實變函數(shù)課件可測集

1、2 可 測 集1 集合的勒貝格( Lebesgue)可測的定義2 集合可測的充要條件3 可測集的性質(zhì)(并、交、差、補、單調(diào)性質(zhì)）10/12/202210/12/2022定義1設(shè)若對任何點集 T 都有則稱 E 為勒貝格( Lebesgue)可測集，簡稱為 L 可測集這時 E 的 L 外測度稱為 E 的 L 測度，記為稱為Caratheodory條件1 集合的勒貝格( Lebesgue)可測的定義10/12/2022定理1集合 E 可測的充要條件是對任何總有 證 必要性：設(shè)集合 E 可測，對任何 A E , B EC , 取 T = A B , 則 T E = A , T EC = B , 所以C

2、aratheodory條件有一個等價的敘述方式，即2 集合可測的充要條件10/12/2022 充分性：對任意集合 T , 取 A = T E , B = T EC ，則 A E , B EC , A B = T , 于是所以集合 E 可測 10/12/2022定理 2集合 S 可測的充要條件是可測證因為對任意的集 T ，有所以集合 S 可測的充要條件是可測10/12/2022定理 3設(shè)集合 S1 , S2 都可測，則 S1 S2 也可測并且當 S1 S2 = 時，對任意集合 T 總有特別當 S1 S2 = 時，有即3 可測集的性質(zhì)(并集性質(zhì)）10/12/2022 證 首先證明 S1 S2 的可

3、測性，即要證：對任何 T 有因 S1 可測，則對任何 T 有10/12/2022又因 S2 可測，則對集合 T S1C ，有代入上一個表達式，得由德摩根公式，10/12/2022因 S1 可測，故由定理 1，有所以從而 S1 S2 可測其次證明：當 S1 S2 = 時，對任意集合 T 總有10/12/2022因 S1 可測，由定理 1，有證畢10/12/2022推論 1設(shè) Si ( i = 1, 2, . . . , n ) 都可測，則也可測，并且當 Si Sj = ( i j ) 時, 對任何集合 T 有特別當 Si Sj = ( i j ) 時, 有即10/12/2022定理 4設(shè)集合 S

4、1 , S2 都可測，則也可測證 因為 S1 S2 = ( (S1 S2 )C )C = (S1C S2C )C所以由定理 2 與定理 3 知， S1 S2 可測推論 2設(shè) Si ( i = 1, 2, . . . , n ) 都可測，則也可測3 可測集的性質(zhì)(交集性質(zhì)）10/12/2022定理 5設(shè)集合 S1 , S2 都可測，則也可測證 因為 S1 S2 = S1 S2 C ，所以由定理 2 與定理 4 知， S1 S2 可測注：設(shè)集合 A , B 都可測，且A B ，m A +，則 m( B A ) = m B m A 3 可測集的性質(zhì)(差集性質(zhì)）10/12/2022定理 6設(shè) Si 是

5、一列互不相交的可測集，則也是可測集，且證的可測性 首先證明由推論1知，對任何正整數(shù) n ,是可測集，從而對任意點集 T , 總有3 可測集的性質(zhì)(并集性質(zhì)）10/12/2022令 n + , 得可測 因此10/12/2022推論3設(shè) Si 是一列可測集，則也是可測集定理7設(shè) Si 是一列可測集，則也是可測集10/12/2022定理8設(shè) Si 是一列遞增的可測集：則即3 可測集的性質(zhì)(單調(diào)集列性質(zhì)）10/12/2022證因為所以10/12/2022定理9設(shè) Si 是一列遞減的可測集：且則即3 可測集的性質(zhì)(單調(diào)集列性質(zhì)）10/12/2022證因 Sn 是一列遞減的可測集，從而 S1Sn 遞增，故由定理 8 有即又因為所以由于從而10/12/2022定理9 中條件不能缺少，否則定理可能不成立10/12/2022小結(jié)1 可測集的定義（ Caratheodory條件）； 測度的定義2 可測集的余集可測，可數(shù)個可測集的并集可測，可數(shù)個可測集的交集可測，可測集合列的上極限集下極限集、極限集都是