圖像信號(hào)正交變換

1、關(guān)于圖像信號(hào)的正交變換第1頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四23.1 離散傅立葉變換3.2 離散KL變換3.3 離散余弦變換3.4 數(shù)字圖像信號(hào)的正交基表示3.5 沃爾什變換和哈達(dá)瑪?shù)谌?圖像信號(hào)的正交變換第2頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四3信號(hào)處理方法通常有兩類：時(shí)域分析法和頻域分析法。信號(hào)變換方法：經(jīng)典的傅立葉變換、K-L變換、沃爾什變換、哈達(dá)瑪變換、余弦變換以及最新的小波變換等3.1 離散傅立葉變換第3頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四4一、一維離散傅立葉變換DFT定義：設(shè)f(n)n=0,N-1為一維信號(hào)的N個(gè)抽樣，

2、其離散傅立葉變換及其逆變換分別為：第4頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四5二、二維離散傅立葉變換DFT第5頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四6在DFT變換對(duì)中，F(xiàn)(u,v)稱為離散信號(hào)f(x,y)的頻譜，而|F(u,v)| 稱為幅度譜，(u,v)為相位譜，它們之間的關(guān)系為： 第6頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四7二維DFT的性質(zhì)(1)變換的可分離性 第7頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四8(2) 旋轉(zhuǎn)不變性 如引入極坐標(biāo)使： x=rcos,y=rsin =u=wcos v=wsin則f(x,y)和F(u,

3、v)分別表示為f(r,)和F(w,) (r,+0) (w,+0) (3) 二維DFT的實(shí)現(xiàn) 轉(zhuǎn)置 f(x,y) F列f(x,y)=F(u,y) F(u,y) 轉(zhuǎn)置 F列F(u,y)=F(u,y) F(u,v) 第8頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四9性質(zhì)列表連續(xù)傅立葉變換性 質(zhì)離散傅立葉變換x(t)+y(t) X(f)+Y(f)線性x(k)+y(k) X(n)+Y(n)H(t) h(-f)對(duì)稱性1/NH(k) h(-n) h(t-t0) H(f) exp(-j2ft0) 時(shí)間域平移H(k-i) H(n)exp(-j2ni/N) h(t)exp(j2f0t) H(f - f

4、0)頻率域位移 h(k)exp(j2 ik/N) H(n-i) he(t) Re(f) 偶函數(shù)he(k) Re(n) ho(t) jIo(f) 奇函數(shù) ho(k) jIo(n)h(t)=he(t)+ho(t)奇偶分解H(k)=he(k)+ho(k)y(t)=x()*h(t- ) 卷積x(i)h(k-i)=x(k)*h(k)x(t)*h(t) X(f)H(f)時(shí)域卷積定理x(k)*h(k) X(n)H(n)y(t)= x()h(t+)d=x(t)h(t)相關(guān)x(i)h(k+i)=x(k)h(k)x(t)h(t) X(f)*H(f)頻率卷積定理x(k)h(k) 1/NX(n)*H(n)|H(f)|

5、2df巴什瓦定理|H(n)|2第9頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四10二維DFT變換實(shí)例1二維圖象及其傅立葉幅度譜第10頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四11二維DFT變換實(shí)例2二維圖象及其傅立葉幅度譜第11頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四12二維DFT變換實(shí)例3傅立葉變換幅度譜及其重建第12頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四13傅立葉變換相位譜及其重建第13頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四14K-L變換也稱為特征向量變換、主分量變換或霍特林(Hotelling)變換，它是完全從

6、圖像的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)出發(fā)實(shí)現(xiàn)的變換。它在數(shù)據(jù)壓縮、圖像旋轉(zhuǎn)、遙感多光譜圖像的特征選擇和統(tǒng)計(jì)識(shí)別等中是很有用的。 變換的本質(zhì)是選用不同的基函數(shù)，用基函數(shù)的不同線性組合來表示圖像的坐標(biāo)變量。是最復(fù)雜的變換，由于基矢量是根據(jù)圖像的統(tǒng)計(jì)特性求出的，不同的圖像基函數(shù)都不同，因而只具有理論意義。3.2 離散K-L變換第14頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四15由于其變換基矢量或者說變換矩陣是根據(jù)輸入圖像的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)得出的，也就是說其變換矩陣是針對(duì)輸入圖像“量身定做”的，因此具有最佳的去相關(guān)性。 第15頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四16一、K-L變換的基函數(shù)K-L變換

7、的基矢量是根據(jù)輸入圖像的統(tǒng)計(jì)特性協(xié)方差矩陣來構(gòu)建的。 原理：圖像信號(hào)是隨機(jī)變量，度量隨機(jī)變量之間相關(guān)程度用圖像的協(xié)方差矩陣表示。第16頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四17 要求計(jì)算某幅NN圖像f(x,y)的協(xié)方差，我們可以針對(duì)這幅圖像在通信干線上做M次傳送，根據(jù)M次傳送的圖像總體集合進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。設(shè)每次傳送的NN圖像用一個(gè)行堆疊或列堆疊的N21維向量X來表示，于是傳送M次向量X的平均值為：mxEXXi 第17頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四18圖像的協(xié)方差矩陣： Cx=E(Xmx)(Xmx)T=(Xmx)(Xmx)T=(X XT) mxmxT 對(duì)應(yīng)的

8、協(xié)方差矩陣是N2N2方陣 第18頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四19令k和k(k=1,2,N2)是協(xié)方差矩陣Cx的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量，即Cxk=kk k=1,2,N2 如將特征值按減序排列，即123kN2 第19頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四20特征值1對(duì)應(yīng)的特征向量1=T特征值2對(duì)應(yīng)的特征向量2=TT特征值N*N對(duì)應(yīng)的特征向量N*N=以此類推第20頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四21 以上述特征向量作為K-L變換的基向量，令其作為K-L變換核矩陣的行，便可以構(gòu)成N2N2方陣，稱為K-L變換核矩陣，即V= = 第21

9、頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四22用X向量減去平均值向量mx作為輸入，根據(jù)上式對(duì)輸入圖像進(jìn)行K-L變換，則得K-L變換表達(dá)式：Y=V(Xmx) 第22頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四23變換之后向量Y的均值： myEY= EV (Xmx) =VEXVmx0于是，K-L變換之后向量Y的協(xié)方差矩陣為：Cy=E(Ymy)(Ymy)T=EV(Xmx)(V(Xmx)T =EV(Xmx)(Xmx)TVT=VCxVT把協(xié)方差矩陣Cx、變換核矩陣代入得： 第23頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四24Cy=Cx1,2,N2= Cx1,Cx2

10、,CxN2=11, 22,N2N2=第24頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四25 經(jīng)K-L變換之后的Y向量其協(xié)方差Cy是一個(gè)對(duì)角矩陣，對(duì)角線上的元素是Y向量的方差，其值是Cx矩陣的特征值，左上角的特征值1最大，右下角的特征值N2最小。非對(duì)角線上的協(xié)方差為0，說明了Y向量之間的相關(guān)性最小。而原始圖像X向量的協(xié)方差矩陣Cx的非對(duì)角元素不為零，說明有較強(qiáng)的相關(guān)性。由此可見，K-L變換最大可能地去除圖像的相關(guān)性。 第25頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四26 對(duì)K-L正變換式兩端同時(shí)左乘V-1，并且利用K-L變換核矩陣是正交變換陣，其逆矩陣V-1=VT，便可

11、以推出K-L反變換表達(dá)式：X=VTY+mx 第26頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四27三、特點(diǎn) 最大優(yōu)點(diǎn)是去相關(guān)性能很好，所以可將它用于圖像數(shù)據(jù)的旋轉(zhuǎn)或壓縮處理。但是，二維K-L變換不是可分離的變換，不能通過求兩次一維的K-L變換來完成二維K-L變換的運(yùn)算。同時(shí)它是一種和圖像數(shù)據(jù)有關(guān)的變換，在變換中，必須計(jì)算圖像數(shù)據(jù)的N2N2協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量，計(jì)算量龐大，因此這就造成了K-L變換難以應(yīng)用到實(shí)際中、尤其是實(shí)時(shí)應(yīng)用中去的主要原因。 第27頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四28一、一維DCT 基本思想將一個(gè)實(shí)函數(shù)對(duì)稱延拓成一個(gè)實(shí)偶函數(shù)，因?yàn)閷?shí)

12、偶函數(shù)的傅立葉變換也必然是實(shí)偶函數(shù)，連續(xù)函數(shù)和離散函數(shù)的余弦變換都是基于這一原理。 3.3 離散余弦變換0 1 2 . N-1 xf(x)x-1/2-(N-1)-1/2-1 -1/2 0 1/2 1/2+1 1/2+N-1 g(x) 偶函數(shù)延拓第28頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四29給定實(shí)信號(hào)序列f(x)|x=0,1,N-1，可以按下式將其延拓為偶對(duì)稱序列 第29頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四30對(duì)G(x)求2N點(diǎn)的DFT有：將N點(diǎn)的f(x)偶延拓后形成2N點(diǎn)的實(shí)偶函數(shù)，其DFT也是一個(gè)2N點(diǎn)的實(shí)偶函數(shù)，然而實(shí)際有效信息只有一半，所以我們各取

13、時(shí)域和頻域的一半作為一種新的變換離散余弦變換（DCT）。另外，DCT的本質(zhì)仍然是DFT，f(t)的DCT結(jié)果所表現(xiàn)出來的頻域特征本質(zhì)上是和DFT所反映的頻域特征是相同的。 第30頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四31定義一維DFT為：其中：其逆變換為：第31頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四32二、二維DCT 定義正變換為： 定義逆變換為：第32頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四33二維DCT的正反變換的變換核都相同，且是可分離的 :第33頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四34離散余弦變換基函數(shù)第34頁，共

14、62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四35DCT變換實(shí)例2第35頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四363.4 數(shù)字圖像信號(hào)的正交基表示一、變換核的一般表達(dá)式 其中x,y,u,v=0,1,2,.,N-1， g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分別稱為正變換核和反變換核。第36頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四37若則變換核是可分離的。若則變換核是對(duì)稱的。第37頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四38此時(shí)，變換可寫成：第38頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四39二、變換的矩陣表達(dá)式 正變換式：F

15、 = P f QT 反變換式：f = P1FQ1T第39頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四40舉例：第40頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四41第41頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四42P(u,x) =第42頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四43Q(y,v) =第43頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四44 156 159 158 155 158 156 159 158 160 154 157 158 157 159 158 158 156 159 158 155 158 156 15

16、9 158 160 154 157 158 157 159 158 158 156 153 155 159 159 155 156 155 155 155 155 157 156 159 152 158 156 153 157 156 153 155 154 155 159 159 156 158 156 159 157 161f(x,y) =第44頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四45 0.6118 0.6235 0.6196 0.6078 0.6196 0.6118 0.6235 0.6196 0.6275 0.6039 0.6157 0.6196 0.6157 0.

17、6235 0.6196 0.6196 0.6118 0.6235 0.6196 0.6078 0.6196 0.6118 0.6235 0.6196 0.6275 0.6039 0.6157 0.6196 0.6157 0.6235 0.6196 0.6196 0.6118 0.6000 0.6078 0.6235 0.6235 0.6078 0.6118 0.6078 0.6078 0.6078 0.6078 0.6157 0.6118 0.6235 0.5961 0.6196 0.6118 0.6000 0.6157 0.6118 0.6000 0.6078 0.6039 0.6078 0

18、.6235 0.6235 0.6118 0.6196 0.6118 0.6235 0.6157 0.6314F(u,v) =第45頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四46變換核其中bk(z)是 z的二進(jìn)制表達(dá)式中的第k位。例如n=3，則對(duì)于z=6（110），有b0(z)=0，b1(z)=1，b2(z)=1。于是3.5 沃爾什變換第46頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四47二維Walsh變換核為：其為可分離的，表示為：第47頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四48第48頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四49離散沃

19、爾什變換基函數(shù)第49頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四50舉例：求Walsh變換核矩陣元素第50頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四51方括號(hào)中各項(xiàng)的符號(hào)即為變換核的符號(hào)，從中可見Walsh變換的本質(zhì)是將離散序列f(x)的各項(xiàng)值的符號(hào)按一定的規(guī)律改變，進(jìn)行加減運(yùn)算。第51頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四52舉例：若二維信號(hào)求其離散Walsh變換。其中N=4時(shí)的二維Walsh變換核為第52頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四53則：例：第53頁，共62頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)11分，星期四54可見，二維Walsh變換具有某種能量集中的特性，