2022年新教材高中數(shù)學(xué)第2章平面向量及其應(yīng)用6平面向量的應(yīng)用6.1余弦定理與正弦定理2正弦定理素養(yǎng)作業(yè)北師大版必修第二冊

1、PAGE PAGE 7第二章6.1 2A組素養(yǎng)自測一、選擇題1在ABC中，a3，b5，sin Aeq f(1,3)，則sin B(B)Aeq f(1,5)Beq f(5,9)Ceq f(r(5),3)D1解析由eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，知eq f(3,f(1,3)eq f(5,sin B)，即sin Beq f(5,9)，選B2在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若3a2b，則eq f(2sin2Bsin2A,sin2A)的值為(D)Aeq f(1,9)Beq f(1,3)C1Deq f(7,2)解析由正弦定理得eq f(2sin2Bsin2A,si

2、n2A)eq f(2b2a2,a2)eq f(2b2,a2)1eq f(2blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)a)2,a2)1eq f(7,2).3已知ABC的面積為eq f(3,2)，且b2，ceq r(3)，則sin A(A)Aeq f(r(3),2)Beq f(1,2)Ceq f(r(3),4)Deq r(3)解析由已知，得eq f(3,2)eq f(1,2)2eq r(3)sin A，sin Aeq f(r(3),2).4在ABC中，已知3b2eq r(3)asin B，且cos Bcos C，角A是銳角，則ABC的形狀是(D)A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等邊

3、三角形解析由3b2eq r(3)asin B，得eq f(b,sin B)eq f(2r(3)a,3)，根據(jù)正弦定理，得eq f(b,sin B)eq f(a,sin A)，所以eq f(a,sin A)eq f(2r(3)a,3)，即sin Aeq f(r(3),2).又角A是銳角，所以A60.又cos Bcos C，且B，C都為三角形的內(nèi)角，所以BC故ABC為等邊三角形，故選D5(多選)在ABC中，若a2，b2eq r(3)，A30，則B可以為(AC)A60B30C120D150解析由正弦定理可知eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，sin Beq f(bsin A,a)e

4、q f(2r(3)f(1,2),2)eq f(r(3),2)，a1，此三角形無解方法二：a6，bsin A6eq r(3)，absin A故此三角形無解方法三：在角A的一邊上確定頂點C，使ACb12，作CAD60，以頂點C為圓心，CBa6為半徑畫圓，如圖所示，該圓與AD沒有交點，說明該三角形無解二、填空題7在ABC中，若B2A，ab1eq r(3)，則A 30 .(提示：sin 2A2sin Acos A)解析由正弦定理eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)知，eq f(sin A,sin B)eq f(a,b)eq f(1,r(3)，所以sin Beq r(3)sin Asin

5、 2A所以cos Aeq f(r(3),2)，因為A為ABC的內(nèi)角，所以A30.8在ABC中，若A120，AB5，BC7，則eq f(sin B,sin C)的值為 eq f(3,5) .解析由余弦定理可得49AC22525ACcos 120，整理得：AC25AC240，解得AC3或AC8(舍去)，再由正弦定理可得eq f(sin B,sin C)eq f(AC,AB)eq f(3,5).9在ABC中，Ceq f(,3)，a1，ceq r(3)，則sin A eq f(1,2) ，ABC的面積為 eq f(r(3),2) .解析由正弦定理eq f(a,sin A)eq f(c,sin C)得s

6、in Aeq f(asin C,c)eq f(1sinf(,3),r(3)eq f(1,2).由ac得Aeq f(,6)，所以Beq f(,2)，所以SABCeq f(1,2)acsin Beq f(1,2)1eq r(3)sineq f(,2)eq f(r(3),2).三、解答題10已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(ac)(sin Asin C)(eq r(3)ab)sin B(1)求角C；(2)若a4，ABC的面積為eq f(4r(3),3)，求c.解析(1)因為(ac)(sin Asin C)(eq r(3)ab)sin B，由正弦定理得a2c2(eq r(3)

7、ab)b，即a2b2c2eq r(3)ab，由余弦定理得cos Ceq f(a2b2c2,2ab)eq f(r(3)ab,2ab)eq f(r(3),2).因為0Csin B，則A與B的大小關(guān)系為(A)AABBAsin B，2Rsin A2Rsin B(R為ABC外接圓的半徑)，即ab，故AB2(2021湖南長沙一中月考)在ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知ceq r(3)，Ceq f(,3)，sin B2sin A，則ABC的周長是(C)A3eq r(3)B2eq r(3)C3eq r(3)D4eq r(3)解析已知sin B2sin A，由正弦定理可得，b2a，ceq r(3

8、)，Ceq f(,3)，則由余弦定理可得，coseq f(,3)eq f(a24a23,4a2)，解得a1，b2.故ABC的周長是3eq r(3).3(2021天津和平區(qū)期末)在ABC中，sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，則A等于(C)A60B90C120D150解析由正弦定理的推廣eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R(R為ABC外接圓的半徑)，得sin Aeq f(a,2R)，sin Beq f(b,2R)，sin Ceq f(c,2R)，從而原等式等價于b2c2a2bc.由cos Aeq f(b2c2a2,2bc)，得cos

9、Aeq f(1,2).又0A0)，由正弦定理，得eq f(2sin Asin B,sin C)eq f(24k3k,5k)16在ABC中，Aeq f(2,3)，aeq r(3)c，則角C的值為 eq f(,6) ，eq f(b,c) 1 .解析在ABC中，Aeq f(2,3)，aeq r(3)c，由正弦定理可得eq f(a,sin A)eq f(c,sin C)，eq f(r(3)c,sinf(2,3)eq f(c,sin C)，sin Ceq f(1,2)，由于ca，且C(0，)，故Ceq f(,6)，則Beq f(2,3)eq f(,6)eq f(,6).ABC是等腰三角形，BC，則bc，

10、則eq f(b,c)1三、解答題7已知下列各三角形中的兩邊及其中一邊的對角，判斷三角形是否有解，有解的作出解答(1)a10，b20，A80；(2)b3，c3eq r(3)，B30.解析(1)a10，b20，ab，A8020sin 6010eq r(3)，所以ab，C60或C120.當C60時，A90，由勾股定理得aeq r(b2c2)eq r(323r(3)2)6.當C120時，A30，ABC為等腰三角形，a3.故a3，A30，C120或a6，A90，C60.8平面四邊形ABCD中，邊BC上有一點E，ADC120，AD3，sin ECDeq f(2,3)，DEeq r(3)，CEeq f(3r(3),4).(1)求AE的長；(2)已知ABC60，求ABE面積的最大值解析(1)在CED中，由正弦定理可得eq f(DE,sin ECD)eq f(CE,sin CDE)，即eq f(r(3),f(2,3)eq f(f(3r(3),4),sin CDE)，所以sinCDEeq f(1,2)，因為CEDE，所以CDE是銳角，故CDE30，又ADC120，所以ADE90，在直角ADE中，AE2AD2DE232312，所以AE2eq r(3).(2)在ABE中，AE2eq r(3)，ABC60，