量子力學(xué)教案7

1、所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。第七章自旋在較強(qiáng)的磁場(chǎng)下（102T），我們發(fā)現(xiàn)一些類氫離子或堿金屬原子有正常塞曼效應(yīng)的現(xiàn)象，而軌道磁矩的存在，能很好的講解它但是，當(dāng)這些原子或離子置入弱磁場(chǎng)（1T）的環(huán)境中，或光譜分辨率提高后，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題其實(shí)不是那么簡(jiǎn)單，這就要求人們進(jìn)一步研究。大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)證明，以為電子僅用三個(gè)自由度x,y,z來(lái)描述其實(shí)不是完好的。我們將引入一個(gè)新的自由度自旋，它是粒子固有的。自然，自旋是Dirac電子的相對(duì)論性理論的自然結(jié)果?，F(xiàn)在我們從實(shí)驗(yàn)事實(shí)來(lái)引入。7.1電子自旋存在的實(shí)驗(yàn)事實(shí)（1）Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)（1922年）當(dāng)一狹窄

2、的原子束經(jīng)過(guò)非平均磁場(chǎng)時(shí)，若是原子無(wú)磁矩，它將不偏轉(zhuǎn)；而當(dāng)原子擁有磁矩，那在磁場(chǎng)中的附加能量為UBBcos若是經(jīng)過(guò)的路徑上，磁場(chǎng)在z方向上有梯度，即不平均，則受力UcosdBdz從經(jīng)典見(jiàn)解看cos取值（從11）,因此，不一樣原子（磁矩取向不一樣）受力不一樣，而取值dBdBdzdz因此原子分裂成一個(gè)帶。但Stern-Gerlach發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一束處于基態(tài)的銀原子經(jīng)過(guò)這樣的場(chǎng)時(shí)，僅發(fā)現(xiàn)分裂成二束，即僅二條軌道（兩個(gè)態(tài)）。而人們知道，銀原子（z47）基態(tài)l0，所以沒(méi)有軌道磁矩，而分成二個(gè)狀態(tài)（二個(gè)軌道），表示存在磁矩，而這磁矩在任何方向上的投影僅取二個(gè)值。這磁矩既然不是由于軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，因此，只能是電

3、子自己的（核磁矩可忽），這磁矩稱為內(nèi)稟磁矩s，與之相聯(lián)系的角動(dòng)量稱為電子自旋，它是電子的一個(gè)新物理量，也是一個(gè)新的動(dòng)力學(xué)變量。2）電子自旋存在的其他憑據(jù)A堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)鈉原子光譜中有一譜線，波長(zhǎng)為5893?，但精巧測(cè)量發(fā)現(xiàn)，實(shí)質(zhì)上，這是由兩條譜線組成。D15895.93?D25889.95?這一事實(shí)，從電子僅擁有三個(gè)自由度是無(wú)論如何不能夠講解的。B失態(tài)塞曼效應(yīng)（AnomalousZeemaneffect）原子序數(shù)z為奇數(shù)的原子，其多重態(tài)是偶數(shù)，在弱磁場(chǎng)中分裂的光譜線條數(shù)同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！1所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。為偶（如鈉D1和

4、D2的兩條光譜線，在弱磁場(chǎng)中分裂為4條和6條）。這種現(xiàn)象稱為反常塞曼效應(yīng)。不引入電子自旋也是不能夠講解的。C在弱磁場(chǎng)中，能級(jí)分裂出的多重態(tài)的相鄰能級(jí)間距，其實(shí)不用然為eB，而是2gDe1(gD稱Landeg因子)。B。對(duì)于不一樣能級(jí)，gD可能不一樣，而不是簡(jiǎn)單為2依照這一系列實(shí)驗(yàn)事實(shí)，G.Uhlenbeck）（烏倫貝克）和S.Goudsmit（古德斯密特）提出假設(shè)電子擁有自旋S，并且有內(nèi)稟磁矩s，它們有關(guān)系seSme電子自旋在任何方向上的測(cè)量值僅取兩個(gè)值，因此2zeze，2meSzme以e為單位，則gs2（而ge1）2me自旋的回磁比為gs2現(xiàn)在很清楚，電子自旋的存在可由Dirac提出的電子相

5、對(duì)論性理論自然獲得?？紤]到輻射修正gs2(1)2.002319227.2自旋微觀客體的一個(gè)動(dòng)力學(xué)變量x,y,z，還應(yīng)有第四個(gè)既然電子有自旋，這表示描述電子運(yùn)動(dòng)的變量就不能夠僅取變量Sz，相應(yīng)算符為S?z。1）電子的自旋算符和它的矩陣表示由于電子擁有自旋，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，它也擁有內(nèi)稟磁矩Sme因此，自旋這個(gè)動(dòng)力學(xué)變量是擁有角動(dòng)量性質(zhì)的量，自然它又不一樣于軌道角動(dòng)量（僅取二個(gè)值，gs2）。對(duì)于這樣一個(gè)力學(xué)量，自然仍應(yīng)用線性厄密算符來(lái)刻劃它。于是我們假設(shè)：自旋算符S有三個(gè)重量Si，并滿足角動(dòng)量所擁有的對(duì)易關(guān)系。對(duì)易關(guān)系Si,SjiijkSk同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！2所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的

6、日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。B.由于它在任意方向上的重量測(cè)量?jī)H取二個(gè)數(shù)值,，因此2?2?2?212SxSySz4于是?232112是一常數(shù)S4(1)22矩陣形式由于其重量?jī)H取二個(gè)數(shù)值，也即本征值有二個(gè)，因此?可Sx,Sy,Sz用22矩陣表示。1若選S?z作為力學(xué)量完好集，即取Sz表象，那S?z在自己表象中的表示自然為對(duì)角矩陣，而對(duì)角元就是它的本征值(Sz)10012相應(yīng)的本征矢S,Sz1,122?S,msmsS,msSz其對(duì)應(yīng)的表示為1，0012?在S表象中的矩陣表示xy我們知道，這只要將?基矢張開(kāi)，Sx,Sy作用于Sz的基矢并以Sz從張開(kāi)系數(shù)來(lái)獲得由?iSySz,Sx?iSxSz,

7、Sy?Sz,SS因此?S,ms?)S,msSzSS(Sz(ms?S,ms1)S?AS,ms1SS,ms由?A2S,msSSS,ms?2?2?S,msSSzSzS,ms同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！3所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。32ms22ms24(1ms)(1ms1)222A(Sms)(Sms1)?(Sms)(Sms1)S,ms1即SS,ms同理可得?S,ms(Sms)(Sms1)S,ms1S?S,ms(Sms)(Sms1)S,ms1Sx2(Sms)(Sms1)S,ms1?S,msiSy(Sms)(Sms1)S,ms12(Sms)(Sms1)S,ms

8、1?1111Sx22222?1111Sx22222得系數(shù)矩陣為01轉(zhuǎn)置得?0110(Sx)2102而?11i11Sy22222?11i11Sy22222系數(shù)矩陣為i01轉(zhuǎn)置得?0i210(Sy)2i0對(duì)于S?n在,方向有?SnsincosSxsinsinSycosSz同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！4所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。cosei2sinei2則本征矢22sinei2cosei222PauliOperator；為方便起見(jiàn)，引入泡利算符S2于是，在z表象中有（或稱Pauli表象）(x)01，(y)0i1010i0，(z)10稱為泡利矩陣。i的本征

9、值為。i,j2iijkk，2221xyz由此得xyyx1(x2iy2iyx)2i1(xz,xz,xx)2i1z,x22i0于是有2xyxyyx2izxyzi為使我們對(duì)表象變換及算符矩陣表示以及由矩陣表示求本征值，本征矢有進(jìn)一步性認(rèn)識(shí)，我們作一些例子。例1求?y的本征值，本征矢因已知?y在z0i表象中矩陣形式為0i矩陣形式的本征方程為(y)nkmsnkak0k要a不一樣時(shí)為0，系數(shù)行列式應(yīng)為0kmsi1ms21i0ms2ms對(duì)于同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！5所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。ms11ia10a2i，a11i1a2112ims11ia10a2

10、1，a1ii1a21i21例2表象變換對(duì)于兩表象變換AsB,Sbaba顯然，Sba列，實(shí)為A表象基矢a在B表象中的表示(S)z11iy2i1我們知(y)在自己表象為10，01因此，它在z表象中表示為(y)11i1011i0iz2i1012i1i0自然由zy的變換矩陣SyS11iz2i1(y)11i0i1i10y2i1i0i1012）考慮自旋后，狀態(tài)和力學(xué)量的描述自旋波函數(shù)（電子的自旋態(tài)）對(duì)于?的本征方程為Sz?Szmsmsms同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！6所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。?,ms1由于Sz的本征值僅取22在其自己表象(Sz)10012而

11、相應(yīng)本征態(tài)的表示為(Sz1)12102(S1)120z21（即ms(Sz)：12(1)1，12(1)0，12(1)0，12(1)1）2222(Sz)2，(Sz)2(z)?的本征值為的本征態(tài)在Sz表象中的表示是Sz2是?的本征值為的本征態(tài)在Sz表象中的表示Sz2顯然,正交，00(1,0)1對(duì)于任何一旋量在Sz表象中，其表示為(2)a12(2a12a1212a1212a12a12若是歸一化的，則a2為以描述的電子處于Sz的幾率，122即自旋向上的幾率。下而a12和a12可由,與標(biāo)積獲得(1,0)a12a12a12同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！7所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)

12、，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。(0,1)a12a12a12(即由表示計(jì)算振幅1111112,2,ms,ms2ms222,1221,11,ms1,ms）ms2222B.考慮自旋后狀態(tài)的描述：由于電子除了?，x,y,z之外，還有第四個(gè)動(dòng)學(xué)變量Sz它的特點(diǎn)僅取二個(gè)值，而?)表象中表示系統(tǒng)波函數(shù)。r,Sz0，因此，可在(r,Sz?的系統(tǒng)可按自旋波函數(shù)展Sz僅有兩個(gè)本征函數(shù)。因此，對(duì)于處于某狀態(tài)開(kāi)。r,msms(r,t)這即在(r,Sz)表象中表示。如令r,Sz(r,t)22r,Sz(r,t)22則在(r,Sz)表象中的表示為(r,t)12(r,t)(r,ms212(r,t)(r,t)212(r,t)12(r,t)

13、若是歸一化的態(tài)矢量，則drr,msr,msms12(r,t)12(r,t)12(r,t)12(r,t)dr212代表系統(tǒng)處于r而自旋向上的幾率密度212代表系統(tǒng)處于r而自旋向下的幾率密度仿佛一般變量可分別型同樣，當(dāng)?對(duì)r和Sz是變量可分別型的，則其特解為H同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！8所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。(r,Sz,t)(r,t)(Sz)C考慮自旋后，力學(xué)量的表述?L而在(r,Sz)表象中,?)的表示為(r,Sz?)(r,Sz?而L在(r,Sz)表象中的表示為12121212?L11(r,P),L12(r,P)(rr)(r,SzLr,Sz)

14、?L21(r,P),L22(r,P)方程?在(r,Sz)表象中可表為L(zhǎng)?drr,Szr,SzSzr,SzLr,Sz?12(r)12(r)L11(r,P),L12(r,P)?12(r)12(r)L21(r,P),L22(r,P)L11Sz?L(r,P,Si)Sz22L12Sz?L(r,P,Si)Sz22L21Sz?2L(r,P,Si)Sz2L22Sz?L(r,P,Si)Sz22事實(shí)上，直接由?表象中表示來(lái)獲得L(r,P,Si)在Sz?L11(r,P),L12(r,P)?L21(r,P),L22(r,P)對(duì)任一算符的平均值為?dLL同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！9所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的

15、日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。*?12L11L12dr(12,12)?L21L2212*?*?12dr12L1112dr12L12*?*?12L2112dr12L2212dr例：求1(xiy)在態(tài)矢量中的平均值2解：?在(r,Sz)表象中表示(?)1010i011ii00200而()12(r)12(r)(1*2(r),*0112(r)dr12(r)012(r)01*2(r),12(r)dr3）考慮自旋后，電子在中心勢(shì)場(chǎng)中的薛定諤方程A.動(dòng)能項(xiàng)在非相對(duì)論極限下，電子的動(dòng)能為p?2?T2當(dāng)計(jì)及電子的自旋后，波函數(shù)是雙重量。并注意到(?0A)(?B)ABi(AB),A,B我們有?1?Tp2p

16、而置于電磁場(chǎng)中時(shí)，則?1?eA)eA)T(p2(p1?eA)2i?2(p2(peA)(peA)1?eA)2e?B2(P2同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！10所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。B自旋軌道耦合項(xiàng)由Dirac方程能夠證明，當(dāng)電子在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，哈密頓量（在非相對(duì)論極限下）中將出現(xiàn)自旋軌道耦合項(xiàng)（Thomas項(xiàng)）（核供應(yīng)的庫(kù)侖屏敝場(chǎng)和自旋的作用以致）?(r)11dV(r)(r)SL，2me2c2rdrC電子置于電磁場(chǎng)中的哈密頓量?1?2e?eH(PeA)V(r)(r)SL(?B)22處于中心場(chǎng)中的電子，并置于電磁場(chǎng)中的薛定諤方程為i1?2e?et2

17、(PeA)V(r)(r)SL(?B)2應(yīng)該注意，在(r,Sz)表象中，這時(shí)是雙重量的，即1212i12H11H1212t12H21H22121，2，3項(xiàng)是對(duì)角矩陣）7.3堿金屬的雙線結(jié)構(gòu)引進(jìn)電子自旋后，我們就能夠利用量子力學(xué)理論來(lái)講解原子光譜中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)及在外電磁場(chǎng)中的現(xiàn)象。1）總角動(dòng)量總角動(dòng)量引入：當(dāng)考慮電子擁有自旋后，電子在中心力場(chǎng)中的Hamiltonian為12?H2PV(r)(r)LS(r)11dV(r)2m2c2rdr由于自旋軌道耦合項(xiàng)，LS?和?都不是運(yùn)動(dòng)常數(shù)例：?zzxzyxy?iSxLyiSyLx?Sz,LSLxSz,SxLySz,Syi?LxSyiLySx2因此，(H,?L?

18、,L?z,S?z)不能夠組成力學(xué)量完好集。同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！11所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。?與?不對(duì)易)(Sz,LzH但?0SzLz,LS即?0LS,LS引入?JLS?0?2?J,LS自然J,LS0而?2?2?2J,L0J,L0?20J,J由于存心勢(shì)?0?20H,JH,J?可證：Ji,JjiijkJk由上述可見(jiàn)，當(dāng)計(jì)及自旋軌道耦合后，?不再是運(yùn)動(dòng)常數(shù)，代之Lz,Sz?2?是運(yùn)動(dòng)常數(shù)（在中心場(chǎng)下）J,Jz因此，可選?22,Jz)為力學(xué)的完好集（如無(wú)?(H,L,JLS項(xiàng)，可選?2?(H,L,Lz,Sz)）B.?2?2,Jz)的共同本征矢的表

19、示（在,Sz表象中）(L,J(,)1(,)(,Sz)22(,)(,)21.?的本征函數(shù)它是Jz?1mj1(Jz)22?1(mj12)(Lz)2(mj12)這表示12同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！12所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。?1(mLz?2(mLzjj2)12)1m1(m取mjm1221)22它們是?2的本征函數(shù)L?21l(l1)1L22因此(,Sz)aYlmbYlm13由?2(,Sz)2(,Sz)J而?2?2?2?2?(J)(LS)LS2SzLz2SyLy2SxLx在,Sz表象中矩陣表示?232?,?2L4Lz(LxiLy)J?,?232?(Lx

20、iLy)L4Lz于是有l(wèi)(l1)3m,(lm1)(lm11)aa43bb(lm)(lm1),l(l1)m14要求a,b不一樣時(shí)為0，則其系數(shù)行列式為0，l(l1)3m,(lm1)(lm)403(lm)(lm1),l(l1)m14得2(2l22l1)(l22l3)(l21)0244(l22l3)(l1)(l3)422(l21)(l1)(l1)422即得?2的本征值為j(j1)2J當(dāng)l給定(S1)jl1，l1222于是有同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！13所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。1lm1Ylmjl12(ljmjmjm12(,Sz)lmYlm12l1lm

21、l11lmYlmjl12mjm122l1lm1Ylm1l1ml因此可知，?Jz取確定值mj，而Sz,Lz不擁有確定值，它們?nèi)≈禐?1221)m(m可見(jiàn)，由自旋為1態(tài)和軌道角動(dòng)量為l的態(tài)能夠耦合為總角動(dòng)量為(l1)和221(l)的態(tài)22(2l1)4l2顯然，態(tài)的數(shù)目是同樣多的(2(l1)1)(2(l1)1)4l222事實(shí)上，上述就是?2?2?2?2?2?L,S,J,Jz基矢以L,S,Lz,Sz基矢張開(kāi)，即l,S,j,mjlm1l,mS,1lml,m1S,12l122l12jl1mjm122l,S,j,mjlml,mS,1lm1l,m1S,12l122l12jl1mjm122?2?2?2?2?2,

22、Sz)表象即從(L,S,J,Jz)表象(L,Lz,SB表象A表象a,b就是平常稱的幺正變換系數(shù)(S)ABBA(S)ABA?1l,j,mjl,ml,1SBA22,ms人們習(xí)慣稱j1,m1,j2,m2j1,j2,j,m為clebsch-Gordancoefficients（它們形同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！14所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。成(2j11)(2j21)維的幺正矩陣）。自旋和軌道角動(dòng)量的耦合是兩角動(dòng)量耦合的特例。于是在中心勢(shì)中，考慮了電子的自旋，則其特解nljmjRnljljmj?2nljmjL?2nljmjJl(l1)j(j1)2nljmj

23、2nljmj?nljmjmjnljmjJz?nljmjEnljnljmjH例：電四極矩電四極矩算符?q(3xixjr2ij)在原子物理和原子核物理QijqQij中，測(cè)量的電四極矩給出的值的定義為Q?n,l,j,mjQzzn,l,j,mjmjj（對(duì)于一個(gè)電荷平均分布的帶電體，其大小，符號(hào)，反響了系統(tǒng)的形狀）先看Qlm?n,l,mQzzn,l,m?2n,l(3l,mcos2l,m1)qn,lr由cosl,malml1,mal1ml1,malm(l1)2m2(2l1)(2l3)Qlmqr23(alm2al21m)1qr22l(l1)6m2(2l1)(2l3)而r,Szn,l,j,mjRnljljmj

24、Rnlj(aYlmbYlm1)注意到?與自旋沒(méi)關(guān)，而,是正交的Qzz?n,l,j,mjQn,l,j,mjQzzmjjqr22?2?al,mQzzl,mbl,m1Qzzl,m1同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！15所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。qr2a22l(l1)6m2b22l(l1)6(m1)2(2l1)(2l3)(2l1)(2l3)qr212j2(j1)注意mjjjl12ml而mjm12jl12ml11?2的算符。當(dāng)因此可知，j時(shí)，Q算符是角動(dòng)量為0。這是由于Qzz2它作用于j,mj后，態(tài)將從j,mjj2,mjj2,mj當(dāng)j1?，則Qzz將21,mj5

25、,mj，3,mj222因此與1,mj正交。因此，這時(shí)在帶電體外，顯示“電荷”是球形分2布。2）堿金屬的雙線結(jié)構(gòu)堿金屬原子有一個(gè)價(jià)電子，它碰到來(lái)自原子核和其他電子供應(yīng)的障蔽庫(kù)侖場(chǎng)V(r)的作用。價(jià)電子的哈密頓量為?2?PV(r)H2(r)LS(r)11dV(r)22c2rdr?HE22如選力學(xué)量完好集(H?,L?,J?,J?z)（運(yùn)動(dòng)常數(shù)的完好集）則nljmjRnlj(r)ljmj(,)由于?ljmj1?2?2?2ljmj(SL)(JLS)21j(j1)l(l1)32ljmj24同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！16所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。l2ljmj

26、l12j2l12ljmjjl122?nljmjEnljnljmj可表為H21d2(rRnlj)l(l1)2RnljV(r)Rnlj2rdr22r2l2(r)Rnljjl12EnljRnlj2l12(r)Rnljjl122因V(r)為吸引勢(shì)FV(r)因此V(r)0。V(r)隨r而（單調(diào)上升），于是dV(r)0(r)0dr因此，l2(r)V(r)l12(r)V(r)22依照Hellmann-Feynman定理可證Enljl1Enlj如l1,j1,32l1222則Ej32Ej12原來(lái)能級(jí)EEnlEn,l,l12n,l,l12這即察看到納光譜的雙線結(jié)構(gòu)。17.4兩自旋為的粒子的自旋波函數(shù)。21(S1z

27、,S2z)表象中兩自旋為的粒子的自旋波函數(shù)2設(shè)：兩粒子的自旋分別為?，顯然，如選(S,S2z)表象則可能的態(tài)為S,S1z12(1)(2),(1)(2),(1)(2),(1)(2)B.?2?表象中兩自旋為1(S,Sz)的粒子的自旋波函數(shù)2如令SS1S2則Si,SjiijkSk滿足角動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！17所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。并有?2?0S,Sz可選表象?2?(S,Sz)由?2?2?2?22S1S2S(S1S2)S1S2322S1S22?494?62?S44(S1S2)(S1S2)S1S2依照(A)(B)ABi(AB)（A

28、,B與對(duì)易）則有(12)(12)2i1(22)3212)2（推論：無(wú)論多少(12)冪次，都能化為A1B1(12)，S4可化為?2ABS）(S1S2)(S1S2)3412?162S1,S2?4943422?62?S44S1S2S1S234?24S1S2?222S令?2是S的本征態(tài)則?22S?42424(S)(2)0021(11)，00(10)?21(11)22于是有S1ms1ms21ms?2000S?1msms1msms1,0,1Sz?000ms0Sz這時(shí)有111011004個(gè)態(tài)(1)(2)(1)(2)同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！18所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)

29、夢(mèng)想的偏執(zhí)。而?(1)(2)0?(1)(2)0SzSz232?1由?（對(duì)于S,S）S2S,S222112P121(12)1?21212S因此P12smsS(S1)1sms當(dāng)S1P121ms1msP12是交換算符S0P120000因此10001(1)(2)(1)(2)21(1)(2)(1)(2)2我們稱1ms為自旋三重態(tài)（對(duì)稱的）00為自旋單態(tài)（反對(duì)稱的）當(dāng)兩自旋為1的全同粒子，其相互作用對(duì)空間坐標(biāo)和自旋變量2是變量可分別時(shí)，則特解為(r1,S1z,r2,S2z)u(r1,r2)(S1z,S2z)但是，這其實(shí)不是系統(tǒng)可處的狀態(tài)。微觀世界還有一重要規(guī)律，使系統(tǒng)波函數(shù)不能任意選擇，這就是微觀粒子的全

30、同性問(wèn)題。C.Bell基若?，?，可選?的A1z2zB1x2x。因A,B0A,B共同本征態(tài)作為兩自旋為1粒子的自旋波函數(shù)2iBjiBjiBjiBj1(1)(2)(1)(2)21(1)(2)(1)(2)21(1)(2)(1)(2)21(1)(2)(1)(2)2同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！19所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。7.5全同粒子交換不變性波函數(shù)擁有確定的置換對(duì)稱性各種微觀粒子有必然屬性，擁有必然質(zhì)量、電荷、自旋，人們依照它的屬性的不一樣分別稱為電子，質(zhì)子，介子，等等。實(shí)考據(jù)明，每一種粒子，都是完好同樣的（如兩個(gè)氫原子中的質(zhì)子或電子都同樣）經(jīng)典物理

31、中，我們習(xí)慣稱這是電子1，那是電子2，它們?cè)谕饬ψ饔孟?，按自己的軌道運(yùn)動(dòng)，我們?cè)谌魏螘r(shí)刻都能追蹤它，我們不會(huì)誤認(rèn)電子1為電子2。即按軌道來(lái)區(qū)分同一類粒子。但從量子力學(xué)的見(jiàn)解來(lái)看，情況就發(fā)生變化。它的描述不能夠用軌道見(jiàn)解，而只能用波函數(shù)。依照波函數(shù)來(lái)描述出現(xiàn)在r1r1dr的體積之中幾率大小；或依照一些力學(xué)量完好集來(lái)描述粒子所處狀態(tài)。即n1個(gè)粒子處于1態(tài)；n2個(gè)粒子處于2態(tài)，或這些態(tài)的疊加態(tài)上。但它不能能告訴你，那一個(gè)粒子處于1態(tài)，那一個(gè)粒子處于2態(tài)。如1(r1)2(r2)1(r2)2(r1)是可能的二種態(tài)，對(duì)它進(jìn)行測(cè)量是分不清兩者的差別。它們每一個(gè)都不能夠用于對(duì)二個(gè)全同粒子的描述。全同粒子交換是

32、不能察看的。1）交換不變性設(shè)：氦原子的兩個(gè)質(zhì)子固定不動(dòng)，那么描述氦原子中的兩個(gè)電子組成的系統(tǒng)，其哈密頓量為?2?22e22e2P1P22eH2m2mr1r24rr012若P12為粒子交換算符，將12，21則?0P12,HP?,t)?H(r,r,t)(r,rH(r,r,t)(r,r,t)1212122121?(r1,r2,t)H(r2,r1,t)P12由于(r1,r2,t)任意，因此?P12H(r1,r2,t)?若H是交換不變，即?H(r2,r1,t)P12?,r1,t)?,r2,t)H(r2H(r1同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！20所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)

33、想的偏執(zhí)。則P?,t)01212P12是運(yùn)動(dòng)常數(shù)（若?H(r1,r2)是交換不變）或這樣看，由于系統(tǒng)擁有交換不變性，因此t0經(jīng)交換后演化到t，應(yīng)等于演化到t再進(jìn)行交換，即P12(r1,r2,t)U(tt0)P12(r1,r2,t0)P12U(tt0)(r1,r2,t0)由于的任意性，因此PU(t)U(t)Pi?U(t)eH(r,p)t/1212由于t任意?0P12,H即?,P2,r1,P1)H(r1,P1,r2,P2)H(r2則P12是運(yùn)動(dòng)常數(shù)若(r1,r2,t)是P12的本征態(tài)，則P12(r1,r2,t)(r1,r2,t)P2(r,r2,t)2(r,r,t)(r,r2,t)12112121，

34、1因此，有兩種態(tài)，一種是交換下不變，則為對(duì)稱態(tài)；另一種是交換下改號(hào)，則為反對(duì)稱態(tài)。Ps(r,r,t)s(r,r,t)s(r,r,t)12122112PA(r,r,t)A(r2,r,t)A(r,r,t)1212112顯然s(r,r)c(1P)(r,r2)12121(r1,r2)c(1P12)(r1,r2)由于它是運(yùn)動(dòng)常數(shù)，因此，一開(kāi)始，系統(tǒng)處于置換對(duì)稱態(tài)時(shí)，那今后任何時(shí)候都處于這態(tài)下與其他運(yùn)動(dòng)常數(shù)有實(shí)質(zhì)不一樣之處是：系統(tǒng)要么處于對(duì)稱態(tài)，要么處于反對(duì)稱態(tài)。這是粒子自己所固有的特點(diǎn)。而不是人們能夠人為地給一個(gè)初條件，讓系統(tǒng)處于一個(gè)沒(méi)有確定的置換對(duì)稱性的狀態(tài)下。同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！21N個(gè)全同

35、粒子的哈氏量為單粒子哈氏量所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。因此，下面一些結(jié)論是重要的：由于Pij是一運(yùn)動(dòng)常數(shù)，因此一開(kāi)始系統(tǒng)處于某種交換對(duì)稱態(tài)下，則今后任何時(shí)刻都處于這態(tài)下；與其他運(yùn)動(dòng)常數(shù)有實(shí)質(zhì)不一樣之處在于，系統(tǒng)要么處對(duì)稱態(tài)，要么處于反對(duì)稱態(tài)。這是粒子固有的屬性，而不是人為地給初條件所致；實(shí)驗(yàn)表示：擁有自旋為半整數(shù)的粒子系統(tǒng)，當(dāng)兩粒子交換，波函數(shù)反號(hào)，即處于反對(duì)稱態(tài)；而自旋為整數(shù)的粒子，兩者交換，波函數(shù)不變，即處于對(duì)稱態(tài)。在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中，擁有自旋為的半整數(shù)的粒子作為單元組成的體系，遵守Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì)（稱為Fermion）。擁有自旋為的整數(shù)

36、倍的粒子作為單元組成的系統(tǒng)，遵守Bose-Einstain統(tǒng)計(jì)（稱為Boson）.全同粒子的波函數(shù)結(jié)構(gòu)，泡利原理：忽略粒子間的相互作用，則之和?)?H(r1,r2,p1,p2(r1,p1)(r2,p2)顯然，對(duì)任何一粒子，其哈氏量的形式完好同樣2?2V(r)2單粒子的能量本征方程為?k(r)kk(r)h(r,p)?)uE(r1,rN)EuE(r1,rN)H(r1,r2,p1,p2?H(1,2,)h(ri,pii它的一個(gè)特解為uE(1,2,N)1(r1)2(r2)N(rN)E12N但它不能夠作為系統(tǒng)的態(tài)函數(shù)，因系統(tǒng)真切的態(tài)函數(shù)必定滿足必然的交換對(duì)稱性。AN個(gè)費(fèi)米子的波函數(shù)，泡利原理由于費(fèi)米子的波

37、函數(shù)交換一對(duì)費(fèi)米子是反對(duì)稱的，因此，它能夠這樣來(lái)組成：取1(r1)2(r2)N(rN)作為標(biāo)準(zhǔn)排列。1(r1)2(r2)N(rN)是經(jīng)過(guò)某一置換P12N來(lái)實(shí)現(xiàn)12N同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！22所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。由于對(duì)換（transposition）一對(duì)粒子，波函數(shù)改號(hào)。而對(duì)某一置換Permutation）它相應(yīng)的對(duì)換數(shù)的奇偶性是必然的。因此，置換后的這一項(xiàng)的符號(hào)與標(biāo)準(zhǔn)排列項(xiàng)的符號(hào)差別取決于該置換的對(duì)換數(shù)的奇偶性。如123456781234567234517681514131267因此有5個(gè)對(duì)換，其符號(hào)為負(fù)號(hào)。對(duì)3個(gè)粒子：某一置換123

38、12，即有一個(gè)對(duì)換，因此為負(fù)213號(hào)。自然可經(jīng)三個(gè)對(duì)換121313設(shè)一個(gè)置換P對(duì)應(yīng)的對(duì)換數(shù)為，則真切的波函數(shù)應(yīng)為A（1）P1(r1)N(rN)對(duì)所有置換求和這即行列式定義1(r1)1(r2)1(rN)A2(r1)2(r2)2(rN)(r1)N(r2)(rN)NN比方：對(duì)N2A1(r1)1(r2)A1(r1)2(r2)1(r2)2(r1)(r1)(r2)22能夠看出，任意兩個(gè)粒子交換（即兩列交換）改號(hào)；若1與2態(tài)是完好同樣的態(tài)，那0（即兩行交換）。這表示，對(duì)兩個(gè)全同的費(fèi)米子不能夠處于這種態(tài)中。于是我們有下面的原理：泡利原理（pauliexclusionprinciple）：在客觀實(shí)質(zhì)的系統(tǒng)中，沒(méi)

39、有兩個(gè)或多個(gè)全同費(fèi)米子可處于一個(gè)完好同樣的單態(tài)中（或：全同費(fèi)米子系統(tǒng)的態(tài)中，擁有同樣量子數(shù)的單態(tài)不大于1）對(duì)于N個(gè)粒子，有N!項(xiàng)（有N!個(gè)置換），而每一項(xiàng)中，費(fèi)米子處于這N個(gè)單態(tài)上的分布是不一樣的，因此各項(xiàng)之間是正交的。2drdrNA2N!1因此，對(duì)于N個(gè)無(wú)相互作用的全同費(fèi)米子系統(tǒng)的歸一化反對(duì)稱波函數(shù)為同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！23所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。A(r1r2112NrN)N!12(r1)1(r2)1(rN)(r1)2(r2)2(rN)(r1)(r2)(rN)NNNBN個(gè)全同玻色子的波函數(shù)由于玻色子波函數(shù)相對(duì)兩全同玻色子對(duì)換是對(duì)稱的，

40、即不變號(hào)：12N(r1r2rN)AP1(r1)(r2)(rN)所有置換2N由于玻色子不受泡利原理限制，因此處于同一單態(tài)上的玻色子能夠是任意多個(gè)。因此，若是1,2,N態(tài)中擁有同樣1的有n1個(gè)；擁有同樣單態(tài)2有n2個(gè)；擁有N單態(tài)中的玻色子有nN個(gè)。n1n2nNNn11n22nNNE于是上述置換雖擁有N!項(xiàng)，但有些項(xiàng)是同樣的。如n1個(gè)1態(tài)的粒子進(jìn)行置換，所得項(xiàng)是同樣的，而這同樣項(xiàng)有n!，同理n2個(gè)2態(tài)的粒子置換，所得項(xiàng)同樣，而這有n!項(xiàng)12因此，N個(gè)玻色子的某一種排列有n1!n2!nN!個(gè)同樣項(xiàng)。因此，不一樣單態(tài)交換的排列的數(shù)應(yīng)為N!n1!n2!nN!2drdrNA2(n1!n2!nN!)2N!1n

41、1!n2!nN!S(r1r2rN)1Ps1(r1)2(r2)N(rN)12NN!n1!n2!nN!所有置換1(n1!n2!nN!)P1(r1)N(rN)N!n1!n2!nN!僅對(duì)處于不一樣單態(tài)間粒子置換n1!n2!nN!P(r1)N(rN)N!1不一樣單態(tài)間粒子置換比方：N3有二個(gè)在1態(tài)，一個(gè)在2態(tài)。同是寒窗苦讀，怎愿五體投地！24所謂的光輝歲月，其實(shí)不是今后，閃耀的日子，而是無(wú)人問(wèn)津時(shí)，你對(duì)夢(mèng)想的偏執(zhí)。N!3!有三個(gè)不一樣分布n1!n2!nN!32!1!0!SE2!1!1(r1)1(r2)2(r3)P3!不一樣態(tài)間置換11(r)1(r)2(r)1(r)1(r)2(r)1(r)1(r)2(r)31233211