初中數學不定方程及整數解

1、不定方程及整數解內容基本要求略高要求較高要求我們曾經學過一元一次方程，例如2 % + 3 = -5，解這個方程可得 = -4 .如果未知數的個數不只一個，而是二 個或更多個，就變成為二元一次方程或多元一次方程，例如 + y = 4就是一個二元一次方程.這個方程有無數 r %ir %4 r %6.5多組解.比如4，4，4 等.y = 3 y = 8y = -2.5這類未知數的個數多于方程的個數的方程（或方程組）就叫做不定方程（或方程組）初中范圍內通常只討論 這類方程（組）的正整數解或整數解.不定方程的問題主要有兩大類：判斷不定方程有無整數解或解的個數；如果不定方程有整數解，采取正確的 方法，求出

2、全部整數解.不定方程解的判定如果方程的兩端對同一個模機（常數）不同余,顯然，這個方程必無整數解.而方程如有解則解必為奇數、偶數兩 種，因而可以在奇偶分析的基礎上應用同余概念判定方程有無整數解.不定方程的解法不定方程沒有統(tǒng)一的解法，常用的特殊方法有:配方法、因式（質因數）分解法、不等式法、奇偶分析法和余 數分析法.對方程進行適當的變形，并正確應用整數的性質是解不定方程的基本思路.定理1:若二元一次不定方程a% + by = c，整數a和b的最大公約數不能整除c，則方程沒有整數解.定理2：若整數a , b互質，則方程a% + by = 1有整數解，同時方程a% + by = c也有整數解.若（ ,

3、 y ）是方程 00a% + by = 1的一個整數解，則c% , cy是方程a% + by = c的一個整數解.定理3:整系數方程a% + by = （a, b）有整數解.定理2和定理3都是“裴蜀定理”的內容% = %I % = % + bu0是滿足整系數方程a% + by = c的一組整數解，則40（其中u為任意整數）也是y = yI y = y au00 滿足上式的整數解.這表明，滿足方程的整數解有無窮組，并且在ab 0時，可選擇為正（負）數，此時y為相應的為負（正）數.這個結論可以通過把這組解直接代人已知方程進行證明.由這個定理，只要能夠觀察出二元一次方程的一組整數解，就可以得到它的全

4、部整數解.I % = 4例如，方程4% + 5y = 21的一組解為4，則此方程的所有整數解可表示為：I y =1page 6 of page 6 of 6板塊一不定方程的整數解【例1】 求方程11% + 15k7的整數解.【鞏固】求37% +107y = 25的整數解.【鞏固】求方程的整數解：72% +157y = 1；103%-90y = 5 .【例2】 求7% +19y = 213的所有正整數解.【鞏固】求方程5% + 3y = 22的所有正整數解.【鞏固】求6% + 22y = 90的非負整數解.【例3】 求2% + 3y + 7z = 34的整數解.【鞏固】求9% + 24y -5z

5、 = 1000的整數解.【例4】求方程組15% + 7y + 99 = 52的正整數解.3% + 5 y + 7 z - 36【例5】求不定方程2(% + y)- %y + 7的整數解.page 6 of 6page 6 of 6【例6】 求方程 + y = %2盯+ y2的整數解.【例7】第35屆美國中學數學競賽題）滿足聯(lián)立方程J ab + bc = 44ac + bc = 23的正整數（a, b, c）的組數是（）.（A） 0（B）1（C）2（D）3（E）4【例8】（第33屆美國數學競賽題）滿足方程%2 + y2 = %3的正整數對（%, y）的個數是（）.（A）0 （B）1（C）2（D）

6、無限個（E）上述結論都不對【例9】求不定方程mn + nr + mr = 2（m + n + r）的正整數解（m, n, r）的組數.【例10】求方程%2 - 4%y + 5y2 = 169的整數解.【例11】（原民主德國1982年中學生競賽題）已知兩個自然數b和c及素數a滿足方程a2 + b2 = c2 .證明:這時有 a p p，最后A得22分，B與C均得9分，B在百米 賽中取得第一.求M的值，并問在跳高中誰取得第三名？【例23有面額為壹圓、貳圓、伍圓的人民幣共10張，購買一把價值為18元的雨傘，不同的付款方式共有（）A.1種B.2種C.3種D.4種【例24】旅游團一行50人到一旅館住宿，

7、旅游館的客房有三人間、二人間、單人間三種，其中三人間的每人 每天20元，二人間的每人每天30元，單人間的每天50元，如果旅游團共住滿了 20間客房，問三種 客房各住幾間？怎樣消費最低？page 6 of 6page 6 of 6【例25】把若干顆花生分給若干只猴子，如果每只猴子分3顆，就剩下8顆；如果每只猴子分5顆，那么最后 一只猴子得不到5顆，那么，共有 只猴子，共有 顆花生.【例26】試證明存在自然數a，使得21 a的后三位數字是241.【例27】某自然數與13的和是5的倍數，并且與13的差是6的倍數，求這樣的自然數中最小的3個.【例28】設n是正整數，記1 x 2 x31 a a a a ax n為n!(例如1! = 1, 2! = 1 x 2 )，若存在整數a.a、a、a、a 滿足=f + f + y + f