人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)幾何計(jì)算題、證明題訓(xùn)練

1、E E 幾何計(jì)題證明題一題特點(diǎn)：平行四邊形、三角形的中位線(xiàn)、矩形的推論穿插其中，勾股定理 ， 二常新型題型點(diǎn)紙條件開(kāi)放數(shù)量關(guān)系置關(guān)系 三圖搭建：三角形中搭建四邊形、四邊形中搭建三角形、組合圖形，下面我根據(jù)圖形搭建結(jié)構(gòu)特征為主進(jìn)行分類(lèi)舉部分和本期幾何部行四邊 形為主）的計(jì)算題、證明題，讓我們共同來(lái)探究、解一以行邊為梁建來(lái)圖F例 eq oac(,1.) eq oac(, ) 中AB 4cm, AD ， 的分線(xiàn)交 AD于AEDE,交CD 延長(zhǎng)線(xiàn)于 ,求 的？分：BC本題要求的 長(zhǎng)途徑有兩條：其. DE AE.DF ；其二采取第一途徑可以少一些環(huán)節(jié)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角的平分線(xiàn)的定義可以比較容易得

2、出 BCF 等腰三角形，可得 F ；由于平行四邊形的對(duì)邊相等可以得 AB 4cm, ；故 A例 2. 和 都是正三角, BF.EF.求證： ACD .當(dāng) D 運(yùn)至 BC 邊的何處時(shí)，四邊形 CDEF 為平行四 形，且 DEF ,并證明你的結(jié).B 分：.證明 CBF .已有了 CD BF , 和 ADE 都正三角形又可以給我們提供 ACD CBF 條件，根據(jù)“ SAS”判定方法可以證得ACD CBF .根據(jù)問(wèn)的 ACD CBF 得出AD CF,又 是三形DE CF,所以 DE ;要四邊形 CDEF 平行四邊形可以證 C DE .若四邊形 為平行四邊形，則 30 ； 30時(shí)，就有FCD EDB,此

3、時(shí)就能證得 .由 ADE 可得出 ADE ，則ADB 60 ,AD ;由于等腰三角形具有“三線(xiàn)合”的特征，所以當(dāng) D 運(yùn)動(dòng)至 邊上中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDEF為平行四邊.練：AD1.如圖, eq oac(,在) eq oac(, )ABCD中，AE BC,AF CD, ,則 = .FB eq oac(,2.) eq oac(, ) 周長(zhǎng)為 60cm ，角線(xiàn) ACBD 于點(diǎn) , AOB 周比 BOC 的長(zhǎng)多C ， AD = ， DC = . eq oac(,3.) eq oac(, ) , ABC 的分線(xiàn) BE 交 AD于 E 點(diǎn)若 25, ；那么 ABE ， BED ， = .C4.已點(diǎn)F在同一直線(xiàn)

4、上 eq oac(,) eq oac(, )ABCD,且 AB,BF BD；求證： CMAB EA5. ABC 是三角形，AE ,EF.FEGBDC2 2 22 2 2求證: 6.以 ABC 的三邊在 BC 的側(cè)做等邊 、等邊 FBA 、等邊 . .判斷四邊形 FADE形狀？.當(dāng)為多少度時(shí)，四邊形 FADE矩形？.當(dāng) 為多少度時(shí)，四邊形 FADE存在？. eq oac(,當(dāng)) eq oac(, )滿(mǎn)足什么形狀，四邊形FADE菱形？7.有塊如圖的玻璃 ,不小心把 DEF 部打碎，在只測(cè)得 80cm, 120 150 . .根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)計(jì)算 AD的；AED.求四邊形 的面積.F二以形橋搭起的形B

5、 C例 D為 ABCD外一點(diǎn)，APC ;求證: ABCD為矩形分：判定矩形的方法主要有三.但已知了四邊形 ABCD 是行邊形的情況下，要判 eq oac(,定) eq oac(, )ABCD 是矩的途徑有兩條：其一.找一角是直 角；其二找出對(duì)角線(xiàn)相等，即出 AC BD .由于本題的另一主要條件是APC=BPD=90要根據(jù)題中條件和圖形 位置轉(zhuǎn)換成四邊形的內(nèi)角為 90較困難，所以本題我們先想辦法找出 對(duì)角線(xiàn)相等，即找出 我們發(fā)現(xiàn)本題在 和 的兩邊的點(diǎn) 恰是行邊對(duì)線(xiàn) 交，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分可知： 同是 BD 的中；所以自然聯(lián)想到連結(jié) PO 條兩直角三角形公共的中線(xiàn)（見(jiàn)圖.根據(jù)上條件，在

6、Rt 中有 APC 和 RtBD 2PO ,故 AC BD ,由對(duì)角相的行邊是形可判 eq oac(,定) eq oac(, )ABCD 是形例 如圖矩 中 AB BC 12,對(duì)角線(xiàn) 、BD交于點(diǎn) ；點(diǎn) 為矩形 的 AD 上的一個(gè)固定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 作 AC , PF BD ,足分別為 EF .求 PE 的？.若點(diǎn) 是 上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A、重合是 作APDPE , PF ，垂足分別為E、則 PF的值是否E FO會(huì)發(fā)生變化？為什么？BC分：求線(xiàn)段的和或差我們會(huì)聯(lián)想到證明中“截補(bǔ)”，但本題不具備這方面的條件.本題 從面積入手可以破題：如圖連結(jié) ,只要我們能求出 和 和的面積之和問(wèn)題 便可以獲得解決.略解

7、：.四邊形 ABCD 矩形 ABC , 1 , OD BD 2, PA DE FOOA OD B C在 Rt 中 BC 12；并且根據(jù)勾股定理有：BD ，即CC22122，又 ，所以 AC 13.OA OD AC = = 2 AOP ， S DOP OD ; 且 AOD矩形A (程) 115 + S DOP OA OD = AOD = 2 1 即 15 PE . 13.不會(huì)發(fā)生變化這是因?yàn)?、 AOP 、 POD 的積以及作為底邊的 、OD 不發(fā)生變化（見(jiàn)右圖.練：1.矩 中， AF .求證： OFAD2.矩 中， 于 E ， CF BD 于 F . BE 求證：EOFB C3.矩 中， 平分

8、 , .A求DOC與COF的度數(shù)？BC4.矩 中，BD，則 ACE 為腰三角形嗎？為什么？E5.如，在矩形 中，點(diǎn) 、 分在 BC 上，將 沿 折疊，使點(diǎn) 在 AC 的點(diǎn) 處又將 CEF 沿 折疊，使點(diǎn) 落在 與 AD 的點(diǎn) C 處則 : 的值為多少？A DBF三.菱為梁建來(lái)圖 例 ABC 中 BAC ，平分，AE BC于HB交EBD于E,CDF 于 F ,求證：四邊形 是形 分：A判定菱形方法主要有三種，三種方法都可以使本題獲得解D下面我們選“邊相的邊是形”一途徑來(lái)分.E可以先根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出 AD FD ,進(jìn)容易證明 ABD AFD 所以 BA ;再證明 BHFC可以得到出 （也可以

9、利用等腰三角形的“三線(xiàn)合一角的余角相等可以推 AED,所以 DA,于是 EF FD DA,故四邊形AEFD是菱形例 2.（中貢 如圖示，在菱形 中， BAD ， 為 2F 2F 正三角形，點(diǎn) E、分別在菱形的邊 、CD上滑動(dòng)，且 E、不與 B、C、D重合.證明不論 E、 在 BC、CD 上何滑動(dòng)，總有 BE ?.當(dāng)點(diǎn) E、 在 BC、CD 上動(dòng)時(shí)，探討四邊形 AECF 面積是否發(fā)生變化？如果不 變，求出這個(gè)定值 .分：.先求證 ，進(jìn)而求證 ABC 、 ACD 為等邊三角形，得BAC =60 AB進(jìn)而求證 ABE ACF ，可求得 BE .根據(jù) ACF 可得 = ; 根據(jù) 四邊 AECF = S

10、 ABE + = + .證：連接 AC ,下圖所示.=ABC即可解得.四邊形 ABCD 為形， BAD 1A2BAD 120BD ABC ABC 和 ACD 都等邊三角形EH3F =60 ， C 在 ABE 和 ACF 中 AC ACF BE .解四邊形 AECF的面積不變理由：由得 ABE ACF 可得 ABE = S . 故 四邊形 = S + S = ABC + = 作 AH 于 H 點(diǎn)則 BH ABC是定值四邊形 ABC AB BH 3 練：1. 已 eq oac(,知) eq oac(, )ABCD，添加下列一個(gè)條件：. ； ；. ；. BD C. .其中能 eq oac(,使) e

11、q oac(, )ABCD 菱形的為（ ） A. B.AE2.菱 中 為 上的一點(diǎn)， 交 于 F . 求證： ABF ； .BFDC3. 菱的對(duì)角線(xiàn)的比是 2 : ,周為 4 130 cm 求菱形的面積？A ED4.如 eq oac(,，) eq oac(, )的對(duì)角線(xiàn) 的直平分線(xiàn)與AD、分別交于點(diǎn)E、；O求證：四邊形是菱形BF C5. 如，菱形ABCD中， 60 ,點(diǎn)、分別是ABAD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足 BE AF ,接連 CF 求證： EFC 是邊三角. D 2 22 2 2 2 2 22 2 2 26. ABC 中， 90 , ， DE 垂平分,且 CE.求證：四邊形為菱形四以方為梁建來(lái)圖A

12、D例 1.正方形 中， DCE 是等邊三角形. .求 AED的度數(shù)？.若 OF , AB 的長(zhǎng)？FE分：BC.根據(jù)正方形和等邊三角形的質(zhì)綜合可以得出D DE , ADE 150,所以得出： DEA ,所以 1 2.由正方形的性質(zhì)綜合可以得 BD OF ,在 Rt AOF 中所以 ,根據(jù)勾股定理可以求出OA ,所以AC 2 .根據(jù)勾股定理或面積公式可以出： 3 .又AB . .例 2、正方形 面積為 64 , , P 為 AC 上的動(dòng)點(diǎn)；求 PD 的最小 值？分:在一條直線(xiàn)同側(cè)的兩點(diǎn)，到直線(xiàn)某點(diǎn)的距離之和最小，按如圖所示作 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) （據(jù)方形的對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn) 恰落在邊 BC 上連結(jié)APDEDE 交

13、 于點(diǎn) ,根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì) DP P DP EP ,P此時(shí)和是最小的.由正方形 ABCD D 的面積為 64 可得邊長(zhǎng) DC ,所 CE CD DE 以 ；據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理可以求得：BE 8 ;即PD的最小值為 10.練:1.正形 ABCD 中 DAF ,，如圖所示則 = .E2.如，邊長(zhǎng)為 3 的方ABCD繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 30后到AHD的正方形交AD于點(diǎn) H,四邊= .FBC3.如圖,為正方形 的一,將 APB 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與為 APD重合；若 PM ,則 的為 .BMC2 2 22 2 2 22 4.在 ABC 中， ， D 為 的中點(diǎn)， AB,DF AC,垂足分別為 、 .

14、求證 CDF.當(dāng) ABC 是角三角形時(shí)，四邊形是方形？5.正形 ABCD 中其面積為 1， PDC 為三角形，求 PBD 的面積6. E 為長(zhǎng)為 的正形 的角線(xiàn)上的一，且 BC , 為 CE 上一動(dòng)點(diǎn)，PQ BC,PR ,求 的值？7.正形 繞正方形 ABCD 點(diǎn) 向外（逆時(shí)針）旋轉(zhuǎn)一定角度，連結(jié) BE （見(jiàn)圖）.求證 .如果改成正方形 AEFG繞著正方形 點(diǎn)向內(nèi)（順時(shí)針）旋轉(zhuǎn)一定角度，連結(jié)BE、GD .那么 BE GD 這結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)畫(huà)出示意圖，并說(shuō)明理.8.如，在正方形 中， 是對(duì)角線(xiàn) BD上的任意一點(diǎn)，過(guò) M 作 ME CD ,CMF BC 分別交正方形 的 、 于 、F 連 EF

15、求證： EF A DM F五勾定及逆理運(yùn)舉B EC例 如，將長(zhǎng) 8cm ，為 的矩形紙片 折疊，使點(diǎn) A 與 C 重合，求折痕 EF 的.D 分：本題求折痕 的長(zhǎng)可以提供的主要是數(shù)量關(guān)系，所以我們可以考慮化歸DFC )在直角三角形中來(lái)解決問(wèn)題（見(jiàn)圖中輔助線(xiàn)作法.根據(jù)折紙可以推出： AD 在 Rt 中據(jù)勾股定理得：, DE ，CF AE;A EBCF F ,即，解得： x .練：1.已三角形的三邊分別為 10 ，則這個(gè)三角形的面積面積為 .FEBD DE CFEBD DE C2.在面直角坐標(biāo)系 中點(diǎn) 的坐標(biāo)為 = . 3.直三角形的兩邊分別為 4 ，則此直角三角形的面積為 .4.一角三角形的周長(zhǎng)為 為 . 6 ，其斜邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為 2 ，則這個(gè)直角三角形的面積5. 如 90 , 4cm , 12cm CD 13cm .求圖（甲）凸四邊形 的