91-常微分方程的基本概念92-可分離變量的微分方程9匯總課件

1、9.1 常微分方程的基本概念9.2 可分離變量的微分方程9.3 一階微分方程與可降階 的高階微分方程9.4 二階常系數(shù)微分方程9.5 常微分方程的應(yīng)用舉例第9章 常微分方程結(jié)束9.1 常微分方程的基本概念第9章 常微分方程結(jié)束 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程。定義一9.1 常微分方程的基本概念常微分方程：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程偏微分方程：未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程 導(dǎo)數(shù)的階數(shù)叫做該微分方程的階定義二 在微分方程中，所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階一階微分方程的一般形式是 二階微分方程的一般形式是 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程注：在微分方程中，未知函數(shù)及自變 量

2、可以不出現(xiàn)例：注：在微分方程中，未知函數(shù)及自變 量可以不出現(xiàn)例：定義3 能使微分方程成為恒等式的函數(shù)叫做微分方程的解其圖形是一條平面曲線，稱之為微分方程的積分曲線例如，是方程的一個(gè)解我們?cè)趯W(xué)習(xí)不定積分時(shí)就已經(jīng)知道，一個(gè)導(dǎo)數(shù)的原函數(shù)有無窮多個(gè)，因此一個(gè)微分方程也有無窮多個(gè)解定義3 能使微分方程成為恒等式的函數(shù)叫做微分方程的解其圖等于該點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方，求此曲線方程例1 已知直角坐標(biāo)系中的一條曲線通過點(diǎn)(1,2)，且在該曲線上任一點(diǎn)處的切線斜率解 設(shè)所求曲線的方程為y=y(x)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及本題給出的條件，得 又由于已知曲線過點(diǎn)(1,2)，代入上式，得故所求曲線的方程為 等于該點(diǎn)的縱坐標(biāo)的

3、平方，求此曲線方程例1 已知直角坐標(biāo)系此解為該方程的通解（或一般解）定義4 若微分方程的解中含有任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同，且任意常數(shù)之間不能合并，則稱一階微分方程的通解是二階微分方程的通解是 n階微分方程的通解中，必須含有n個(gè)任意常數(shù)其通解的圖形是平面上的一族曲線，稱為積分曲線族 此解為該方程的通解（或一般解）定義4 若微分方程的解定義5 如果指定通解中的任意常數(shù)為某一固定常數(shù)，那么所得到的解叫做微分方程的特解如方程的通解是 而就是一個(gè)特解，這里在具體問題中常數(shù)C的值總是根據(jù)“預(yù)先給定的條件”而確定的如例1中的曲線通過點(diǎn)（1 , 2），這個(gè)“預(yù)先給定的條件”叫初始條件稱為初始條件當(dāng)通解中

4、的各任意常數(shù)都取定義6 用來確定通解中的任意常數(shù)的附加條件一般得特定值時(shí)所得到的解，稱為方程的特解定義5 如果指定通解中的任意常數(shù)為某一固定常數(shù)，那么所通常情況下，即二階微分方程的初始條件是及 即與一個(gè)微分方程與其初始條件構(gòu)成的問題稱為初值問題，求解其初值問題就是求方程的特解一階微分方程的初始條件是通常情況下，即二階微分方程的初始條件是及 即與一個(gè)微分方程與是不是方程 例2 驗(yàn)證函數(shù) 解 求 的導(dǎo)數(shù)，得 代入原方程的左邊，有即函數(shù) 不滿足原方程， 所以該函數(shù)不是所給二階微分方程的解是不是方程 例2 驗(yàn)證函數(shù) 解 求 的導(dǎo)數(shù)，得 代入解 由 得 代入原方程的左邊滿足原方程又因?yàn)樵摵瘮?shù)含有一個(gè)任意

5、常數(shù)，是一階微分方程 的通解 并求滿足初始條件 為任意常數(shù)）,例3 驗(yàn)證 是不是方程 的通解（C的特解將初始條件 代入通解，得 故所求特解為 解 由 得 代入原方程的左邊滿足原方程又因?yàn)樵摵瘮?shù)含有9.2 可分離變量的微分方程形如 f (x)dx + g(y)dy = 0 （9.2.1）定義：的一階微分方程叫做變量已分離的微分方程。如果微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)=0 (9.2.2)中左端的函數(shù)M(x,y)、N(x,y)都可以分解為兩個(gè)因子的積， 并且這兩個(gè)因子中一個(gè)只含有變量x,另一個(gè)只含有變量y， 即上述方程可以表為去除這個(gè)方程的兩邊，上式就可化為 以9.2 可分離變量的微分方程

6、形如 f (x)dx （9.2.3）將（9.2.3）式兩邊積分后，（C為任意常數(shù)） 可驗(yàn)證，此結(jié)果即用隱式給出的方程（9.2.3）的通解 個(gè)原函數(shù)，而把積分所帶來的任意常數(shù)明確地寫上。約定:在微分方程這一章中不定積分式表示被積函數(shù)的一（9.2.3）將（9.2.3）式兩邊積分后，（C為任意常數(shù)）例1 求微分方程 解 移項(xiàng)、積分 得例2 求方程 的通解解 分離變量，得 兩邊積分，得通解 例1 求微分方程 解 移項(xiàng)、積分 得例2 求方程 例3 求微分方程 滿足初始條件 的特解 解 此為可分離變量的微分方程分離變量后得 兩端積分，得 即 故所求特解為 由初始條件 得 例3 求微分方程 滿足初始條件 的

7、特解 解 此為例4 求微分方程 的通解解 整理得 這不是可分離變量的方程，若令 即 y = ux則有 代入方程得 (1)為可分離變量的微分方程 即 (1)例4 求微分方程 的通解解 整理得 這不是可分離變例4所給出的方程是一種特殊類型的方程， 其一般形式為 這類方程稱作齊次微分方程，這類方程可采用變換，將其轉(zhuǎn)化為可分離變量方程 將(1)變形為得從而例4所給出的方程是一種特殊類型的方程， 其一般形式為 這類方9.3 一階微分方程與可降階的高階微分方程9.3.1 一階線性微分方程特征 如果q(x)=0,則(9.3.1) 變?yōu)?（9.3.2）稱為一階線性齊次方程 的微分方程，稱為一階線性微分方程 （

8、9.3.1）定義 形如9.3 一階微分方程與可降階的高階微分方程9.3.1 （9.3.1）式稱為一階線性非齊次方程 下面介紹利用參數(shù)變易法求方程（9.3.1）的通解的通解首先求方程（9.3.1）所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程（9.3.2）（9.3.2）是變量可分離的方程，容易求得它的通解即 （9.3.1）式稱為一階線性非齊次方程 下面介紹利用參數(shù)變于是 把它們代入方程（9.3.1），得故（9.3.1）式的通解為（9.3.3）于是 把它們代入方程（9.3.1），得故（9.3.1）式的通一階線性非齊次微分方程的求解步驟如下：(i) 求對(duì)應(yīng)于（9.3.1）的齊次方程（9.3.2）的通解 (ii) 令 ，并求出

9、 代入(i) ，解出 (iii) 將(ii) 中的 (iv) 將(iii) 中求出的 代入(ii)中y的表達(dá)式，得到即為所求（9.3.1）的通解一階線性非齊次微分方程的求解步驟如下：(i) 求對(duì)應(yīng)于（9. 例1 求微分方程 的通解 解 代入公式則所求的通解為 例1 求微分方程 的通解 解 代入公式則所求的通解為例2 求解微分方程 解 方程可變形為 這里 所以 例2 求解微分方程 解 方程可變形為 這里 所以 例3 求微分方程 的通解 解 把x看作是y的函數(shù) 將原方程改寫為： 此為關(guān)于未知函數(shù) 的一階線性非齊次方程， 其中 ，它們的自由項(xiàng) 代入一階線性非齊次方程的通解公式，有即所求通解為 例3

10、求微分方程 的通解 解 把x看作是y的函數(shù) 9.3.2 可降階的高階微分方程高階方程：二階或二階以上的微分方程 下面介紹簡(jiǎn)單的、經(jīng)過適當(dāng)變換可降為一階的微分方程型的微分方程1 此微分方程右端僅含自變量x，通過兩次積分可得通解 例4 解微分方程 解 積分一次得 再積分一次得 9.3.2 可降階的高階微分方程高階方程：二階或二階以上的2. 型的微分方程這個(gè)方程的特點(diǎn)是右端不顯含未知函數(shù)y，可令 ，則 . 原方程化為 的一階方程如果能求出上述方程的通解 再由方程 則求得原方程的通解2. 型的微分方程這個(gè)例5 求微分方程 的通解。解 這是不顯含 y 的方程，令 則 于是原方程為 即 因?yàn)樗岳? 求微

11、分方程 的通解。解 這是不顯含 y 的方程，令此類方程的特點(diǎn)是不顯含 x ，令，這里的 p是y 的函數(shù)，是x 的復(fù)合函數(shù)。 則 于是原方程化為型如 的一階方程這是以y為自變量, p為未知函數(shù)的一階方程如果能求出通解 ，即 利用分離變量法可進(jìn)一步求得原方程的通解為 此類方程的特點(diǎn)是不顯含 x ，令，這里的 p是y 的函數(shù)，是例6 求微分方程 滿足初始條件 的特解 解 令 代入原方程得或 兩邊積分得 由初始條件，所以取正號(hào) ） 例6 求微分方程 滿足初始條件 的特解 解 令 代入即為滿足所給方程及初始條件的特解 即 或積分后得 再由初始條件，得 代入上式整理后得即為滿足所給方程及初始條件的特解 即

12、 或積分后得 再由初始9.4 二階常系數(shù)線性微分方程9.4.1 二階線性微分方程解的性質(zhì)稱為二階線性微分方程. f (x)稱為自由項(xiàng)的二階微分方程 定義當(dāng)時(shí)，稱為二階線性非齊次微分方程； 當(dāng) f (x)恒為零時(shí)，稱為二階線性齊次微分方程 當(dāng)系數(shù)p(x)、q(x)分別為常數(shù)p、q時(shí)，則稱方程為二階常系數(shù)線性齊次微分方程為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程.9.4 二階常系數(shù)線性微分方程9.4.1 二階線性微分方為了尋找解二階線性微分方程的方法，我們先討論二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理1 如果函數(shù)y1 與y2 是線性齊次方程的兩個(gè)解，則函數(shù)（其中C1,C2是任意常數(shù)）仍是該方程的解.證 因?yàn)閥1與y2是方

13、程的兩個(gè)解 所以 又因?yàn)闉榱藢ふ医舛A線性微分方程的方法，我們先討論二階線性微分方程于是有的解 所以 是 此定理表明，齊次線性方程的解具有疊加性 ，但要注意：如果解中的C1和C2可以合并成一個(gè)任意常數(shù)，那么這并不是二階線性齊次方程的通解.于是有的解 所以 是 此定理表明，齊次線性方程的解具有疊加從而能表示二階線性齊次方程的通解呢？為此，介紹一個(gè)怎樣使形如 的解確實(shí)含有兩個(gè)任意常數(shù)， 新的概念：線性相關(guān)與線性無關(guān)定義 設(shè)函數(shù) 是定義在區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)， 如果存在兩個(gè)不全為零的常數(shù) k1 和 k2 ，使在區(qū)間上恒成立，則稱函數(shù) 在區(qū)間上是線性相關(guān)的，否則稱為線性無關(guān)如函數(shù) 在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上線性相關(guān)

14、從而能表示二階線性齊次方程的通解呢？為此，介紹一個(gè)怎樣使形如考察函數(shù)線性相關(guān)的簡(jiǎn)單方法：看比值是否為常數(shù)其中 線性相關(guān)時(shí)，有 不全為零， 之比為常數(shù)， 反之，若 之比為常數(shù)，設(shè) 所以 線性相關(guān) 因此，如果兩個(gè)函數(shù)的比是常數(shù)，則它們線性相關(guān)；如果不是常數(shù)，則它們線性無關(guān) 考察函數(shù)線性相關(guān)的簡(jiǎn)單方法：看比值是否為常數(shù)其中 線性相關(guān)時(shí)定理2 如果函數(shù) 是二階線性齊次方程 的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則 是該方程的通解，其中C1,C2為任意常數(shù) 定理3 如果函數(shù) 是線性非齊次方程的一個(gè)特解， Y是該方程所對(duì)應(yīng)的線性齊次方程的通解，則 是線性非齊次的通解定理2 如果函數(shù) 是二階線性齊次方程 的兩個(gè)線性無關(guān)的特

15、解由以上定理可知求二階非齊次線性方程通解的一般步驟：（1）求齊次線性方程 的線性無關(guān)的兩個(gè)特解 得該方程的通解 （2）求非齊次線性方程 的一個(gè)特解 那么非齊次線性方程的通解為 注：以上結(jié)論也適用于一階非齊次線性方程， 還可推廣到二階以上的非齊次線性方程以上定理是求線性微分方程通解的理論基礎(chǔ)由以上定理可知求二階非齊次線性方程通解的一般步驟：（1）求齊9.4.2 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法 欲求二階常系數(shù)非齊次線性方程（9.4.1）的通解，應(yīng)首先研究如何求（9.4.2）的通解例1 解微分方程 解 通過觀察： 是方程的兩個(gè)特解，且 所以由定理2，得方程的通解為 9.4.2 二階常系數(shù)齊次線性微

16、分方程的解法 欲求二具體解方程時(shí)只靠觀察法是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，因此我們介紹一種不用積分僅僅用代數(shù)方法就可得到特解的解法特征根法定義 方程（9.4.3）叫做方程 的特征方程 方程（9.4.3）的根叫做特征根 這里的p, q 是實(shí)常數(shù)由于方程（9.4.3）是一元二次代數(shù)方程， 它的根有三種可能的情形，分別敘述如下：具體解方程時(shí)只靠觀察法是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，因此我們介紹一種不用積分方程（9.4.3）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 此時(shí)方程（9.4.2）的通解是 方程（9.4.3）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 此時(shí)方程（9.4.2）的通解是 方程（9.4.3）有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根 此時(shí)方程（9.4.2）的通解是 方程（9.4.3）有兩個(gè)

17、不相等的實(shí)數(shù)根 此時(shí)方程（9.4.2例2 求方程 的通解 解 該方程的特征方程為 它有兩個(gè)不相等的實(shí)根 其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解為 所以方程的通解為 例2 求方程 的通解 解 該方程的特征方程為 它有兩個(gè)不例3 求方程 的滿足初始條件 的特解 解 該方程的特征方程為 它有重根 其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解為 所以通解為 求得 將 代入上兩式，得 因此，所求特解為 例3 求方程 的滿足初始條件 的特解 解 該方程的特征例4 求方程 的通解 解 該方程的特征方程為 它有共扼復(fù)根即 對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)的解為所以方程的通解為例4 求方程 的通解 解 該方程的特征方程為 它有共扼9.4.3 二階常系數(shù)非

18、齊次線性微分方程的解法 由定理3知，非齊次線性方程的通解是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解與其自身的一個(gè)特解之和，而求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解問題已經(jīng)解決，所以求非齊次線性方程的通解關(guān)鍵在于求其中一個(gè)特解 以下介紹當(dāng)自由項(xiàng)f (x)屬于兩種特殊類型函數(shù)時(shí)的情況9.4.3 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法 我們知道，方程(9.4.4) 的特解 是能使（9.4.4）成為恒等式的函數(shù)現(xiàn)在(9.4.4)的右端 f (x) 是多項(xiàng)式 與指數(shù)函數(shù) 的乘積，而且只有多項(xiàng)式和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)才能是多項(xiàng)式和指數(shù)函數(shù)因此可設(shè)（9.4.4）有特解其中 是與 同次的多項(xiàng)式 類型 表示關(guān)于x的m次多項(xiàng)式是常數(shù)， 其中

19、我們知道，方程(9.4.4) 的特解 是能使（9.4.4）成當(dāng) 不是（9.4.4）所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的特征方程的根時(shí)，取 當(dāng) 是其特征方程單根時(shí)，取 當(dāng) 是其特征方程重根時(shí)，取 將所設(shè)的特解代入（9.4.4）中，比較等式兩端，使x同次冪的系數(shù)相等，從而確定 的各項(xiàng)系數(shù)， 得到所求之特解當(dāng) 不是（9.4.4）所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的特征方程的根時(shí)，例5 求方程 的一個(gè)特解 解 特征方程 的特征根 不是特征方程的根，所以設(shè)特解為：即 代入方程，得 故原方程的特解為 例5 求方程 的一個(gè)特解 解 特征方程 的特征根 不是特 類型 因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也總是余弦

20、函數(shù)與正弦函數(shù) , 因此，我們可以設(shè)（9.4.4）有特解其中 次多項(xiàng)式， ，而k 按 不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1 類型 因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)例6 求方程 的通解 解 特征方程 特征根是 故對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解 因 ，0不是特征根，故設(shè)的二次多項(xiàng)式） （注意不要設(shè)成 ，一定設(shè)成一個(gè)不缺項(xiàng)例6 求方程 的通解 解 特征方程 特征根是 故對(duì)應(yīng)的齊代入原方程，得解 得 故 由定理3知方程的通解代入原方程，得解 得 故 由定理3知方程的通解9.5 常微分方程的應(yīng)用舉例 在學(xué)習(xí)了幾類微分方程的解法基礎(chǔ)上，本節(jié)將舉例說明如何通過建立微分方程解決一些在幾何上的實(shí)際問題，并且介紹微分方程在經(jīng)濟(jì)數(shù)量分析中的應(yīng)用例1 求過