專題4.6 正弦定理與余弦定理(重難點(diǎn)突破)

1、2 2 2 4 R 2 22 22 2 2 4 R 2 22 2專題 正弦定理與余定理一考分掌正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)的三角形度量問.二經(jīng)分考一正定和弦理 中，若角 A，C 所對(duì)的邊分別是 a， 為 外圓徑，則定理公式常見變形正弦定理 b Rsin A sin C(1)asin A2RsinB，csinC A ， B ， C ； 2R R(3)acsinAsinBC；(4)a sin ，sin csin ， C 余弦定理b2ccos；b2 a2a2cosB；2b2abC c2cacos ；2c2a2cos ；2b2c2cos Cabc2ABC1 1 1 abc 1 sin C A a

2、csin B a)rr 是三角形內(nèi)切圓的半，可由此計(jì)算 ，. 中，已知 ， 和 A 時(shí)，解的情況如下：A 為角圖形A 為鈍或直角關(guān)系式解的個(gè)數(shù)sin A一解sin A一解b無解考二三函關(guān)和影理三形中的三角函數(shù)關(guān)系 C(1)sin(A ；cos ；(3)sin ； . 三形中的射影定理在 中abcos Ccos ；acos ccos A；cos Acos . AB 223 4 AB 223 4 中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第邊ABabsin sin cos ，所以 ，所以 B 以 B，又 ， 所以 A6075. 【變式訓(xùn)練 eq oac(, ) 中， ， ，a，則 b 等 )A2 B1

3、C. D. 2【案D b 1 【解析】由正弦定理 ， ，所以 ，所以 b sin A sin sin 4 2 例 2、(2020 貴陽擬平行四邊形 ABCD 中AB2，4，則 BD( )A4C. 19【答案】B 【解析】如圖所示 10 AB2AC2 416 1在 ，3，由余弦定理得 ABC ，所以 coscosABC ， ABD 中，由余弦定理得 BD 2AD DAB32 所 BD 10. ABC2 ABC2 c【變式訓(xùn)練 】 eq oac(, ) 的角 AB 的邊分別為 bc eq oac(, )ABC 的積為 則 C ) D. 3 4 6【案C b2c【解析題可知 S sin 以 c22s

4、in 余定理 cabC，以 sin Ccos 因?yàn)?，所以 C 故選 3例 3(2020 瀘州擬 eq oac(, ) 中，角 B 為 ，BC 邊的高恰為 BC 邊的一半，則 ) C.【答案】A【解析】設(shè) BC 邊上的高為 ，則 2h ，余弦定理，ACBC2AB Bh2422 2 10h2AB，故 10所以 AB 2 5 .2 2h 【變式訓(xùn)練 eq oac(, ) 中，c，cos (1)求 ， 的值；(2)求 sin()的值 3【答案）57.（） .【解析】(1)由余弦定理 ba2c，得32 c23c 2 因?yàn)?c2，所以(2 c23 2 解得 c，所以 b 3(2)由 cos ，得 2c

5、3由正弦定理，得 sinC sinB . 14在 B 是鈍角，所以 C 為角，所以 cos sin . 所以 BCcosBC 重點(diǎn)型破 2 利正、余弦定理邊角互化例 4 eq oac(, )ABC 的角 A 所的邊分別為 bcos ccos B ABC 的狀為 )A銳角三角形 C角三角形B角三角形 D確【案【解析】由正弦定理得 sin Csin Ccos B2A sin(C)sin2，即 sin(A)2A，sin AA(0，sin A0，sin 1即 A ， 為角三角形c【變式訓(xùn)練 漢研)在 ABC ，角 AB 所的邊分別為 abc，若 A， eq oac(, )ABC 為( )A鈍角三角形

6、C角三角形B角三角形 D邊角形【答案】Ac【解析】因?yàn)?A，所以 cb，正弦定理得 sincosA又 A，所以 sinAB)所以 sincosABsinA，所以 B，又 sinA，所以 B0B 為鈍角，所 eq oac(, ) 是鈍角三角形【變式訓(xùn)練 (2019 全國(guó) eq oac(,) eq oac(, )ABC 的內(nèi)角 C 的邊分別為 知 B4C b ，則 ) A6C4 【答案】AB5D【解析】 bsin csin ，由正弦定理得 a24c2，即 4c2b2 由弦定理得 A ca2 b22b2 3c2 1 ，bc bc bc 4 c故選 【變式訓(xùn)練 黃岡擬)在 ABC 中，角 A，B， 的

7、邊分別為 ，b， 且滿足 acosccos bcos. A sin C 3 2 A sin C 3 2 (1)求角 A；(2)若 13， 6， eq oac(, )ABC 的【答案） （2 13【解析】(1)因?yàn)?2cosbC， b c在 ，由正弦定理 2， 得 aRA，2sin，c2sin，所以 AAsincosCC，即 cosAsin(BC)sin，因?yàn)?，所以 sinA0， 所以 1即 A ，以 (2)由余弦定理 2bc22bccos，得 2 c .得(b)3bc，由 AC6，得 6所以 12.所以(c236，得 7所 eq oac(, ) 周長(zhǎng)為 ab7 13.重點(diǎn)型破 3 與角形面積

8、有關(guān)的問題例 、 全國(guó)卷 eq oac(,) eq oac(, ) 的角 ， 的對(duì)邊分別為 ab，.若 b，a2c， ， eq oac(, ) 的 面積為【答案】6 3【解析一為 2 以余定理 2acaccos B (2c)ccccos 1 1 ，得 c2 3所以 a4 ，所 eq oac(, ) 的面積 acsin B 3.法二：因?yàn)?2，6，B ，所由余弦定理 bc22cos ， (2)c ，得 c2 3所以 a 3，所以 ab2 1c2所以 ，所 eq oac(, ) 面積 2 【變式訓(xùn)練 內(nèi)角 ，B， 的邊分別為 ，c，已知 b， ， ， eq oac(, )ABC 的 面積為【答案】

9、 3 【解析】b， ， ， 4sin B 12 ABCbc 2 3A sin sinC BC sinA 1 sin B 12 ABCbc 2 3A sin sinC BC sinA 1 由正弦定理 ，sin B C2sin C 得 c 2，A( ) ， sin A )sin sin . 3 3 3 6 則 S sin 22 2 3 【變式訓(xùn)練 5-2 江西省九市模) eq oac(, )ABC 中，bc 分為角 A，B，C 的邊，已知 2AB2sinBC ， eq oac(, ) 面積為 ， 值【答案】2 3【解析 eq oac(, )ABC 中由 2Acos2CsinsinC ， A(1si

10、n2Bsin2Csin22CsinAsinBCbcca 1 a2bc，由余弦定理，得 cos ，又 A(0， 由正 bc a2弦定理 得 2又 ABC 的面積為 sin bcA ABC 3，bc4，解得 【變式訓(xùn)練 內(nèi)角 ，B， 的邊分別為 ，c.知 A，a2 ，b2. (1)求 ；(2)設(shè) 為 BC 邊一點(diǎn)，且 AD， eq oac(, )ABD 的面積【答案）4） 2【解析】由已知條件可得 A 3A，以 A ， eq oac(, ) 中由余弦定理得 424cos2，即 c2c，解得 c6(舍去)，或 c(2)法一：如圖，由題設(shè)可得CAD ，所以BADBAC ， ABD ABD AB 故 面

11、 eq oac(, )ACD 面的比值為 1，AC 又 面積為 42sinBAC 3所以 ABD 的面積為 3.法二：由余弦定理得 C，AC在 eq oac(, ) 中，cos ，所以 7所以 AD 3，CD ， 所以 S 2 7sin 7 3. 7 2法三： ，由弦定理得 cos C ， 所以 7所以 AD 3所以 S 4 3. ABD 四遷應(yīng)1北棗強(qiáng)中學(xué) 2018-2019 學(xué)期末）在 中角 ，C1b A ，則 ）3的對(duì)邊分別是，若A【答案】B 7C D【解析】由余弦定理可得：bc cos ，解得a ，故選 D。2省白山市 2018-2019 學(xué)期末ABC中角, B 所對(duì)的邊分別為a c

12、c sin C， 2，則 B )ABCD【答案】【解析】因?yàn)閏 b C ，以 C 2sin B C，所以sin B ，則 B 6或5，因?yàn)?2，所以 ，故選 。3西咸陽市 2019 屆三模擬檢測(cè)）已知 a.b. 分別 的內(nèi)角 A、 的對(duì)邊，若 則 的形狀為（ ）A鈍角三角形B角三角C角三角形邊三角形【答案】c cos ， cosA【解析】由sinC A又因?yàn)樵贏BC 有sinA sinBcos sinBcosA 即 sinAB 所以又因?yàn)?，以 cos ，所以角 為角所 的形狀為鈍角三角形故選 Ac A，4北石家莊市 2019 屆中畢業(yè)模擬） 中角 A， ，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為 a ， ，足 3 B ， b ， 的積為（ ）