(通用版)高考數(shù)學(理數(shù))一輪復(fù)習考點梳理與過關(guān)練習19《平面向量的基本定理及坐標表示》(含詳解)

1、考點19 平面向量的基本定理及坐標表示（1）了解平面向量的基本定理及其意義.（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.（3）會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.（4）理解用坐標表示的平面向量共線的條件.一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使 SKIPIF 1 0 .其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.二、平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a

2、，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得a=xiyj，這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定，我們把（x，y）叫做向量a的坐標，記作a=（x，y），其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標.三、平面向量的坐標運算1向量坐標的求法（1）若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則 SKIPIF 1 0 =（x2x1，y2y1）.2向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則ab=（x2+x1，y2+y1），ab=（x1x2，y1y2），a=（x1，y1），|a|= SKIPIF 1

3、0 ，|ab|= SKIPIF 1 0 .3平面向量共線的坐標表示設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則abx1y2x2y1=0.4向量的夾角已知兩個非零向量a和b，作 SKIPIF 1 0 =a， SKIPIF 1 0 =b，則AOB=（0180）叫做向量a與b的夾角.如果向量a與b的夾角是90，我們說a與b垂直，記作ab.考向一 平面向量基本定理的應(yīng)用1應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用當基底確定后，任一向量的表示都是唯一的2應(yīng)用平面向量基本定理的關(guān)鍵點（

4、1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量（2）選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來（3）強調(diào)幾何性質(zhì)在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等3用平面向量基本定理解決問題的一般思路（1）先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進行向量的運算（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用線段中點的向量表達式.典例1 如圖所示，在 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 與 S

5、KIPIF 1 0 相交于點 SKIPIF 1 0 ，設(shè) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .（1）試用向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 表示 SKIPIF 1 0 ；（2）過點 SKIPIF 1 0 作直線 SKIPIF 1 0 ，分別交線段 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 于點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .記 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求證： SKIPIF 1 0 為定值.【解析】（1）由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 三點共線，可設(shè) SKIPIF 1

6、 0 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 三點共線，可設(shè) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .（2）由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 三點共線，設(shè) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，由（1）知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，為定值.【名師點睛】本題主要考查了平面

7、向量基本定理的應(yīng)用，以及平面向量的線性運算，其中根據(jù)三點共線，合理設(shè)出向量，列出方程組求解是解答本題的關(guān)鍵，同時要熟記向量的基本概念和基本的運算公式是解答向量問題的基礎(chǔ)，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題1如圖，在 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分別為邊 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上的點，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 相交于點 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 A SKI

8、PIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 考向二 平面向量的坐標運算1向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求向量的坐標2解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解，并注意方程思想的應(yīng)用.牢記：向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關(guān)系兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的典例2 已知A(3,0)，B(0,2)，O為坐標原點，點C在AOB內(nèi)，且AOC=45，設(shè)OC=A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C

9、 SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】C【解析】AOC=45，設(shè)C(x,x)，則又A(3,0)，B(0,2)，根據(jù)向量的坐標運算知OA所以 SKIPIF 1 0 .故選C.典例3 已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，設(shè) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .（1）求 SKIPIF 1 0 ；（2）求滿足 SKIPIF 1 0 的實數(shù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .【解析】（1）由已知得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKI

10、PIF 1 0 .（2） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .2把點 SKIPIF 1 0 按向量 SKIPIF 1 0 移到點 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 為坐標原點），則 SKIPIF 1 0 點的坐標為A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 考向三 向量共線（平行）的坐標表示1利用兩向量共線的條件求向量坐標一般地，在求與一個已知向量 SKIPIF 1 0 共線的向量時，可設(shè)所求向量為 SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0 )，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于 S

11、KIPIF 1 0 的方程，求出 SKIPIF 1 0 的值后代入 SKIPIF 1 0 即可得到所求的向量2利用兩向量共線求參數(shù)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的充要條件是 SKIPIF 1 0 ”解題比較方便3三點共線問題A，B，C三點共線等價于 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 共線4利用向量共線的坐標運算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標運算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒等變換求解.典例4 已知e1,e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，AB=2e1+e2，BE=e1+e2，EC=2e

12、1+e2，且A,E,C三點共線.（1）求實數(shù)的值;（2）若e1=(2,1),e2=(2,2),求BC的坐標;（3）已知點D(3,5)，在（2）的條件下，若A,B,C,D四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，求點A的坐標.【解析】（1）AE=AB+BE=(2e1+e2)+(e1+e2)=e1+(1+)e2.A,E,C三點共線,存在實數(shù)k,使得AE=kEC，即e1+(1+)e2=k(2e1+e2)，即(1+2k)e1+(1+k)e2=0.e1,e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量,1+2k=0且1+k=0,解得k= SKIPIF 1 0 ,= SKIPIF 1 0 .故實數(shù)的值為 SKIPIF 1 0 .（

13、2）由（1）知,BE=e1 SKIPIF 1 0 e2,則BC=BE+EC=3e1 SKIPIF 1 0 e2=3(2,1) SKIPIF 1 0 (2,2)=(6,3)(1,1)=(7,2).故BC的坐標為(7,2).（3）A,B,C,D四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形,AD=BC.設(shè)A(x,y)，則AD=(3x,5y).由（2）知,BC=(7,2), SKIPIF 1 0 ,解得 SKIPIF 1 0 ,點A的坐標為(10,7).3已知 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0

14、D SKIPIF 1 0 1在如圖所示的平面直角坐標系中，向量 SKIPIF 1 0 的坐標是A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 2下列各組向量中，能作為平面上一組基底的是A SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 3已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，則點 SKIPIF 1 0 的坐標為A SKIPIF 1 0 B

15、SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 4已知向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若向量 SKIPIF 1 0 與向量 SKIPIF 1 0 平行，則實數(shù) SKIPIF 1 0 A4 B2C4 D25在 SKIPIF 1 0 中，點 SKIPIF 1 0 在邊 SKIPIF 1 0 上，且 SKIPIF 1 0 ，設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 6已知向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，平面上任意

16、向量 SKIPIF 1 0 都可以唯一地表示為 SKIPIF 1 0 ，則實數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍是A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 7已知在 SKIPIF 1 0 中，兩直角邊 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 內(nèi)一點，且 SKIPIF 1 0 ，設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C3 D SKIPIF 1 0 8在平面直角坐標系 SKIPIF 1 0 中，已知點 SKIP

17、IF 1 0 ，若點 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ,則 SKIPIF 1 0 _.9已知向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 _10已知向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的值為_11如圖，在 SKIPIF 1 0 中，AN=23NC，P是BN上一點，若AP=tAB+12已知點 SKIPIF 1 0 ，設(shè)向量 SKIPIF 1 0 .（1）若 SKIPIF 1 0 ，求實數(shù) SKIPIF 1 0 的值；（2）若 SKIPIF 1

18、 0 ，求向量 SKIPIF 1 0 的坐標.13如圖，在平行四邊形 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 上一點，且 SKIPIF 1 0 .（1）求實數(shù) SKIPIF 1 0 的值；（2）記 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，試用 SKIPIF 1 0 表示向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .14已知向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .（1）若 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的值；（2）若 SKIPIF 1 0 ， SKIPI

19、F 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的值.1（2016新課標全國理科）已知向量 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，則m=A8 B6C6 D82（2017新課標全國理科）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的最大值為A3B2 SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D23（2018新課標全國理科）已知向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 _4（2017江蘇）如圖，在同一個平面內(nèi)

20、，向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的模分別為1，1， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的夾角為 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 =7， SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的夾角為45若 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 變式拓展變式拓展1【答案】C【解析】設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 三點共線，所以 SKI

21、PIF 1 0 ，同理由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 三點共線，得 SKIPIF 1 0 .所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .所以 SKIPIF 1 0 .故選C【名師點睛】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決2【答案】C【解析】因為點 SKIPIF 1 0 按向量 SKIPIF 1 0 移動后得到點 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF

22、1 0 ，設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .故選C.【名師點睛】本題主要考查向量的坐標表示和運算，意在考查學生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力.3【答案】B【解析】 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 =（1，2）+（0，2）=（1，4）， SKIPIF 1 0 ，k=8故選B【名師點睛】本題考查用向量坐標來表示兩個向量平行的關(guān)系.解本題時，先求出 SKIPIF 1 0 ，再由 SKIPIF 1 0 ，能求出k=8考點沖關(guān)考點

23、沖關(guān)1【答案】D【解析】因為A(2，2)，B(1，1)，所以 SKIPIF 1 0 故選D2【答案】D【解析】對于A， SKIPIF 1 0 ，向量 SKIPIF 1 0 共線，不能作為基底；對于B，零向量不能作為基底；對于C， SKIPIF 1 0 ，向量 SKIPIF 1 0 共線，不能作為基底；對于D，向量 SKIPIF 1 0 不共線，可作為基底.故選D【名師點睛】本題考查了向量共線的判定、基底的定義，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握平面向量的基本定理是解題的關(guān)鍵.注意只有兩向量不共線才可以作為基底，判定各組向量是否共線即可.3【答案】D【解析】設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0

24、 ， SKIPIF 1 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，故選D4【答案】D【解析】由向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 向量 SKIPIF 1 0 與向量 SKIPIF 1 0 平行， SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，故選D【名師點睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用 SKIPIF 1 0 解答；（2）兩向量垂直，利用 SKIPIF 1 0

25、解答.5【答案】A【解析】在 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，又因為 SKIPIF 1 0 ,所以 SKIPIF 1 0 ，故選A6【答案】C【解析】根據(jù)平面向量基本定理可知，若平面上任意向量 SKIPIF 1 0 都可以唯一地表示為 SKIPIF 1 0 ，則向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 不共線，由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，即實數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 0 故選 SKIPIF

26、1 0 7【答案】A【解析】如圖，以A為原點，以AB所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，則B點坐標為（1，0），C點坐標為（0，2），因為DAB=60，所以可設(shè)D點坐標為（m， SKIPIF 1 0 ），則 SKIPIF 1 0 =（1，0）+（0，2）=（，2）=m，= SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 故選A【名師點睛】本題主要考查平面向量的坐標表示，根據(jù)條件建立平面直角坐標系，分別寫出B、C點坐標，由于DAB=60，可設(shè)D點坐標為（m， SKIPIF 1 0 ），再由平面向量坐標表示，即可求出和8【答案】 SKIPIF 1 0 【解析】因為 SK

27、IPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的重心，故 SKIPIF 1 0 的坐標為 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 .9【答案】 SKIPIF 1 0 【解析】 SKIPIF 1 0 向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，故答案為 SKIPIF 1 0 .【名師點睛】本題考查兩個向量共線的性質(zhì)

28、，兩個向量的線性運算以及向量模的計算，屬于基礎(chǔ)題.10【答案】2【解析】因為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .11【答案】1【解析】由題意知，AP又AN=23NC，所以AN=25又AP=tAB+13AC，所以故答案為1612【解析】（1）由題得 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 不共線， SKIPIF 1 0 ，所以由平面向量的基本定理得 SKIPIF 1 0 .（2）由題得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .【名師點睛】本題考查了平面向量的線性運算與

29、坐標運算的問題，也考查了向量的相等問題以及解方程組的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題13【解析】（1）因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 三點共線，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .（2） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .14【解析】（1）因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，于是 SKIPIF 1 0 ，當 SKIPIF 1

30、0 時， SKIPIF 1 0 ，與 SKIPIF 1 0 矛盾，所以 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .（2）由 SKIPIF 1 0 知， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，從而 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，于是 SKIPIF 1 0 ，又由 SKIPIF 1 0 知， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，因此 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 .直通高考直通高考1【答案】D【解析】 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，故選D.【名師點睛】已知非零向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ：幾何表示坐標表示模|a| SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 夾角 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0