高等代數(shù)線性代數(shù)

1、高等代數(shù)線性代數(shù)第1頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四一、多項式函數(shù)與根 1. 多項式函數(shù)設(shè)數(shù) 將的表示式里的用代替，得到P中的數(shù)稱為當時 的值，記作這樣，對P中的每一個數(shù)，由多項式 確定P中唯一的一個數(shù) 與之對應(yīng)，于是稱 為P上的一個多項式函數(shù)第2頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四若多項式函數(shù) 在 處的值為0，即 則稱 為 的一個根或零點 2. 多項式函數(shù)的根(或零點) 易知，若則，第3頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四（余數(shù)定理）：用一次多項式 去除多項式 所得余式是一個常數(shù)，這個常數(shù)等于函數(shù)值 二、多項式函數(shù)的有關(guān)性

2、質(zhì)1. 定理7 是 的根 推論:第4頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四 例1 求 在 處的函數(shù)值. 法一：把 代入 求 用 去除 所得余數(shù)就是 法二：答案：第5頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四若 是 的 重因式， 則稱 為 的重根.當 時，稱 為 的單根 當 時，稱 為 的重根 2. 多項式函數(shù)的k重根定義第6頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四注： 是 的重根 是 的重因式 有重根 必有重因式反之不然，即有重因式未必 有重根例如，為 的重因式，但在R上 沒有根 第7頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期

3、四3. 定理8 (根的個數(shù)定理)任一 中的 次多項式 在 中的根 不可能多于 個，重根按重數(shù)計算 4. 定理9且 若有 使 則 第8頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四證：設(shè) 若 即時，由因式分解及唯一性定理，可分解成不可約多項式的乘積，由推論， 的根的個數(shù)等于 分解式中一次因式的個數(shù)，重根按重數(shù)計算，且此數(shù) 此時對 有即 有0個根.定理8第9頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四證：令 則有 由定理，若 的話，則 矛盾所以，即 有 個根，即定理9第10頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四解：例2求 t 值，使有重根第11頁，共3

4、4頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四若即則此時，有重根，為 的三重根若即則此時，有重根，為 的二重根第12頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四例3舉例說明下面命題是不對的 解：令 則但 是 的2重根， 不是 的根，從而不是 的3重根 第13頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四例4 若 求 解：從而，1為 的根 于是有， 1為 的重根，第14頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四第15頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四一、復(fù)系數(shù)多項式 二、實系數(shù)多項式 1.8 復(fù)系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解第1

5、6頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四1. 代數(shù)基本定理一、復(fù)系數(shù)多項式 若 則 在復(fù)數(shù)域上必有一根 推論1若則存在使即，在復(fù)數(shù)域上必有一個一次因式第17頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四推論2復(fù)數(shù)域上的不可約多項式只有一次多項式，即 則 可約 2. 復(fù)系數(shù)多項式因式分解定理若 則 在復(fù)數(shù)域上可唯一分解成一次因式的乘積 第18頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四推論1推論2若 則 在 其中 是不同的復(fù)數(shù)， 上具有標準分解式復(fù)根（重根按重數(shù)計算） 若 ，則 有n個第19頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四二

6、、實系數(shù)多項式 命題：若 是實系數(shù)多項式 的復(fù)根，則 的共軛復(fù)數(shù) 也是 的復(fù)根 若 為根，則兩邊取共軛有 也是為 復(fù)根 證：設(shè)第20頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四實系數(shù)多項式因式分解定理 ，若 ， 則 可唯一地分解成一次因式與二次不可約因式的乘積 證：對 的次數(shù)作數(shù)學(xué)歸納 時，結(jié)論顯然成立. 假設(shè)對次數(shù)n的多項式結(jié)論成立設(shè) ，由代數(shù)基本定理, 有一復(fù)根 若 為實數(shù), 則 ，其中 第21頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四若 不為實數(shù)，則 也是 的復(fù)根，于是 設(shè) ，則 即在R上 是 一個二次不可約多項式從而 由歸納假設(shè) 、 可分解成一次因式與二次

7、不可約多項式的乘積由歸納原理，定理得證 第22頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四在R上具有標準分解式推論1其中且 ，即 為R上的不可約多項式. 第23頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四推論2 實數(shù)域上不可約多項式只有一次多項式和某些二例1求 在 上與在 上的標準分解式. 1)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) 有n個復(fù)根，次不可約多項式，所有次數(shù)3的多項式皆可約. 解：第24頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四 2)在實數(shù)域范圍內(nèi)這里 第25頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四當n為奇數(shù)時 當n為偶數(shù)時 第26頁，共34頁，

8、2022年，5月20日，21點12分，星期四一、本原多項式 二、整系數(shù)多項式的因式分解 1.9 有理系數(shù)多項式第27頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四問題的引入 1. 由因式分解定理，作為一個特殊情形：對 則 可唯一分解 成不可約的有理系數(shù)多項式的積.但是，如何作出它的分解式卻很復(fù)雜，沒有一個一般的方法. 第28頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四2. 我們知道，在 上只有一次多項式才是不可約 多項式；在 上，不可約多項式只有一次多項式與某些二次多項式；但在 上有任意次數(shù)的不可約多項式如 如何判斷 上多項式的不可約性呢? 第29頁，共34頁，202

9、2年，5月20日，21點12分，星期四3. 有理系數(shù)多項式可歸結(jié)為整系數(shù)多項式的問題 這是因為任一有理數(shù)可表成兩個整數(shù)的商事實上，設(shè) 則可選取適當整數(shù) 使 為整系數(shù)多項式若 的各項系數(shù)有公因子，就可以提出來，得 也即 其中 是整系數(shù)多項式，且各項系數(shù)沒有異于 的公因子 第30頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四一、本原多項式 設(shè) 定義若 沒有則稱 為本原多項式異于 的公因子，即是互素的，第31頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四有關(guān)性質(zhì)1 使其中 為本原多項式（除了相差一個正負號外，這種表示法是唯一的） 2Gauss引理定理10 兩個本原多項式的積仍是本原多項式第32頁，共34頁，2022年，5月20日，21點12分，星期四設(shè) 是兩個本原多項式若 不是本原的，則存在素數(shù) 證：又