全等三角形經(jīng)典題型-輔助線問題

1、.全等三角形問題中常見的輔助線的作法總論：全等三角形問題最主要的是構(gòu)造全等三角形,構(gòu)造二條邊之間的相等,構(gòu)造二個(gè)角之間的相等三角形輔助線做法圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看,對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線,等腰三角形來添。角平分線加垂線,三線合一試試看。線段垂直平分線,常向兩端把線連。要證線段倍與半,延長縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn),連接則成中位線。三角形中有中線,延長中線等中線。1.等腰三角形三線合一法：遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用三線合一的性質(zhì)解題2.倍長中線：倍長中線,使延長線段與原中線長相等,構(gòu)造全等三角形3.角平分線在三種添輔助線4.垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端5.用截

2、長法或補(bǔ)短法：遇到有二條線段長之和等于第三條線段的長,6.圖形補(bǔ)全法：有一個(gè)角為60度或120度的把該角添線后構(gòu)成等邊三角形7.角度數(shù)為30、60度的作垂線法：遇到三角形中的一個(gè)角為30度或60度,可以從角一邊上一點(diǎn)向角的另一邊作垂線,目的是構(gòu)成30-60-90的特殊直角三角形,然后計(jì)算邊的長度與角的度數(shù),這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角。從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。8.計(jì)算數(shù)值法：遇到等腰直角三角形,正方形時(shí),或30-60-90的特殊直角三角形,或40-60-80的特殊直角三角形,常計(jì)算邊的長度與角的度數(shù),這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角,從而為證明全等三角

3、形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形,構(gòu)造二條邊之間的相等,二個(gè)角之間的相等。遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用三線合一的性質(zhì)解題,思維模式是全等變換中的對(duì)折法構(gòu)造全等三角形遇到三角形的中線,倍長中線,使延長線段與原中線長相等,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的旋轉(zhuǎn)法構(gòu)造全等三角形遇到角平分線在三種添輔助線的方法,1可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線,利用的思維模式是三角形全等變換中的對(duì)折,所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理2可以在角平分線上的一點(diǎn)作該角平分線的垂線與角的兩邊相交,形成一對(duì)全等三角形。3可以在該角的兩邊上,距

4、離角的頂點(diǎn)相等長度的位置上截取二點(diǎn),然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上的某點(diǎn)作邊線,構(gòu)造一對(duì)全等三角形。過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的平移或翻轉(zhuǎn)折疊截長法與補(bǔ)短法,具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等,或是將某條線段延長,是之與特定線段相等,再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法,適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目已知某線段的垂直平分線,那么可以在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個(gè)端點(diǎn)作連線,出一對(duì)全等三角形。特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí),常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來,利用三角形面積的知識(shí)解答一、倍長中線線段造全等

5、例1、已知,如圖ABC中,AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是_.解：延長AD至E使AE2AD,連BE,由三角形性質(zhì)知AB-BE 2ADAB+BE 故AD的取值范圍是1AD4例2、如圖,ABC中,E、F分別在AB、AC上,DEDF,D是中點(diǎn),試比較BE+CF與EF的大小.解：延長FD至G使FG2EF,連BG,EG,顯然BGFC,在EFG中,注意到DEDF,由等腰三角形的三線合一知EGEF在BEG中,由三角形性質(zhì)知EGBG+BE 故：EFBE+FC例3、如圖,ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中點(diǎn),求證：AD平分BAE.解：延長AE至G使AG2AE,連BG,DG,顯然DGAC,GDC=

6、ACD由于DC=AC,故ADC=DAC在ADB與ADG中, BDAC=DG,ADAD,ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG故ADBADG,故有BAD=DAG,即AD平分BAE應(yīng)用：1、以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt,連接DE,M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系1如圖當(dāng)為直角三角形時(shí),AM與DE的位置關(guān)系是,線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；2將圖中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)0后,如圖所示,1問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由解：1,；證明：延長AM到G,使,連BG,則ABGC是平行四邊形GCHABDMGCHABDMNE又再證：,

7、延長MN交DE于HFCPFCPABDMNE2結(jié)論仍然成立證明：如圖,延長CA至F,使,FA交DE于點(diǎn)P,并連接BF,在和中SAS,又,且,二、截長補(bǔ)短1、如圖,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求證：CDAC解：截長法在AB上取中點(diǎn)F,連FDADB是等腰三角形,F是底AB中點(diǎn),由三線合一知DFAB,故AFD90ADFADCSASACDAFD90即：CDA2、如圖,ADBC,EA,EB分別平分DAB,CBA,CD過點(diǎn)E,求證;ABAD+BC解：截長法在AB上取點(diǎn)F,使AFAD,連FEADEAFESASADEAFE,ADE+BCE180AFE+BFE180故ECBEFBFBECBEAAS故

8、有BFBC從而;ABAD+BC3、如圖,已知在ABC內(nèi),P,Q分別在BC,CA上,并且AP,BQ分別是,的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP解：補(bǔ)短法,計(jì)算數(shù)值法延長AB至D,使BDBP,連DP在等腰BPD中,可得BDP40從而BDP40ACPADPACPASA故ADAC又QBC40QCB 故 BQQCBDBP從而BQ+AQ=AB+BP4、如圖,在四邊形ABCD中,BCBA,ADCD,BD平分,求證：解：補(bǔ)短法延長BA至F,使BFBC,連FDBDFBDCSAS故DFBDCB ,FDDC又ADCD故在等腰BFD中DFBDAF故有BAD+BCD1805、如圖在ABC中,ABAC,12,P為AD

9、上任意一點(diǎn),求證;AB-ACPB-PC解：補(bǔ)短法延長AC至F,使AFAB,連PDABPAFPSAS故BPPF由三角形性質(zhì)知PBPCPFPC BF=BA+AF=BA+AC從而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例2 如圖,在ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E,且BD=CE,求證：AB+ACAD+AE.證明：取BC中點(diǎn)M,連AM并延長至N,使MN=AM,連BN,DN.BD=CE,DM=EM,DMNEMA,DN=AE,同理BN=CA.延長ND交AB于P,則BN+BPPN,DP+PAAD,相加得BN+BP+DP+PAPN+AD,各減去DP,得BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借

10、助角平分線造全等1、如圖,已知在ABC中,B=60,ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O,求證：OE=OD,DC+AE =AC證明B=60度,則BAC+BCA=120度;AD,CE均為角平分線,則OAC+OCA=60度=AOE=COD;AOC=120度.在AC上截取線段AF=AE,連接OF.又AO=AO;OAE=OAF.則OAEOAF,OE=OF;AE=AF; AOF=AOE=60度.則COF=AOC-AOF=60度=COD;又CO=CO;OCD=OCF.故OCDOCF,OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如圖,ABC中,AD平分BAC,DGBC且平分BC,DE

11、AB于E,DFAC于F. 1說明BE=CF的理由；2如果AB=,AC=,求AE、BE的長.解：連接BD,DCDG垂直平分BC,故BDDC由于AD平分BAC, DEAB于E,DFAC于F,故有EDDF故RTDBERTDFCHL故有BECF。AB+AC2AEAEa+b/2BE=/2應(yīng)用：1、如圖,OP是MON的平分線,請你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請你參考這個(gè)作全等三角形的方法,解答下列問題：1如圖,在ABC中,ACB是直角,B=60,AD、CE分別是BAC、BCA的平分線,AD、CE相交于點(diǎn)F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；OPAMNEBCDFAOPAMNEB

12、CDFACEFBD圖圖圖解：1FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為2答：1中的結(jié)論仍然成立。證法一：如圖1,在AC上截取,連結(jié)FG ,AF為公共邊,FBEACD圖 12143FBEACD圖 12143G及FC為公共邊證法二：如圖2,過點(diǎn)F分別作于點(diǎn)G,于點(diǎn)H FBEACD圖 22143FBEACD圖 22143HG可得,F是的內(nèi)心,又可證五、旋轉(zhuǎn)例1 正方形ABCD中,E為BC上的一點(diǎn),F為CD上的一點(diǎn),BE+DF=EF,求EAF的度數(shù).證明：將三角形ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度,至三角形ABG則GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE,AF=AG,所以三角形AEF全等于AEG所以EAF=GAE=

13、BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45度例2 D為等腰斜邊AB的中點(diǎn),DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),求證DE=DF。若AB=2,求四邊形DECF的面積。解：1連接DC,D為等腰斜邊AB的中點(diǎn),故有CDAB,CDDACD平分BCA90,ECDDCA45由于DMDN,有EDN90由于 CDAB,有CDA90從而CDEFDA故有CDEADFASA故有DE=DF2SABC=2, S四DECF= SACD=1例3 如圖,是邊長為3的等邊三角形,是等腰三角形,且,以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角,使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,連接MN,則

14、的周長為；解： AC的延長線與BD的延長線交于點(diǎn)F,在線段CF上取點(diǎn)E,使CEBMABC為等邊三角形,BCD為等腰三角形,且BDC=120,MBD=MBC+DBC=60+30=90,DCE=180-ACD=180-ABD=90,又BM=CE,BD=CD,CDEBDM,CDE=BDM,DE=DM,NDE=NDC+CDE=NDC+BDM=BDC-MDN=120-60=60,在DMN和DEN中, DM=DEMDN=EDN=60 DN=DNDMNDEN,MN=NE在DMA和DEF中, DM=DEMDA=60-MDB=60-CDE=EDF DAM=DFE=30DMNDEN ,MA=FE的周長為AN+MN

15、+AM=AN+NE+EF=AF=6應(yīng)用：1、已知四邊形中,繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交或它們的延長線于當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)如圖1,易證當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí),在圖2和圖3這兩種情況下,上述結(jié)論是否成立？若成立,請給予證明；若不成立,線段,又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想,不需證明圖圖1圖2圖3解：1,SAS；,為等邊三角形,2圖2成立,圖3不成立。證明圖2,延長DC至點(diǎn)K,使,連接BKKABKABCDEFMN圖 2,即圖3不成立,AE、CF、EF的關(guān)系是2、西城09年一模已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).如圖,當(dāng)APB=45時(shí),求AB及PD的長;當(dāng)APB變化

16、,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)APB的大小.分析：1作輔助線,過點(diǎn)A作于點(diǎn)E,在中,已知,AP的值,根據(jù)三角函數(shù)可將AE,PE的值求出,由PB的值,可求BE的值,在中,根據(jù)勾股定理可將AB的值求出；求PD的值有兩種解法,解法一：可將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,可得,求PD長即為求的長,在中,可將的值求出,在中,根據(jù)勾股定理可將的值求出；解法二：過點(diǎn)P作AB的平行線,與DA的延長線交于F,交PB于G,在中,可求出AG,EG的長,進(jìn)而可知PG的值,在中,可求出PF,在中,根據(jù)勾股定理可將PD的值求出；2將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,PD的最大值即為的最大值,故當(dāng)、P、B三點(diǎn)共線時(shí),取得最大值,根

17、據(jù)可求的最大值,此時(shí)EPADCB解：1EPADCB中,在中,PPACBDE解法一：如圖,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,可將將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,可得,PPACBDE,；解法二：如圖,過點(diǎn)P作AB的平行線,與DA的延長線交于F,設(shè)DA的延長線交PB于GGFPACBDE在GFPACBDE在中,可得,在中,可得2如圖所示,將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,PD的最大值,即為的最大值中,且P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)當(dāng)、P、B三點(diǎn)共線時(shí),取得最大值如圖此時(shí),即的最大值為6此時(shí)3、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N,D為外一點(diǎn),且,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí),BM、N

18、C、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系圖1 圖2 圖3 = 1 * ROMAN I如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上,且DM=DN時(shí),BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)； = 2 * ROMAN II如圖2,點(diǎn)M、N邊AB、AC上,且當(dāng)DMDN時(shí),猜想 = 1 * ROMAN I問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； = 3 * ROMAN III如圖3,當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時(shí),若AN=,則Q=用、L表示分析：1如果,因?yàn)?那么,也就有,直角三角形MBD、NCD中,因?yàn)?根據(jù)HL定理,兩三角形全等。那么,三角形NCD中,在三角形DNM中,因此三角形DMN

19、是個(gè)等邊三角形,因此,三角形AMN的周長,三角形ABC的周長,因此2如果,我們可通過構(gòu)建全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換。延長AC至E,使,連接DE1中我們已經(jīng)得出,那么三角形MBD和ECD中,有了一組直角,因此兩三角形全等,那么,三角形MDN和EDN中,有,有一條公共邊,因此兩三角形全等,至此我們把BM轉(zhuǎn)換成了CE,把MN轉(zhuǎn)換成了NE,因?yàn)?因此Q與L的關(guān)系的求法同1,得出的結(jié)果是一樣的。3我們可通過構(gòu)建全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換,思路同2過D作,三角形BDM和CDH中,由1中已經(jīng)得出的,我們做的角,因此兩三角形全等ASA那么,三角形MDN和NDH中,已知的條件有,一條公共邊ND,要想證得兩三角形

20、全等就需要知道,因?yàn)?因此,因?yàn)?那么,因此,這樣就構(gòu)成了兩三角形全等的條件三角形MDN和DNH就全等了那么,三角形AMN的周長因?yàn)?因此三角形AMN的周長解：1如圖1,BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系：；此時(shí)圖 1NM圖 1NMADCB證明：如圖2,延長AC至E,使,連接DE,且又是等邊三角形E圖 2E圖 2NMADCB在與中H圖 3NMH圖 3NMADCB,在與中SAS故的周長而等邊的周長3如圖3,當(dāng)M、N分別在AB、CA的延長線上時(shí),若,則用x、L表示點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)；題目中線段的轉(zhuǎn)換都是根據(jù)全等三角形來實(shí)現(xiàn)的,當(dāng)題中沒有明顯的全等三角形時(shí),我們要根據(jù)條件通過作輔助線

21、來構(gòu)建于已知和所求條件相關(guān)的全等三角形。PPPACBDPPACBD全等三角形經(jīng)典題型小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖1所示的四塊即圖中標(biāo)有1、2、3、4的四塊,你認(rèn)為將其中的哪一些塊帶去玻璃店,就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應(yīng)該帶第1塊 B第2塊 C第3塊 D第4塊第4題圖23.8分已知,在中,點(diǎn)是邊上的中點(diǎn),點(diǎn)在邊上,點(diǎn)在邊上,且。試探究兩條線段之間的關(guān)系,并說明理由。第23題圖24.8分用兩個(gè)全等的等邊三角形和拼成四邊形,把一個(gè)含角的三角尺與這個(gè)四邊形疊合,使三角尺的角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合,兩邊分別與重合,將三角尺繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。當(dāng)三角尺的兩邊分別于四邊形的兩邊相較于點(diǎn)時(shí)如圖,通過觀察或測量的長度,你能得出什么結(jié)論？并說明理由。當(dāng)三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊的延長線相較于點(diǎn)時(shí)如圖,你在1中得到的結(jié)論還成立嗎？并說明理由。10分1如圖1,正方形中,為邊上一點(diǎn),連接,過點(diǎn)作交的延長線于,猜想與的數(shù)量關(guān)系為。說明理由如圖2在1的條件下,連接,過點(diǎn)作交的延長線于,觀察并猜想與的數(shù)量關(guān)系。不必說明理由解決問題：王師傅有一塊如圖所示的板材余料,其中,。王師傅想切下一刀后把它拼成正方形。請你幫王師傅在圖3中畫出剪拼得示意圖。王師傅現(xiàn)在有兩塊同樣大小的該余料,能否在每塊上各切一刀,然后拼成一個(gè)大的正方