2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(重慶卷)

1、2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試重慶文科數(shù)學數(shù)學試題卷(文史類)共4頁.滿分150分.考試時間120分鐘.注意事項:1.答題前,務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時,必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦擦干凈后,再選涂其他答案標號.3.答非選擇題時,必須使用0.5毫米黑色簽字筆,將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答,在試題卷上答題無效.5.考試結束后,將試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個備選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2015重慶,

2、文1)已知集合A=1,2,3,B=1,3,則AB=()A.2B.1,2C.1,3D.1,2,3答案:C解析:因為A=1,2,3,B=1,3,所以AB=1,3.2.(2015重慶,文2)“x=1”是“x2-2x+1=0”的()A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件答案:A解析:當x=1時,x2-2x+1=12-21+1=0;當x2-2x+1=0時,有(x-1)2=0,即x=1,故“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要條件.3.(2015重慶,文3)函數(shù)f(x)=log2(x2+2x-3)的定義域是()A.-3,1B.(-3,1)C.(-,-31,+)D.(

3、-,-3)(1,+)答案:D解析:要使函數(shù)有意義,應滿足x2+2x-30,解得x1或x0,b0)的右焦點是F,左、右頂點分別是A1,A2,過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B,C兩點.若A1BA.12B.22C.1D.答案:C解析:依題意知A1(-a,0),A2(a,0),F(c,0),不妨設點B在點F的上方,點C在點F的下方,則Bc,b2a因為A1BA2C,所以kA1Bk而kA1B=b2a-0c-(-a)=b2a(c+a),kA2C=0-b2aa-c=b10.(2015重慶,文10)若不等式組x+y-20,x+2y-20,A.-3B.1C.43答案:B解析:如圖,要使不等式組表示的平面區(qū)域為三

4、角形,則不等式x-y+2m0表示的平面區(qū)域為直線x-y+2m=0下方的區(qū)域,且-2m-1.這時平面區(qū)域為三角形ABC.由x+y-2=0,x+2y-2=0由x+y則B(1-m,1+m).同理C2-4m3,2+2m3,M因為SABC=SABM-SACM=12(2+2m)(1+m)-2+2m3=(m+1)23,二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填寫在答題卡相應位置上.11.(2015重慶,文11)復數(shù)(1+2i)i的實部為.答案:-2解析:因為(1+2i)i=i+2i2=-2+i,所以其實部等于-2.12.(2015重慶,文12)若點P(1,2)在以坐標原點為圓心的圓上,則該圓

5、在點P處的切線方程為.答案:x+2y-5=0解析:設坐標原點為O,依題意,切線l與OP垂直,而kOP=2,所以kl=-12,于是切線l的方程為y-2=-12(x-1),即x+2y-5=13.(2015重慶,文13)設ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=2,cos C=-14,3sin A=2sin B,則c=答案:4解析:由于3sin A=2sin B,根據(jù)正弦定理可得3a=2b,又a=2,所以b=3.于是由余弦定理可得c=a2+b14.(2015重慶,文14)設a,b0,a+b=5,則a+1+b答案:32解析:因為a,b0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a

6、+1,y=b+3,則x+y=9(x1,y3),于是a+1+b+3=x+y,而(x+y)2=x+y+2xyx+y+(x+y)=18,所以x+y32.此時x=y,即a+1=b+3,結合a+b=5可得a=3.5,b=1.5,故當a=3.515.(2015重慶,文15)在區(qū)間0,5上隨機地選擇一個數(shù)p,則方程x2+2px+3p-2=0有兩個負根的概率為.答案:2解析:當方程x2+2px+3p-2=0有兩個負根x1和x2時,應有=(所以23p1或2p5,即p23,12,5三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.(本小題滿分13分,(1)小問7分,(2)小問6分

7、)(2015重慶,文16)已知等差數(shù)列an滿足a3=2,前3項和S3=92(1)求an的通項公式;(2)設等比數(shù)列bn滿足b1=a1,b4=a15,求bn的前n項和Tn.解:(1)設an的公差為d,則由已知條件得a1+2d=2,3a1+322d=9化簡得a1+2d=2,a1+d=32解得a1=1,d=12故通項公式an=1+n-12,即an(2)由(1)得b1=1,b4=a15=15+12=8設bn的公比為q,則q3=b4b1=8,從而故bn的前n項和Tn=b1(1-qn17.(本小題滿分13分,(1)小問10分,(2)小問3分)(2015重慶,文17)隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展,居民的儲蓄存款逐年增

8、長.設某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表:年份20102011201220132014時間代號t12345儲蓄存款y(千億元)567810(1)求y關于t的回歸方程y=b(2)用所求回歸方程預測該地區(qū)2015年(t=6)的人民幣儲蓄存款.附:回歸方程y=bt+a解:(1)列表計算如下:itiyittiyi11515226412337921448163255102550153655120這里n=5,t=1ni=1nti=155=3,y=又ltt=i=1nti2-nt2=55-532=10,lty=i=1ntiyi-nt y=120-537.2=12,從而b=ltyltt=1210=1

9、.2,a=y-b(2)將t=6代入回歸方程可預測該地區(qū)2015年的人民幣儲蓄存款為y=1.26+3.6=10.8(千億元)18.(本小題滿分13分,(1)小問7分,(2)小問6分)(2015重慶,文18)已知函數(shù)f(x)=12sin 2x-3cos2(1)求f(x)的最小正周期和最小值;(2)將函數(shù)f(x)的圖象上每一點的橫坐標伸長到原來的兩倍,縱坐標不變,得到函數(shù)g(x)的圖象.當x2,時,求g(x解:(1)f(x)=12sin 2x-3cos2x=12sin 2x-32(1+cos 2x)=12sin 2x-32cos 2x-因此f(x)的最小正周期為,最小值為-2+3(2)由條件可知:g

10、(x)=sinx-當x2,時,有x-36,23,從而sin故g(x)在區(qū)間2,19.(本小題滿分12分,(1)小問4分,(2)小問8分)(2015重慶,文19)已知函數(shù)f(x)=ax3+x2(aR)在x=-43處取得極值(1)確定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,討論g(x)的單調(diào)性.解:(1)對f(x)求導得f(x)=3ax2+2x,因為f(x)在x=-43處取得極值,所以f-43即3a169+2-43=16a3(2)由(1)得g(x)=12x3故g(x)=32x2+2xe=12x=12x(x+1)(x+4)ex令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.當x-4時,g(x)0,故

11、g(x)為減函數(shù);當-4x0,故g(x)為增函數(shù);當-1x0時,g(x)0時,g(x)0,故g(x)為增函數(shù).綜上知g(x)在(-,-4)和(-1,0)內(nèi)為減函數(shù),在(-4,-1)和(0,+)內(nèi)為增函數(shù).20.(本小題滿分12分,(1)小問5分,(2)小問7分)(2015重慶,文20)如圖,三棱錐P-ABC中,平面PAC平面ABC,ABC=2,點D,E在線段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,點F在線段AB上,且EF(1)證明:AB平面PFE;(2)若四棱錐P-DFBC的體積為7,求線段BC的長.(1)證明:如圖,由DE=EC,PD=PC知,E為等腰PDC中DC邊的中點,故PEAC

12、.又平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PE平面PAC,PEAC,所以PE平面ABC,從而PEAB.因ABC=2,EFBC,故AB從而AB與平面PFE內(nèi)兩條相交直線PE,EF都垂直,所以AB平面PFE.(2)解:設BC=x,則在直角ABC中,AB=AC2-BC2=36-x2,由EFBC知,AFAB=AEAC=23,得AFEABC,故SAFES由AD=12AE,SAFD=12SAFE=1249SABC=29SABC=19x36-x2,從而四邊形DFBC的面積為由(1)知,PE平面ABC,所以PE為四棱錐P-DFBC的高.在直角PEC中,PE=PC2-E體積VP-DFBC=13SDF

13、BCPE=13718x36-故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x0,可得x=3或x=33.所以,BC=3或BC=33.21.(本小題滿分12分,(1)小問5分,(2)小問7分)(2015重慶,文21)如圖,橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F2的直線交橢圓于P,Q(1)若|PF1|=2+2,|PF2|=2-2,求橢圓的標準方程;(2)若|PQ|=|PF1|,且3443,試確定橢圓離心率e解:(1)由橢圓的定義,2a=|PF1|+|PF2|=(2+2)+(2-2)=4,故a=2.設橢圓的半焦距為c,由已知PF1PF2,因此2c=|F1F2|=|PF1|即c=3,從而b=a2-c故所求橢圓的標準方程為x24+y2=(2)如圖,由PF1PQ,|PQ|=|PF1|,得|QF1|=|PF1由橢圓的定義,|P