lecture6一階邏輯基本概念課件

1、在命題邏輯中，命題是最基本的單位，對簡單命題不再進(jìn)行分解，并且不考慮命題之間的內(nèi)在聯(lián)系和數(shù)量關(guān)系。因而命題邏輯具有很大的局限性，甚至無法判斷一些簡單而常見的推理?？紤]下面的推理: 所有的人都是要死的； 蘇格拉底是人。 所以，蘇格拉底是要死的。 這個蘇格拉底三段論是我們公認(rèn)的真命題，但是在命題邏輯中卻無法判斷它的正確性。因為在命題邏輯中只能將推理中出現(xiàn)的三個簡單命題依次符號化為p，q，r，將推理的形式結(jié)構(gòu)符號化為 (pq)r 由于上式不是重言式，所以不能由它判斷推理的正確性。 在命題邏輯中，命題是最基本的單位，對簡單命題不再進(jìn)行分解，并個體詞，謂詞和量詞是一階邏輯命題符號化的三個基本要素。下面討

2、論這三個要素。 個體詞是指所研究對象中可以獨立存在的具體的或抽象的客體。例如，小王，小李，中國，3等都可以作為個體詞。將表示具體或特定的客體的個體詞稱作個體常項，一般用小寫英文字母a，b，c表示；而將表示抽象或泛指的個體詞稱為個體變項，常用x，y，z表示。稱個體變項的取值范圍為個體域(或稱論域)。個體域可以是有窮集合，例如，1，2，3，a，b，c，d，a，b，c，x，y，z，；也可以是無窮集合，例如，自然數(shù)集合N=0，1，2，實數(shù)集合R=x|x是實數(shù)。有一個特殊的個體域，它是由宇宙間一切事物組成的，稱它為全總個體域。本書在論述或推理中如沒有指明所采用的個體域，都是使用全總個體域。 個體詞，謂詞

3、和量詞是一階邏輯命題符號化的三個基本要素。下面討謂詞是用來刻畫個體詞性質(zhì)及個體詞之間相互關(guān)系的詞。 同個體詞一樣，謂詞也有常項和變項之分。表示具體性質(zhì)或關(guān)系的謂詞稱為謂詞常項，表示抽象的、泛指的性質(zhì)或關(guān)系的謂詞稱為謂詞變項。無論是謂詞常項或變項都用大寫英文字母F，G，H，表示，可根據(jù)上下文區(qū)分。 是無理數(shù)。 是個體常項，“是無理數(shù)”是謂詞，記為F，并用F( )表示該命題。 用P(x1,x2,xn)表示含n(n1)個命題變項的n元謂詞。問：它是不是命題？ 要想使它成為命題，必須用謂詞常項取代P，用個體常項a1,a2,an取代x1,x2,xn，得P(a1,a2,an)是命題。 謂詞是用來刻畫個體詞

4、性質(zhì)及個體詞之間相互關(guān)系的詞。 有了個體詞和謂詞之后，有些命題還是不能準(zhǔn)確的符號化，原因是還缺少表示個體常項或變項之間數(shù)量關(guān)系的詞。稱表示個體常項或變項之間數(shù)量關(guān)系的詞為量詞。量詞可分兩種: 日常生活和數(shù)學(xué)中所用的“一切的”，“所有的”，“每一個”，“任意的”，“凡”，“都”等詞可統(tǒng)稱為全稱量詞，將它們符號化為“”。并用x，y等表示個體域里的所有個體，而用xF(x)，yG(y)等分別表示個體域里所有個體都有性質(zhì)F和都有性質(zhì)G。 日常生活和數(shù)學(xué)中所用的“存在”，“有一個”，“有的”，“至少有一個”等詞統(tǒng)稱為存在量詞，將它們都符號化為“”。并用x，y等表示個體域里有的個體，而用xF(x)，yG(y

5、)等分別表示個體域里存在個體具有性質(zhì)F和存在個體具有性質(zhì)G等。 有了個體詞和謂詞之后，有些命題還是不能準(zhǔn)確的符號化，例4.2 在個體域分別限制為(a)和(b)條件時，將下面兩個命題符號化: (1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手寫字。 其中:(a)個體域D1為人類集合； (b)個體域D2為全總個體域。 解 (a)令F(x):x呼吸。G(x):x用左手寫字。 (1) 在D1中除了人外，再無別的東西，因而“凡人都呼吸”應(yīng)符號化為 xF(x) (4.1)(2) 在D1中的有些個體(人)用左手寫字，因而“有的人用左手寫字”符號化為 xG(x) (4.2) 例4.2 在個體域分別限制為(a)和(b)

6、條件時，將下面兩個(b) D2中除了有人外，還有萬物，因而在(1)，(2)符號化時，必須考慮將人分離出來。令M(x):x是人。在D2中，(1)，(2)可以分別重述如下:(1)對于宇宙間一切事物而言，如果事物是人，則他要呼吸。 (2)在宇宙間存在著用左手寫字的人。 于是(1)，(2)的符號化形式分別為 x(M(x)F(x) (4.3) 和 x(M(x)G(x) (4.4) 其中F(x)與G(x)的含義同(a)中。 命題(1)，(2)在不同的個體域D1和D2中符號化的形式不一樣。主要區(qū)別在于，在使用個體域D2時，要將人與其他事物區(qū)分開來。為此引進(jìn)了謂詞M(x)，像這樣的謂詞稱為特性謂詞。在命題符號

7、化時一定要正確使用特性謂詞。 問: (a)能否將(1)符號化為x(M(x)F(x)？ (b)能否將(2)符號化為x(M(x)G(x)？ (b) D2中除了有人外，還有萬物，因而在(1)，(問：1. 在不同個體域內(nèi)，同一個命題的符號化形式可能不同，也可能相同。 2. 同一個命題，在不同個體域中的真值也可能不同。 問：注意 1. 一般說來，多個量詞出現(xiàn)時，它們的順序不能隨意調(diào)換。例如，考慮個體域為實數(shù)集，H(x，y)表示x+y=10，則命題“對于任意的x，都存在y，使得x+y=10”的符號化形式為 xyH(x,y) (4.17) 所給命題顯然為真命題。但是如果改變兩個量詞的順序，得 yxH(x,y

8、) (4.18) (4.18)已經(jīng)不表示原命題，而且它所表示的命題是假命題。 2. 有些命題的符號化形式可不止一種。 由于引進(jìn)了個體詞，謂詞和量詞的概念，現(xiàn)在可以將本章開始時討論的推理在一階邏輯中符號化為如下形式: x(F(x)G(x)F(a)G(a) (4.21) 其中，F(xiàn)(x):x是人，G(x):x是要死的，a:蘇格拉底.注意 1. 一般說來，多個量詞出現(xiàn)時，它們的順序不能隨定義4.5 在公式xA和xA中，稱x為指導(dǎo)變元，A為相應(yīng)量詞的轄域。在x和x的轄域中，x的所有出現(xiàn)都稱為約束出現(xiàn)。A中不是約束出現(xiàn)的其他變項均稱為是自由出現(xiàn)的。 定義4.6 設(shè)A是任意的公式，若A中不含有自由出現(xiàn)的個體

9、變項，則稱A為封閉的公式，簡稱閉式。定義4.5 在公式xA和xA中，稱x為指導(dǎo)變元，A為相應(yīng)例4.7 將下列兩個公式中的變項指定成常項使其成為命題: (1)x(F(x)G(x) (4.25)解 (1)指定個體變項的變化范圍，并且指定謂詞F，G的含義，下面給出兩種指定法: (a)令個體域D1為全總個體域，F(xiàn)(x)為x是人，G(x)為x是黃種人，則(4.25)表達(dá)的命題為“所有人都是黃種人”，這是假命題。 (b)令個體域D2為實數(shù)集合R，F(xiàn)(x)為x是自然數(shù)，G(x)為x是整數(shù)，則(4.25)表達(dá)的命題為“自然數(shù)都是整數(shù)”，這是真命題。 我們還可以給出其他各種不同指定，使(4.25)表達(dá)各種不同形

10、式的命題。例4.7 將下列兩個公式中的變項指定成常項使其成為命題: 定義4.8 設(shè)A為一個公式，若A在任何解釋下均為真，則稱A為永真式(或稱邏輯有效式)。若A在任何解釋下均為假，則稱A為矛盾式(或永假式)。若至少存在一個解釋使A為真，則稱A為可滿足式。 定義4.9 設(shè)A0是含有命題變項p1,p2,pn的命題公式，A1,A2,An是n個謂詞公式，用Ai(1in)處處代替A0中的pi，所得公式A稱為A0的代換實例。 例如，F(xiàn)(x)G(x)，xF(x)yG(y)等都是pq的代換實例。問：x(F(x)G(x)是不是pq的代換實例？ 定理4.2 重言式的代換實例都是永真式，矛盾式的代換實例都是矛盾式。 定義4.8 設(shè)A為一個公式，若A在任何解釋下均為真，則稱A為主要內(nèi)容 3. 量詞全稱量詞存在量詞4. 一階邏輯中命題符號化5. 一階邏輯公式原子公式合式公式（或公式）閉式6. 解釋7. 一階邏輯公式的分類邏輯有效式（或永真式）矛盾式（或永假式）可滿足式1. 個體詞個體常項個體變項個體域全總個體域2. 謂詞謂詞常項謂詞變項n(n1)元謂詞特性謂詞主要內(nèi)容 3. 量詞全稱量詞存在量詞4. 一階邏輯學(xué)習(xí)要求 要求準(zhǔn)確地將給出的命題符號化：當(dāng)給定個體域時