2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(天津卷)

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試天津理科數(shù)學(xué)本試卷分為第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分,共150分,考試用時(shí)120分鐘.第卷1至3頁(yè),第卷4至6頁(yè).答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫(xiě)在答題卡上,并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答卷時(shí),考生務(wù)必將答案涂寫(xiě)在答題卡上,答在試卷上的無(wú)效.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.祝各位考生考試順利!第卷注意事項(xiàng):1.每小題選出答案后,用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).2.本卷共8小題,每小題5分,共40分.參考公式:如果事件A,B互斥,那么P(AB)=P(A)+P(B).如果事件A,B相

2、互獨(dú)立,那么P(AB)=P(A)P(B).柱體的體積公式V=Sh,其中S表示柱體的底面面積,h表示柱體的高.錐體的體積公式V=13Sh,其中S表示錐體的底面面積,h表示錐體的高一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2015天津,理1)已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,8,集合A=2,3,5,6,集合B=1,3,4,6,7,則集合AUB=()A.2,5B.3,6C.2,5,6D.2,3,5,6,8答案:A解析:由題意可知UB=2,5,8,則AUB=2,5.故選A.2.(2015天津,理2)設(shè)變量x,y滿足約束條件x+20

3、,x-y+30,2x+A.3B.4C.18D.40答案:C解析:畫(huà)出題中約束條件滿足的可行域,如圖中陰影所示,將目標(biāo)函數(shù)化為y=-16x+z6,結(jié)合圖象可知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線平移到過(guò)點(diǎn)A(0,3)時(shí),z取得最大值,最大值為18.故選3.(2015天津,理3)閱讀下邊的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出S的值為()A.-10B.6C.14D.18答案:B解析:第一次循環(huán),i=2,S=20-2=18,不滿足判斷框條件,進(jìn)入循環(huán)體;第二次循環(huán),i=4,S=18-4=14,不滿足判斷框條件,進(jìn)入循環(huán)體;第三次循環(huán),i=8,S=14-8=6,滿足判斷框條件,結(jié)束循環(huán),輸出S.因此,輸出S的值為6.4.(201

4、5天津,理4)設(shè)xR,則“|x-2|0”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:A解析:因?yàn)閨x-2|1等價(jià)于1x0等價(jià)于x1,所以“|x-2|0”的充分而不必要條件.5.(2015天津,理5)如圖,在圓O中,M,N是弦AB的三等分點(diǎn),弦CD,CE分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,則線段NE的長(zhǎng)為()A.83B.C.103D.答案:A解析:由相交弦定理,得CM因?yàn)镸,N是弦AB的三等分點(diǎn),所以AM=MN=NB,MB=AN.所以AMMB=ANNB.所以CMMD=CNNE,即24=3NE,解得NE=836.(2015天津,理6)已知雙

5、曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一條漸近線過(guò)點(diǎn)(2,3),且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=4A.x221-y228=C.x23-y24=答案:D解析:因?yàn)殡p曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的漸近線方程為y=又因?yàn)閽佄锞€y2=47x的準(zhǔn)線為x=-7,所以c=a2+b由,得a2=4,b2=3.故所求雙曲線的方程為x24-7.(2015天津,理7)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2|x-m|-1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù).記a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),則a,b,c的大小關(guān)系為()A.abcB.acbC.cabD.cba答案:C解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2|

6、x-m|-1為偶函數(shù),所以對(duì)任意的xR,都有f(-x)=f(x),即2|-x-m|-1=2|x-m|-1對(duì)xR恒成立,所以m=0,即f(x)=2|x|-1.所以f(x)在0,+)上為增函數(shù).又f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),f(2m)=f(0),且0log23log25,所以f(0)f(log23)f(log25),即f(2m)f(log0.53)f(log25).所以ca2,函數(shù)g(x)=b-f(2-x),其中bR,若函數(shù)y=f(x)-g(A.74,+BC.0,74D答案:D解析:由f(x)=2-|x|,x2,(x-2f(2-x)=2+2-所以f(x)+f(2-x

7、)=x因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b恰有4個(gè)零點(diǎn),所以函數(shù)y=b與y=f(x)+f(2-x)的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn).畫(huà)出函數(shù)y=f(x)+f(2-x)的圖象,如圖.由圖可知,當(dāng)b74,2時(shí),函數(shù)y=b與y=f(x)+f(2-x)的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn).故選第卷注意事項(xiàng):1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上.2.本卷共12小題,共110分.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.9.(2015天津,理9)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)(1-2i)(a+i)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為.答案:-2解析:(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i.(1-2i)(

8、a+i)是純虛數(shù),a+2=0,且1-2a0,a=-2.10.(2015天津,理10)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為 m3.答案:8解析:由題中三視圖可知該幾何體由兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組成,其體積V=213121+122=811.(2015天津,理11)曲線y=x2與直線y=x所圍成的封閉圖形的面積為.答案:1解析:在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x2與y=x的圖象如圖,所圍成的封閉圖形如圖中陰影所示,設(shè)其面積為S.由y故所求面積S=01 (x-x2)dx=12.(2015天津,理12)在x-14x6的展開(kāi)式中,x答案:15解析:由題意知Tr+1=C6rx6-r-14

9、xr=C6r令6-2r=2,可得r=2.故所求x2的系數(shù)為C613.(2015天津,理13)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為315,b-c=2,cos A=-14,則a的值為.答案:8解析:SABC=12bcsin A=12bc1-cos2A=12bc154=315a2=b2+c2-2bccos A=(b-c)2+2bc-2bc-14=4+224+1224a為ABC的邊,a=8.14.(2015天津,理14)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上,且BE=BC,DF=19DC答案:29解析:由

10、題意作圖如圖,則AE=BE-BA四邊形ABCD是等腰梯形,易知DC=12AB=1,AD=BC=1,ABC=60,DCB=120,且0AFAE=DC9=DCBC9=1911cos 120-1912cos 180-11cos 120+12=-118+=1718+29當(dāng)且僅當(dāng)=23時(shí)等號(hào)成立.故應(yīng)填29三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.15.(本小題滿分13分)(2015天津,理15)已知函數(shù)f(x)=sin2x-sin2x-6,x(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在區(qū)間-3解:(1)由已知,有f(x)=1-cos2x2-1-cos2x-32=

11、1212cos2x+所以,f(x)的最小正周期T=22=(2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間-3,-6上是減函數(shù),在區(qū)間-6,4上是增函數(shù),f-3=-14,f-6=-12,f16.(本小題滿分13分)(2015天津,理16)為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名,其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:(1)由已知,有P(A

12、)=C2所以,事件A發(fā)生的概率為635(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X=k)=C5kC34-kC84(k=所以,隨機(jī)變量X的分布列為X1234P1331隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1114+237+337+417.(本小題滿分13分)(2015天津,理17)如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=5,且點(diǎn)M和N分別為B1C和D1D的中點(diǎn).(1)求證:MN平面ABCD;(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值;(3)設(shè)E為棱A1B1上的點(diǎn),若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為13,求線段A1E

13、的長(zhǎng)解:如圖,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2).又因?yàn)镸,N分別為B1C和D1D的中點(diǎn),得M1,12,1,N(1,-2,(1)證明:依題意,可得n=(0,0,1)為平面ABCD的一個(gè)法向量.MN=由此可得MNn=0,又因?yàn)橹本€MN平面ABCD,所以MN平面ABCD.(2)AD1=(1,-2,2),AC=(2,0,0設(shè)n1=(x1,y1,z1)為平面ACD1的法向量,則n1AD1=0,n1AC=0,即x1-2y1+2設(shè)n2=(x2,y2

14、,z2)為平面ACB1的法向量,則n又AB1=(0,1,2),不妨設(shè)z2=1,可得n2=(0,-2,1).因此有cos=n1n于是sin=310所以,二面角D1-AC-B1的正弦值為310(3)依題意,可設(shè)A1E=A1B1,其中0,1,則E(0,2),從而NE=(-1,+2,1).又n=(0,0,1)為平面ABCD的一個(gè)法向量,由已知,得cos=NEn|NE|n|=1(-1)2+(+2)2+12所以,線段A1E的長(zhǎng)為7-2.18.(本小題滿分13分)(2015天津,理18)已知數(shù)列an滿足an+2=qan(q為實(shí)數(shù),且q1),nN*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等

15、差數(shù)列.(1)求q的值和an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=log2a2na2n-1,nN*,解:(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因?yàn)閝1,故a3=a2=2,由a3=a1q,得q=2.當(dāng)n=2k-1(kN*)時(shí),an=a2k-1=2k-1=2n當(dāng)n=2k(kN*)時(shí),an=a2k=2k=2n所以,an的通項(xiàng)公式為an=2(2)由(1)得bn=log2a2na2n-1=n2n-1.設(shè)bn的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=1120+21212Sn=1121+2122+3123+(n-1上述兩式相減,得

16、12Sn=1+12+122+整理得,Sn=4-n+2所以,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為4-n+22n-1,n19.(本小題滿分14分)(2015天津,理19)已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦點(diǎn)為F(-c,0),離心率為33,點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限,直線FM被圓x2+y(1)求直線FM的斜率;(2)求橢圓的方程;(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上,若直線FP的斜率大于2,求直線OP(O為原點(diǎn))的斜率的取值范圍.解:(1)由已知有c2a2=13,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b設(shè)直線FM的斜率為k(k0),則直線FM的方程為y=k(x+c).由已知,有kck2+12+(2)由(1)得橢圓方

17、程為x23c2+y22c2=1,直線FM的方程為y=33(x+c),兩個(gè)方程聯(lián)立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-53c,由|FM|=(c+c)2+233c(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),直線FP的斜率為t,得t=yx+1,即y=t(x+1)(x-1),與橢圓方程聯(lián)立y=t(x+1),x23+y22=1,消去y,整理得又由已知,得t=6-2x23(x+1)22,解得-3設(shè)直線OP的斜率為m,得m=yx,即y=mx(x0),與橢圓方程聯(lián)立,整理可得m2=2當(dāng)x-32,-1時(shí),有y=t(x+1)0,于是m=2x2-當(dāng)x(-1,0)時(shí),有y=t(x+1)0,因此m0,于是m=-2

18、x2-23,綜上,直線OP的斜率的取值范圍是-20.(本小題滿分14分)(2015天津,理20)已知函數(shù)f(x)=nx-xn,xR,其中nN*,且n2.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P,曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=g(x),求證:對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x,都有f(x)g(x);(3)若關(guān)于x的方程f(x)=a(a為實(shí)數(shù))有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1,x2,求證:|x2-x1|0,即x1時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)f(x)1時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.所以,f(x)在(-,1)上單調(diào)遞增,在(1,+)上單調(diào)遞減.(2)證明:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,0),則x0=n1n-1,f(x0)=n-n2.曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切