scut二重積分的計(jì)算

1、一、二重積分的幾何意義二、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分第二節(jié) 二重積分的計(jì)算 三、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分四、二重積分的換元法五、小結(jié)六、作業(yè)(2)(3) (1)在D上的二重積分就等于二重積分是二重積分是而在其它的部分區(qū)域上是負(fù)的. 這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和.那末,柱體體積的負(fù)值;柱體體積;在D上的若干部分區(qū)域上是正的,一、二重積分的幾何意義二、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分(1) 積分區(qū)域?yàn)椋浩渲泻瘮?shù) X型在區(qū)間 上連續(xù).計(jì)算截面面積( 紅色部分即A(x0) )以D為底,以曲面為頂?shù)那斨w的體積.應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法.用二重積分的幾何意義說(shuō)明其計(jì)算法是區(qū)間為曲

2、邊的曲邊梯形.為底,曲線 是區(qū)間 為底,曲線 為曲邊 的曲邊梯形.有:先對(duì)y后對(duì)x的二次積分注：也可以從二重積分的物理意義來(lái)理解上述二次積分公式細(xì)桿的質(zhì)量非均勻薄片的質(zhì)量(2) 積分區(qū)域?yàn)椋篩型先對(duì)x后對(duì)y的二次積分也即其中函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù).abdc 計(jì)算結(jié)果一樣.又是Y型:(3)積分區(qū)域D既是X型:但可作出適當(dāng)選擇.(4) 若區(qū)域如圖,在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式.(用積分區(qū)域的可加性質(zhì))D1、D2、D3都是X型區(qū)域則必須分割.例1（P88例2）解1將D看成X型區(qū)域例1（P88例2）解2將D看成Y型區(qū)域D1D2第一種方法計(jì)算量小解解：例4對(duì)y的積分而它對(duì)x的積分交換積分次序的方法

3、是:改寫(xiě)D為:oxy 分析所以將二次積分先將所給的積分域(1)(2)畫(huà)出積分域的草圖(3)計(jì)算二次積分不能用基本積分法算出,可用基本積分法算出.交換積分次序.用聯(lián)立不等式表示 D:oxy解積分區(qū)域如圖例交換積分次序：解積分區(qū)域:原式=生物2010-04-16解原式又是能否進(jìn)行計(jì)算的問(wèn)題.計(jì)算二重積分時(shí),恰當(dāng)?shù)倪x取積分次序十分重要,它不僅涉及到計(jì)算繁簡(jiǎn)問(wèn)題,而且凡遇如下形式積分:等等,一定要放在后面積分.解解(1)先去掉絕對(duì)值符號(hào),如圖例5先對(duì)y積分簡(jiǎn)單D1D2D2解(2) 仿照(1)的方法，同時(shí)充分利用可加性例5先對(duì)y積分簡(jiǎn)單D1D2D2D1例7（求體積）兩個(gè)直交圓柱體在第一卦限相交所得的立體

4、體積解曲面圍成的立體如圖. 補(bǔ)充 若區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱,若 f(x, y)關(guān)于y為偶函數(shù)oxyD1D1為D在第 一象限中的部分,則二重積分的對(duì)稱性質(zhì)二重積分的對(duì)稱性若f (x, y)關(guān)于y為奇函數(shù)這個(gè)性質(zhì)的幾何意義如圖:OxyzOxyz 區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為偶函數(shù) 區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為奇函數(shù)若區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱,若 f(x, y)關(guān)于x為偶函數(shù)同理：D1為D在第 一象限中的部分,則若f (x, y)關(guān)于x為奇函數(shù)oxyD1設(shè)D為圓域(如圖)00D1為上半圓域D2為右半圓域例. 解由性質(zhì)得 例為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,(A)(B)(C)(D)0.A1991年

5、研究生考題, 選擇,3分D1是D在第一象限的部分,練習(xí)D1D2D3D4記 I=則I= I1+ I2, 其中I1=I2=而 I1 =D1與D2關(guān)于y軸對(duì)稱D3與D4關(guān)于x軸對(duì)稱xy關(guān)于x和關(guān)于y都是奇函數(shù)而 I2 =是關(guān)于x的偶函數(shù),關(guān)于y的奇函數(shù). 所以 D1D2D3D4 今后在計(jì)算重積分利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算時(shí), 注意被積函數(shù)的奇偶性. 積分區(qū)域的對(duì)稱性,要特別注意考慮兩方面:三、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分即也即極坐標(biāo)系中的面積元素(1) 積分區(qū)域D:(2)積分區(qū)域D(曲邊扇形):極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積(3) 積分區(qū)域D: 注一般,在極坐標(biāo)系下計(jì)算:解解解解下次從此開(kāi)始解解二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中注意使用對(duì)稱性）小結(jié)思考題思考題解答練 習(xí) 題練習(xí)題答案 四、二重積分的換元法例1解例2解小結(jié)基本要求:變換后定限簡(jiǎn)便，求積容易五、小結(jié)二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算公式 (注意使用對(duì)稱性)(注意正確選擇積分次序, 掌握交換積分次序的方