兩點若直線PQ斜率為時，PQ=2（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試問以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點（與直線PQ的斜率無關(guān)）？請證明你的結(jié)論第1題 JSY29【考點】 直線與圓錐曲線的綜合問題【解】（1）設(shè)，直線PQ斜率為時，化為聯(lián)立，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）以MN為直徑的圓過定點下面給出證明：設(shè)，則，且，即，A（2，0），直線PA方程為：，直線QA方程為：，以MN為直徑的圓

2、為即，令y=0，解得，以MN為直徑的圓過定點2. （15淮安市金湖中學(xué)高三上學(xué)期第一次學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試卷）已知橢圓E：的左焦點為F，左準(zhǔn)線l與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O，設(shè)G是圓C上任意一點（1）求圓C的方程；（2）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；（3）在平面上是否存在一點P，使得？若存在，求出點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【考點】圓與圓錐曲線的綜合；橢圓的簡單性質(zhì)【解】（1）a=，b=2 c=2左準(zhǔn)線方程為x=4圓心為（4，0）圓C恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O故半徑為4圓C的方程為（2）由題意知，得G（3，），代入，得y=所以FG的斜率

3、為k=，F(xiàn)G的方程為y=（x+2）所以C（4，0）到FG的距離d=，直線FG被圓C截得弦長為故直線FG被圓C截得弦長為7（3）設(shè)P（s，t），G（），則由，得，整理得又G（）在圓C：上，所以代入得又G（）為圓C上任意一點可知，2s8=0，2t=0，解得s=4，t=0所以在平面上存在一點P，其坐標(biāo)為（4，0）3. (15江陰市高三上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓和圓（1）若直線l過點A（4，1），且被圓截得的弦長為，求直線l的方程；（2）是否存在一個定點P，使過P點有無數(shù)條直線l與圓和圓都相交，且l被兩圓截得的弦長相等，若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【考點】直線和

4、圓的方程的應(yīng)用；直線的一般式方程【解】（1）由于直線x=4與圓不相交，所以直線l的斜率存在設(shè)直線l的方程為y=k（x4）1，圓的圓心到l的距離為d，則由得d=1由點到直線l的距離公式得，從而k（24k+7）=0.所以k=0或，所以直線l的方程為y=1或7x+24y4=0（2）假設(shè)存在，設(shè)點P的坐標(biāo)為P（a，b），l的方程為yb=k（xa），因為圓C1和圓C2的半徑相等，被l截得的弦長也相等，所以圓和圓到l的距離相等，即，整理得：，因為k的個數(shù)有無數(shù)多個，所以，解得綜上所述，存在滿足條件的定點P，且點P的坐標(biāo)為4. (15江陰市高三上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：（ab0）

5、的右準(zhǔn)線為直線l，動直線y=kx+m（k0，m0）交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為M，射線OM分別交橢圓及直線l于P，Q兩點，如圖若A，B兩點分別是橢圓E的右頂點，上頂點時，點Q的縱坐標(biāo)為（其中e為橢圓的離心率），且OQ=OM（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如果OP是OM，OQ的等比中項，那么是否為常數(shù)？若是，求出該常數(shù)；若不是，請說明理由JSY102第4題圖【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題【解】（1）橢圓E：（ab0）的右準(zhǔn)線為直線l，動直線y=kx+m（k0，m0）交橢圓于A，B兩點，當(dāng)A，B兩點分別是橢圓E的右頂點和上頂點時，則A（a，0），B（0，b），線段AB的中點為M，M（）射

6、線OM分別交橢圓及直線l于P，Q兩點，Q（），由O，M，Q三點共線，得，化簡，得b=1OQ=OM，化簡，得2a=由，解得橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1. （2）把y=kx+m，（k0，m0），代入=1，得 當(dāng)0，時，從而點M（）直線OM的方程y=由，得 OP是OM，OQ的等比中項，從而 由，得m=2k，從而，滿足0 為常數(shù)2 JSY103第4題圖5. （15南京師大附中高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷）已知拋物線D的頂點是橢圓C：的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合(1)求拋物線D的方程；(2)過橢圓C右頂點A的直線l交拋物線D于M、N兩點若直線l的斜率為1，求MN的長；是否存在垂直于x軸的直線m被以MA為直

7、徑的圓E所截得的弦長為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題【解】(1)由題意，可設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0)由a2b2=43=1，得c=1拋物線的焦點為(1，0)，p=2拋物線D的方程為(2)設(shè)M(，)，N(，)直線l的方程為：y=x4，聯(lián)立，整理得：，設(shè)存在直線m：x=a滿足題意，則圓心，過E作直線x=a的垂線，垂足為F，設(shè)直線m與圓E的一個交點為G可得：，即，當(dāng)a=3時，此時直線m被以MA為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值因此存在直線m：x=3滿足題意6. （15南京市湖濱中學(xué)高三上學(xué)期10月學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓

8、（ab0）的離心率為，右頂點為A，直線BC過原點O，且點B在x軸上方，直線AB與AC分別交直線l：x=a+1于點E、F（1）若點B，求ABC的面積；（2）若點B為動點，設(shè)直線AB與AC的斜率分別為、試探究：是否為定值？若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由；求AEF的面積的最小值A(chǔ)bc7第6題圖【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的應(yīng)用【解】（1）由題意得解得=2=8，則ABC的面積S=；（2）為定值，下證之：證明：設(shè)B（，），則C（，），且，而由（1）得=8，=4，所以=；設(shè)直線AB的方程為y=（xa），直線AC的方程為y=（xa），令x=a+1得， =， =，則AEF的面積，因為點B在

9、x軸上方，所以0，0，由=得（當(dāng)且僅當(dāng)=時等號成立）所以，AEF的面積的最小值為7. （15南通市如東縣栟茶高級中學(xué)高三上學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研）已知橢圓的左、右焦點分別為、，短軸兩個端點為A、B，且四邊形是邊長為2的正方形(1)求橢圓的方程；(2)若C、D分別是橢圓長的左、右端點，動點M滿足MDCD，連接CM，交橢圓于點P證明：為定值(3)在(2)的條件下，試問x軸上是否存異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由第7題圖 FGQ61【考點】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題【解】(1)a=2，b=c，；橢圓方程為.(2)C

10、(-2，0)，D(2，0)，設(shè)M(2，)，P(x1，y1)，則,直線CM：，即，代入橢圓方程，得 (定值)(3)設(shè)存在Q(m，0)滿足條件，則MQDP,則由，從而得m=0.存在Q(0，0)滿足條件.8（15宿遷市沭陽縣銀河學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)試卷）設(shè)橢圓方程+=1（ab0），橢圓上一點到兩焦點的距離和為4，過焦點且垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點，AB=2（1）求橢圓方程；（2）若M，N是橢圓C上的點，且直線OM與ON的斜率之積為，是否存在動點P（，），若=+2，有+2為定值【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題【解】（1）因為2a=4，所以，a=2，過焦點且垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點，AB

11、由橢圓的對稱性知，橢圓過點（c，1），即， 且=4，解得=2，橢圓方程為（2）存在這樣的點P（，）設(shè)M（，），N（，），則=，化簡為+2=0，M，N是橢圓C上的點，由=+2，得，=+2=（）+4（）+4（+2）=4+44+0=20，即存在這樣的點P（，）9. （15南京一中等五校聯(lián)考）已知橢圓C： （ab0）的離心率為，短軸長為4， 、為橢圓左、右焦點，點B為下頂點（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點P是橢圓C上第一象限的點若M為線段上一點，且滿足，求直線OP的斜率；設(shè)點O到直線、的距離分別為、，求證： 為定值，并求出該定值第9題圖 RNN-11【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題【解】（1）由題意

12、知，2b=4，b=2，又，且，解得：a=，c=1，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為； （2）由（1）知：B（0，2），（1，0），：y=2x2 設(shè)M（t，2t2），由，得 代入橢圓方程得： ，t=，M（，） OM的斜率為，即直線OP的斜率為； 由題意， ： ，即 ，同理可得：=+=2a=.10(2015合肥模擬)已知橢圓的離心率,A,B是橢圓T上兩點,N(3,1)是線段AB的中點,線段AB的垂直平分線與橢圓T相交于C,D兩點.(1)求直線AB的方程.(2)是否存在這樣的橢圓,使得以CD為直徑的圓過原點O?若存在,求出該橢圓方程;若不存在,請說明理由.【解】(1)由離心率,可得橢圓,設(shè),直線AB的方程為y=k

13、(x3)+1,代入,整理得.,由N(3,1)是線段AB的中點,得=3.解得k=1,代入得,12,直線AB的方程為y1=(x3),即x+y4=0.(2)因為CD垂直平分AB,所以直線CD的方程為y1=x3,即xy2=0,代入橢圓方程,整理得.又設(shè),所以,假設(shè)存在這樣的橢圓,使得以CD為直徑的圓過原點O,則得=8,又12,故不存在這樣的橢圓.11.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點、對稱軸為坐標(biāo)軸,且拋物線=y的焦點是它的一個焦點,又點A(1, QUOTE )在該橢圓上.(1)求橢圓E的方程.(2)若斜率為 QUOTE 的直線l與橢圓E交于不同的兩點B,C,當(dāng)ABC的面積最大時,求直線l的方程.【解】(1

14、)由已知得拋物線的焦點為(0,),故設(shè)橢圓方程為.將點A(1, QUOTE )代入方程得,整理得,解得=4或=1(舍去),故所求橢圓方程為.(2)設(shè)直線l的方程為y= QUOTE x+m,B,C的坐標(biāo)分別為, ,由 QUOTE 得,則,所以08.由=, ,得.又點A到BC的距離為,故,當(dāng)且僅當(dāng)2=162,即m=2時取等號.當(dāng)m=2時,滿足00,即3m3,所以當(dāng)m=0時,|CD|取得最大值4,所以四邊形ACBD面積的最大值為 QUOTE |AB|CD|= QUOTE . QUOTE 13.如圖,橢圓的離心率為 QUOTE ,其左焦點到點P(2,1)的距離為 QUOTE ,不過原點O的直線l與C相

15、交于A,B兩點,且線段AB被直線OP平分.第13題圖 RNN-22(1)求橢圓C的方程.(2)求ABP面積取最大值時直線l的方程.【解】(1)左焦點(,0)到點P(2,1)的距離為,解得c=1.又離心率為 QUOTE ,可得,則,所以橢圓C的方程為.(2)由題意可知,直線l不垂直于x軸,故可設(shè)直線l:y=kx+m,交點,由 QUOTE 消去y并整理得,所以所以AB的中點為 QUOTE ,而直線OP:y= QUOTE x,可得 QUOTE =，解得k=,即直線l:y= QUOTE x+m.|AB|= QUOTE QUOTE = QUOTE QUOTE =2 QUOTE QUOTE = QUOTE

16、 .而點P(2,1)到直線l:y=x+m的距離為d= QUOTE ,所以ABP的面積為S= QUOTE |AB|d= QUOTE |82m|= QUOTE = QUOTE 其中m(,0)(0, QUOTE ),令f(m)=(12)(4m),m (，0)(0, ),則=,所以當(dāng)且僅當(dāng)m=時,f(m)取得最大值,即S取得最大值,此時直線l:3x+2y+=0.14.如圖,橢圓E: 的左焦點為,右焦點為,離心率e= QUOTE .過的直線交橢圓于A,B兩點,且的周長為8.第14題圖 RNN-23(1)求橢圓E的方程.(2)設(shè)動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P,且與直線x=4相交于點Q.試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點M,使得以PQ為直徑的圓恒過點M?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.【解】(1)因為|AB|+|+|=8,即|+|+|+|=8,又|+|=|+|=2a,所以4a=8,a又因為e= QUOTE ,即 QUOTE = QUOTE ,所以c=1,所以b= QUOTE =.故橢圓