北師大版中考復(fù)習(xí)整式和因式分解

1、北師大版中考復(fù)習(xí)：整式和因式分解中考復(fù)習(xí)：整式與因式分解【考綱領(lǐng)求】整式部分主要觀察冪的性質(zhì)、整式的有關(guān)計(jì)算、乘法公式的運(yùn)用，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；因式分解是中考必考內(nèi)容，題型多以選擇題和填空題為主，也常常浸透在一元二次方程和分式的化簡(jiǎn)中進(jìn)行觀察.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】1/17北師大版中考復(fù)習(xí)：整式和因式分解【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、整式單項(xiàng)式數(shù)與字母的積的形式的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式單項(xiàng)式是代數(shù)式的一種特別形式，它的特點(diǎn)是對(duì)字母來(lái)說(shuō)只含有乘法的運(yùn)算，不含有加減運(yùn)算在含有除法運(yùn)算時(shí)，除數(shù)(分母)只能是一個(gè)詳盡的數(shù)，能夠看成分?jǐn)?shù)因數(shù)單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式2/17北師大版中考復(fù)習(xí)：整式和因式分解要點(diǎn)講解

2、：1）單項(xiàng)式的系數(shù)是指單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)2）單項(xiàng)式的次數(shù)是指單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和多項(xiàng)式幾個(gè)單項(xiàng)式的代數(shù)和叫做多項(xiàng)式也就是說(shuō)，多項(xiàng)式是由單項(xiàng)式相加或相減組成的要點(diǎn)講解：1）在多項(xiàng)式中，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)2）多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)（3）多項(xiàng)式的次數(shù)是n次，有m個(gè)單項(xiàng)式，我們就把這個(gè)多項(xiàng)式稱為n次m項(xiàng)式4）把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的序次排列起來(lái)，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母降冪排列其他，把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的序次排列起來(lái)，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母升冪排列整式單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式同類項(xiàng)所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)，叫

3、做同類項(xiàng)整式的加減整式的加減其實(shí)是去括號(hào)法規(guī)與合并同類項(xiàng)法規(guī)的綜合運(yùn)用把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng).合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母部分不變.若是括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相同；若是括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相反.整式加減的運(yùn)算法規(guī)：一般地，幾個(gè)整式相加減，若是有括號(hào)就先去括號(hào)，爾后再合并同類項(xiàng).6.整式的乘除冪的運(yùn)算性質(zhì)：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘：兩個(gè)單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、相同字母分別相乘，關(guān)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式去

4、乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加用式子表達(dá)：3/17北師大版中考復(fù)習(xí)：整式和因式分解多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：一般地，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加用式子表達(dá)：平方差公式：完好平方公式：在運(yùn)用乘法公式計(jì)算時(shí)，有時(shí)要在式子中添括號(hào)，添括號(hào)時(shí)，若是括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；若是括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).單項(xiàng)式相除：兩個(gè)單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，關(guān)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相

5、加要點(diǎn)講解：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)能夠是任意的有理數(shù)，也能夠是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.（2）三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也擁有這一性質(zhì)，即amanapamnp（m,n,p都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個(gè)冪分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來(lái)的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來(lái)的冪的指數(shù)。即amnaman（m,n都是正整數(shù)）.（4）公式(am)namn的實(shí)行：(am)n)pamnp(a0，m,n,p均為正整數(shù))（5）逆用公式：amnamnanm，依照題目的需要常常逆用冪的乘方運(yùn)算能將某些冪變形，從而解決問(wèn)題.（6）公式(ab)nanbn的實(shí)行：(abc)nanbncn(n

6、為正整數(shù)).（7）逆用公式：anbnnab逆用算式適合的變形可簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，特別是碰終究數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，1010計(jì)算更簡(jiǎn)略.如：1210121.224/17北師大版中考復(fù)習(xí)：整式和因式分解8）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式.在合并同類項(xiàng)從前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的最后結(jié)果需化簡(jiǎn)，有同類項(xiàng)的要合并.特其他二項(xiàng)式相乘，xaxbx2abxab.考點(diǎn)二、因式分解因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解因式分解常用的方法（1）提取公因式法：mambmcm(abc)（2）運(yùn)用公式法：平方差公式：a2b2(ab)(ab)；完好平方公

7、式：a22abb2(ab)2（3）十字相乘法：x2(ab)xab(xa)(xb)（4）分組分解法：將多項(xiàng)式的項(xiàng)適合分組后能提公因式或運(yùn)用公式分解.（5）添、拆項(xiàng)法：把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)翻開(kāi)或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原式適合于提公因式法、公式法或分組分解法進(jìn)行分解.要注意，必定在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形.（6）運(yùn)用求根公式法：若ax2bxc0(a0)的兩個(gè)根是x1、x2，則有：ax2bxca(xx1)(xx2).因式分解的一般步驟1）若是多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；2）提出公因式或無(wú)公因式可提，再考慮可否運(yùn)用公式或十字相乘法；3）對(duì)二次三項(xiàng)式，應(yīng)先試一試用十字相乘法分解，

8、不能夠的再用求根公式法；4）最后考慮用分組分解法及添、拆項(xiàng)法.要點(diǎn)講解：5/17北師大版中考復(fù)習(xí)：整式和因式分解1）因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；2）最后把多項(xiàng)式化成乘積形式；3）結(jié)果要完好，即分解到每個(gè)因式都不能夠再分解為止（4）十字相乘法分解思路為“看兩端，湊中間”，二次項(xiàng)系數(shù)a一般都化為正數(shù)，若是是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上.（5）分組分解法分解因式常用的思路有：方法分類分組方法特點(diǎn)二項(xiàng)、二項(xiàng)按字母分組按系數(shù)分組吻合公式的兩項(xiàng)分組四項(xiàng)三項(xiàng)、一項(xiàng)先完好平方公式后平方差公式分組分解五項(xiàng)三項(xiàng)、二項(xiàng)各組之間有公因式法三項(xiàng)、三項(xiàng)各組之間有公因式二項(xiàng)、二項(xiàng)

9、、二項(xiàng)六項(xiàng)三項(xiàng)、二項(xiàng)、一項(xiàng)可化為二次三項(xiàng)式【典型例題】種類一、整式的有關(guān)看法及運(yùn)算1若多項(xiàng)式2和多項(xiàng)式223333x+ax+8x-3x+b相乘的積中不含x、x項(xiàng)，求（a-b）-（a-b）的值【思路點(diǎn)撥】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法規(guī)，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加結(jié)果中不含二次項(xiàng)和三次項(xiàng)，則說(shuō)明這兩項(xiàng)的系數(shù)為0，建立關(guān)于a、b等式，求出a、b后再求代數(shù)式值【答案與解析】6/17北師大版中考復(fù)習(xí)：整式和因式分解22432解：（x+ax+8）（x-3x+b）=x+（a-3）x+（b-3a+8）x+（ab-24）x+8b，23又不含x、x項(xiàng)，a-3=0，b-3a+8=0，解得a

10、=3，b=1，333333（a-b）-（a-b）=（3-1）-（3-1）=8-26=-18【總結(jié)升華】解此類問(wèn)題的老例思路是：將兩個(gè)多項(xiàng)式依照乘法法規(guī)張開(kāi)，合并同類項(xiàng)，依照不含某一項(xiàng)就是這一項(xiàng)的系數(shù)等于0再經(jīng)過(guò)解方程（組）求解2322設(shè)mm20，求m3m2012的值322【思路點(diǎn)撥】能夠把m3m2012及mm20變形【答案與解析】222由mm20，得m2m，mm2，22原式mm3m20122（2m）m3m201222mm3m201222（mm）20122220122016【總結(jié)升華】要多研究方法，追求奇特簡(jiǎn)捷的方法3已知x2m5，求1x6m5的值5【答案與解析】7/17北師大版中考復(fù)習(xí)：整式和

11、因式分解x2m5，1x6m51(x2m)35153520555【議論】（1）逆用冪的乘方法規(guī)：amn(am)n(an)m2）此題培養(yǎng)了學(xué)生的整體思想和逆向思想能力貫穿交融：【變式】已知xa2，xb3求x3a2b的值【答案】x3a2bx3ax2b(xa)3(xb)223328972種類二、因式分解4多項(xiàng)式x22xy2y22y5的最小值是_.【答案】4；【解析】x22xy2y2222y5xyy14，因此最小值為4.【議論】經(jīng)過(guò)因式分解化為完好平方式，解析得出多項(xiàng)式的最小值.5把3ax4by4ay3bx分解因式【答案與解析】解法一：3ax4by4ay3bx(3ax4ay)(4bx4by)a(3x4y

12、)b(3x4y)(3x4y)(ab)解法二：3ax4by4ay3bc(3ax3bx)(4ay4by)8/17北師大版中考復(fù)習(xí)：整式和因式分解3x(ab)4y(ab)(ab)(3x4y)【議論】此題多項(xiàng)式的四項(xiàng)中沒(méi)有公因式，因此不能夠直接用提公因式法，但若是把其中兩項(xiàng)合為一組，如把第一、三兩項(xiàng)和第二、四兩項(xiàng)分為兩組，能夠分別提取公因式a和b，并且另一個(gè)因式都是(3x4y)，因此可連續(xù)分解把一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組后能運(yùn)用提取公因式法進(jìn)行分解，并且各組在分解后它們的另一個(gè)因式正好相同，還能夠用提取公因式法連續(xù)分解，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以用分組法來(lái)分解因式貫穿交融：【變式1】分解因式：a24b24abc2【

13、答案】原式(a24ab4b2)c2a2c2a2bca2bc.2b【整式與因式分解關(guān)系的地址名稱：例3（3）-（4）】【變式2】(1)16x2(x24)2；(2)1x24.4【答案】(1)原式(4x)2(x24)24x(x24)4x(x24)(x24x4)(x24x4)(x2)2(x2)2(2)原式1(x216)414)(x4).(x4種類三、因式分解與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用6若a、b、c為三角形的三邊邊長(zhǎng)，試判斷(a2b2c2)24a2b2的正負(fù)狀況【思路點(diǎn)撥】9/17北師大版中考復(fù)習(xí)：整式和因式分解將原式用公式法分解因式，再由三角形三邊的關(guān)系確定每個(gè)因式的符號(hào)，最后就能得出結(jié)果的符號(hào).【答案與解

14、析】(a2b2c2)24a2b2(a2b2c22ab)(a2b2c22ab)(ab)2c2(ab)2c2(abc)(abc)(abc)(abc)依三角形兩邊之和大于第三邊，知abc0，abc0，abc0，故(a2b2c2)24a2b20【議論】將原式分解因式，再依照三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊來(lái)判斷每個(gè)因式的正負(fù).貫穿交融：【變式1】若ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,且滿足a216b2c26ab10bc0，求證：ac2b.【答案】a216b2c26ab10bca26ab9b225b210bcc2a25b23bc因此a25b203bc22a3b5bc因此a3b(5bc)因此ac2

15、b或8bca10/17北師大版中考復(fù)習(xí)：整式和因式分解因?yàn)锳BCa、b、c，cab，的三邊長(zhǎng)分別為因此8bcab，矛盾，舍去.因此ac2b.【整式與因式分解關(guān)系的地址名稱：例4】【變式2】已知x123，求x41的值xx4【答案】x41(x21)22x4x2(x1)2222x(23)2222102298中考總復(fù)習(xí)：整式與因式分解牢固練習(xí)（提高）【牢固練習(xí)】一、選擇題1.若2481能被60或70之間的兩個(gè)整數(shù)所整除，這兩個(gè)數(shù)應(yīng)該是（）A61，63B63，65C61，65D63，672.乘積111111應(yīng)等于（）22111023292A5B1C2D111223203若2ambn38a9b15建立，則

16、()A.m3，n5B.m3，n12C.m6，n12D.m6，n511/17北師大版中考復(fù)習(xí)：整式和因式分解419939319的個(gè)位數(shù)字是()A2B4C6D85若x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，二次三項(xiàng)式x26xc的值都不小于0，則常數(shù)c滿足的條件是（）A.c0B.c9C.c0D.c96如圖，從邊長(zhǎng)為（a+1）cm的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為（a1）cm的正方形（a1），節(jié)余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)矩形（不重疊無(wú)縫隙），則該矩形的面積是（）A2cm2B2acm2C4acm2D（a21）cm2二、填空題7已知999119999，Q990，那么P，Q的大小關(guān)系是P8已知a3m2,b2m3，則a2m3bm6a2b3mb

17、m9若n是正整數(shù)，且a2n10，則(a3n)28(a2)2n_.2210.（1）若是ab1，那anbnanbn_.（2）已知25x2000,80y2000，則11.xy11關(guān)于任意的正整數(shù)n，能整除代數(shù)式3n13n13n3n的最小正整數(shù)是_.12.若是2a2b12a2b163，那么ab的值為_(kāi).三、解答題12/17北師大版中考復(fù)習(xí)：整式和因式分解13.（1）若xnx3n3x35，求n的值（2）若anbmb39b15，求m、n的值a14將以下各式分解因式：（1）x211x；（2）a25a1；36124（3）x2y27xy10；（4）ab24ab3.15.若二次三項(xiàng)式kx232x35k0能被2x7

18、整除，試求k的值16.已知：ab6,abca2bc的值.90,求a【答案與解析】【答案】B；【解析】24812241224122412121212122412121261261224121216563【答案】D；【解析】1111111122329210213/17北師大版中考復(fù)習(xí)：整式和因式分解11111111.111111112233991010314253108119223344.9910101111121020【答案】A；【解析】2ambn38a9b15,3m9,3n15，解得m3，n5.8a3mb3n【答案】C；【解析】19939319的個(gè)位數(shù)字等于993319的個(gè)位數(shù)字993(92)46981469;319(34)433(81)427993319的個(gè)位數(shù)字等于97的個(gè)位數(shù)字則19939319的個(gè)位數(shù)字是6【答案】B；【解析】x26xcx320，因此c9.c9，由題意得，c9【答案】C；【解析】矩形的面積是（a+1）2（a1）2，=a2+2a+1（a22a+1），=4a（cm2），應(yīng)選C二、填空題7【答案】PQ；【解析】999119PQ99099914/17北師大版中考復(fù)習(xí)：整式和因式分解9119990999119991199909991191PQ.8【答案】5；【解析】原