直線、平面、簡單幾何體棱錐

1、第九章 直線、平面、簡單幾何體棱錐第 講10考點搜索棱錐及其底面、側(cè)面、側(cè)棱、高等概念，正棱錐的概念棱錐的基本性質(zhì)及平行于棱錐底面的截面性質(zhì)多面體的有關(guān)概念直線、平面、簡單幾何體棱錐高考猜想1. 通過判斷命題真假考查棱錐有關(guān)概念和性質(zhì).2. 有關(guān)棱錐的棱長、高、面積等幾何量的計算.3. 以棱錐為背景，分析線面位置關(guān)系，以及空間角和距離的計算. 1.如果一個多面體的一個面是_,其余各面是有一個公共頂點的_,那么這個多面體叫做棱錐.在棱錐中有_叫做棱錐的側(cè)面，余下的那個多邊形叫做棱錐的_,兩個相鄰側(cè)面的_ 叫做棱錐的側(cè)棱，各側(cè)面的_叫做棱錐的頂點，由頂點到底面所在平面的_叫做棱錐的高.底面是_，并

2、且頂點在底面的射影是_的棱錐，叫做正棱錐.多邊形三角形公共頂點的各三角形底面公共邊公共頂點垂線段正多邊形底面中心2. 如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面_，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐的高的_.3. 正棱錐各側(cè)棱_，各側(cè)面都是全等的 _，各等腰三角形底邊上的高_(它叫做正棱錐的斜高).4. 正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個 _ ,正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個_.相似平方比相等等腰三角形相等直角三角形直角三角形5. 設(shè)棱錐的底面積為S，高為h，則其體積V=_.6. 由若干個 _圍成的空間圖形叫做多面體，圍成多面體的各個多邊形叫做多

3、面體的_，兩個面的 _叫做多面體的棱，棱和棱的_叫做多面體的頂點，連結(jié)_的兩個頂點的線段叫做多面體的對角線.平面多邊形面公共邊公共點不在同一面上 8. 每個面都是有相同邊數(shù)的 _,每個頂點為端點都有相同棱數(shù)的凸多面體，叫做_. 表面經(jīng)過連續(xù)變形可變?yōu)開的多面體，叫做簡單多面體. 7. 把一個多面體的任一個面伸展成平面，如果其余的面都位于這個平面的_，這樣的多面體叫做凸多面體。同一側(cè)正多邊形正多面體球面1.正六棱錐P-ABCDEF中，G為PB的中點，則三棱錐D-GAC與三棱錐P-GAC體積之比為( )A. 11 B. 12 C. 21 D. 32解：由于G是PB的中點,故P-GAC的體積等于B-

4、GAC的體積.如圖，在底面正六邊形ABCDEF中，BH=ABtan30= AB,而BD= AB,故DH=2BH,于是VD-GAC=2VB-GAC=2VP-GAC.C2.若正三棱錐底面邊長為4，體積為1，則側(cè)面和底面所成二面角的大小為( )A. arctan B. arctan2C. arctan3 D. arctan 解：如圖，取BC的中點D，連結(jié)SD、AD，則SDBC，ADBC.所以SDA為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，設(shè)為.A在平面SAD中，作SOAD,與AD交于O，則SO為棱錐的高h.又AO=2DO，所以 .由VS-ABC= ABBCsin60h=1，得h= , 所以tan= 所以=ar

5、ctan 3.過棱錐高的三等分點作兩個平行于底面的截面，它們將棱錐的側(cè)面分成三部分的面積的比(自上而下)為 .解：由錐體平行于底面的截面性質(zhì)知，自上而下三錐體的側(cè)面積之比為 S側(cè)1S側(cè)2S側(cè)3=149，所以錐體被分成三部分的側(cè)面積之比為135.1353.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH的邊及其內(nèi)部運動，則M只需滿足條件 時，就有MNAC.解：本題答案不唯一，當點M在線段FH上時均有MNAC. 點M與F重合1. 正三棱錐P-ABC的底面邊長為a，D為側(cè)棱PA上一點，且AD=2PD.若PA平面B

6、CD，求這個三棱錐的高.解：設(shè)PD=x，則AD=2x，PA=PB=PC=3x.因為PA平面BCD，所以PABD.所以AB2-AD2=PB2-PD2，題型1 棱錐中有關(guān)量的計算即a2-4x2=9x2-x2，得 作PO底面ABC，垂足為O，則O為ABC的中心，連結(jié)OC，則 在RtPOC中， 故三棱錐P-ABC的高為 .點評：與棱錐有關(guān)量的計算問題，一般先作出棱錐的高，根據(jù)需要可設(shè)所求量的大小為參數(shù)，然后利用方程思想，找到參數(shù)的方程，再求解方程以得出所求.這是方程思想在解題中的具體應(yīng)用. 已知E、F分別是棱長為a的正方體ABCDA1 B1 C1 D1的棱A1A、CC1的中點，求四棱錐C1-B1EDF

7、的體積.解法1：連結(jié)A1C1、B1D1交于O1，過O1作O1HB1D于H.因為EFA1C1，所以A1C1平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF的距離.因為平面B1D1D平面B1EDF，所以O(shè)1H平面B1EDF，即O1H為棱錐的高.因為B1O1HB1DD1，所以解法2：連結(jié)EF，設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則 ，所以解法3：2. 設(shè)正三棱錐P-ABC的底邊長為a，側(cè)棱長為2a，E、F分別為PB、PC上的動點，求AEF的周長的最小值.解：將三棱錐側(cè)面沿PA展開到同一平面上，如圖.則AE+EF+FAAA.取BC的中點D，連結(jié)PD

8、，題型2 棱錐表面展開圖的應(yīng)用則PDBC.設(shè)CPD=，則sin= .設(shè)PD交AA于H，則H為AA的中點，且PHAA.所以AH=PAsin3= ，所以AA= .故AEF的周長的最小值為 .點評：求與多面體有關(guān)的表面距離的最小值問題，常常將其展開成平面圖，然后在其平面展開圖上求其最值. 如圖，課桌上放著一個正三棱錐S-ABC，SA=1，ASB=30，螞蟻從點A沿三棱錐的側(cè)面爬行(必須經(jīng)過三棱錐的三個側(cè)面)再回到A，它按怎樣的路線爬行，才使其行跡最短. 解：沿SA剪開得展開圖如右.在SAE中， ，則 ，所以 .利用尺規(guī)作圖可以找到E和F，從而確定螞蟻的最佳行跡AEFA.3. 如圖所示的多面體是由底面

9、為ABCD的長方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.求點C到平面AEC1F的距離. 解：延長C1E、CB相交于G，連結(jié)AG，則平面AEC1F平面ABCD=AG.過點C作CMAG，垂足題型3 多面體背景中的線面關(guān)系問題為M，連結(jié)C1M.因為C1C平面ABCD，所以C1CAG，于是AG平面C1 CM，所以平面AEC1F平面C1CM.過點C作CHC1M，則CH平面AEC1F.所以CH的長即為點C到平面AEC1F的距離.由 得 又BC=2，所以BG=1，從而 由ABGCMG，得 所以故點C到平面AEC1F的距離是 .點評：不規(guī)則多面體一般是先分割(或是補形)成

10、棱錐和棱柱的組合體，然后運用棱錐或棱柱的性質(zhì)解決所求問題. 右圖是一個直三棱柱(以A1B1C1為底面)被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC. 已知A1B1=B1C1=1，A1B1C1=90，AA1=4，BB1=2，CC1=3. (1)設(shè)點O是AB的中點，證明：OC平面A1B1C1； (2)求二面角BACA1的大??； (3)求此幾何體的體積.解：(1)證明：作ODAA1交A1B1于D，連結(jié)C1D.則ODBB1CC1.因為O是AB的中點，所以則四邊形ODC1C是平行四邊形，因此有OCC1D.又C1D平面C1B1A1且OC平面C1B1A1，所以O(shè)C平面A1B1C1(2)如圖，過B作截面BA2C2平

11、面A1 B1 C1，分別交AA1、CC1于A2、C2.作BHA2C2于H，連結(jié)CH.因為CC1平面BA2C2，所以CC1 B H，則BH平面A1C1CA.又因為A B = ，BC= ，AC= ，所以AB2=BC2+AC2，所以BCAC.根據(jù)三垂線定理知，CHAC，所以BCH就是所求二面角B-AC-A1的平面角.因為BH= ，所以 ，故BCH=30.所以所求二面角B-AC-A1的大小為30.(3)因為BH= ，所以故所求幾何體的體積為1. 對于三棱錐，它的每一個面都可作為棱錐的底面，每一個頂點都可作棱錐的頂點，而體積總保持不變.因此，計算三棱錐的體積時，要注意頂點和底面的選擇.根據(jù)三棱錐的體積不變性，可得到處理問題的一種重要方法等體積法.2. 棱錐的側(cè)棱