算法大全第14章穩(wěn)定狀態(tài)模型

1、- #-13)=1a4一.=13)2NN12將xx平面劃分為x(t)0和x(t)0兩個(gè)區(qū)域。1222兩直線(12)和(13)之間的位置關(guān)系可以由下圖的四種情況來(lái)說(shuō)明。每種可能性對(duì)應(yīng)于平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性說(shuō)明如下：(i)a1，由圖(b)知,兩直線將平面(x0,x0)劃分為三個(gè)區(qū)121域：12TOC o 1-5 h zS:x&(t)0,x&(t)0(14)112S:x&(t)0,x&(t)0(15)212S:x&(t)0,x&(t)0(16)12可以說(shuō)明不論軌線從哪個(gè)區(qū)域出發(fā)，tfg時(shí)都將趨向P、N,0)。若軌線從S1出發(fā)，由(14)式可知隨著t的增加軌線向右上方運(yùn)動(dòng)，必然進(jìn)入S:若軌線從S出發(fā),22由

2、(15)式可知軌線向下方運(yùn)動(dòng)，那么它或者趨向P點(diǎn)，或者進(jìn)入S，但進(jìn)入S是不133可能的。因?yàn)椋绻O(shè)軌線在某時(shí)刻t經(jīng)直線(12)式進(jìn)入S，則x(t)=0，由式(9)、131110)不難看出。x(t)=_ix(t)x(t)11N1212由式(15)、(16)知丘(t)0,表明x(t)在t達(dá)到極小值，而這是不2111111可能的，因?yàn)樵赟中x(t)0,即x(t)一直是增加的。若軌線從S出發(fā)，由(16)21113式可知軌線向左下方運(yùn)動(dòng)，那么它或者趨向P點(diǎn)，或者進(jìn)入S，而進(jìn)入S后，根據(jù)上122面的分析最終也將趨向。綜合上述分析可以畫出軌線示意圖。因?yàn)橹本€(12)式上dx=0，所以在(12)式上軌線方向

3、垂直于x軸；在(13)式上dx=0，軌線方向12平行于x1軸。a1Q1，類似的分析可知P(0,N)穩(wěn)定。122a1,a1,a1，P不穩(wěn)定(鞍點(diǎn))。123因?yàn)檐壘€的初始位置不同，其走向也不同或趨于P或趨于P。根據(jù)建模過(guò)程中12a，a的含義，可以說(shuō)明P,P,P點(diǎn)穩(wěn)定在生態(tài)學(xué)上的意義： HYPERLINK l bookmark8212123a1:a1意1212味著在對(duì)供養(yǎng)乙的資源的競(jìng)爭(zhēng)中甲強(qiáng)于乙于，是種群乙終將滅絕，種群甲趨向最大容量即x(t),x(t)趨向平衡點(diǎn)P(N,0)。1211a1，a1:情況與正好相反。12a1,a1,a1:留作習(xí)題。123Volterra模型意大利生物學(xué)家DAncona曾

4、致力于魚(yú)類種群相互制約關(guān)系的研究，在研究過(guò)程中他無(wú)意中發(fā)現(xiàn)了第一次世界大戰(zhàn)期間地中海各港口捕獲的幾種魚(yú)類占捕獲總量百分比的資料，從這些資料中他發(fā)現(xiàn)各種軟骨掠肉魚(yú)，如鯊魚(yú)、鰱魚(yú)等我們稱之為捕食者的一些不是很理想的魚(yú)占總漁獲量的百分比，在19141923年期間，意大利阜姆港收購(gòu)的捕食者所占的比例有明顯的增加：年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.810.7他知道，捕獲的各種魚(yú)的比例基本上代表了地中海漁場(chǎng)中各種魚(yú)類的比例。戰(zhàn)爭(zhēng)中捕獲量大幅度下降，當(dāng)然使?jié)O場(chǎng)中食用魚(yú)(食餌

5、)增加，以此為生的鯊魚(yú)也隨之增加。但是捕獲量的下降為什么會(huì)使鯊魚(yú)的比例增加，即對(duì)捕食者而不是對(duì)食餌有利呢？他無(wú)法解釋這個(gè)現(xiàn)象，于是求助于著名的意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望建立一個(gè)食餌捕食者系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，定量地回答這個(gè)問(wèn)題。形成模型為建立這樣的模型，我們分別用x(t)和x(t)記食餌和捕食者在時(shí)刻t的數(shù)量。因12為大海中魚(yú)類的資源豐富，可以假設(shè)如果食餌獨(dú)立生存則食餌將以增長(zhǎng)率r按指數(shù)規(guī)律1增長(zhǎng)，即有X(t)=rx(t)。捕食者的存在使食餌的增長(zhǎng)率降低，設(shè)降低的程度與捕食111者數(shù)量成正比，于是xi(t)滿足方程X(t)=x(r一入x)(17)11112比例系數(shù)反映捕食者掠取食餌的能力

6、。捕食者離開(kāi)食餌無(wú)法生存，若設(shè)它獨(dú)自存在時(shí)死亡率為r，即x(t)=-rx(t)，2222而食餌為它提供食物的作用相當(dāng)于使死亡率降低，或使之增長(zhǎng)。設(shè)這個(gè)作用與食餌數(shù)量成正比，于是x(t)滿足2x(t)=x(-r+入x)(18)22221比例系數(shù)入反映食餌對(duì)捕食者的供養(yǎng)能力。2方程(17)和(18)是在沒(méi)有人工捕獲情況下自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的制約關(guān)系，是Volterra提出的最簡(jiǎn)單的模型。這個(gè)模型沒(méi)有引入競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。模型分析這是一個(gè)非線性模型，不能求出其解析解，所以我們還是通過(guò)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析，研究x(t),x(t)的變化規(guī)律。容易得到方程(17)和(18)的平衡點(diǎn)為12rrP(0,0),P(

7、尹寸)(19)12九九21當(dāng)然，平衡解P(0,0)對(duì)我們來(lái)說(shuō)是沒(méi)有意義的。這個(gè)方程組還有一族解1x(t)=Cer1t，x(t)=0和x(t)=0，x=Ce-t。因此，x軸和x軸都是方程組11212212(17)，(18)的軌線。這意味著：方程(17)、(18)在t=t由第一象限x0,x0012出發(fā)的每一個(gè)解x(t),x(t)在以后一切時(shí)間tt都保持在第一象限內(nèi)。當(dāng)x,x012012時(shí)，方程(17)、(18)的軌線是一階方程dxx（r一入x）1=1_11-2-dxx（一r+入x）22221的解曲線。用分離變量方法解得(xr2e-入2x】)(xqe-人x2)=c(20)12c是任意常數(shù)。因此，方程

8、(17),(18)的軌線是由式(20)定義的曲線族，我們來(lái)證明這些曲線是封閉的。引理1當(dāng)x,x0時(shí)，方程(20)定義了一組封閉曲線。12證明我們首先來(lái)確定當(dāng)x,x0時(shí)函數(shù)129(x)11221和0(x)2211222）2九的性狀。利用微積分方法可以作出9和0的圖形。如下圖所示。22）2九r0(x0)=0，x0=12m2九1顯然，僅當(dāng)(20)式右端常數(shù)c90時(shí)相軌線才有定義。mm當(dāng)c=90時(shí)，x=x0，x=x0，將式(21)和(22)與(19)式比較可知(xo,x0)TOC o 1-5 h zmm112212正是平衡點(diǎn)P，所以P是相軌線的退化點(diǎn)。22為了考察c0)軌線的形狀，我們只需考慮c=X0

9、的情況，其中mmm0入9。首先注意到：方程xge-S1=入具有一個(gè)解x=xxo。因此，當(dāng)xx時(shí)，方程11111110（x0（x）=xqe-x2=22112lx；2e_g丿沒(méi)有解x。2xxx11大的解總是大于當(dāng)x=x沒(méi)有解x。2xx0，x(0)0的所有的解x(t)，x(t)都是時(shí)間的1212周期函數(shù)。也就是說(shuō)，(17)和(18)的具有初始條件x(0)0，x(0)0的每一個(gè)12解x(t)，x(t)都具有這樣的性質(zhì)：12x(t+T)=x(t)，x(t+T)=x(t)，其中T是某1122一正數(shù)。DAncona所用的數(shù)據(jù)實(shí)際上是捕食者的百分比在每一年中的平均值。因此，為了把這些數(shù)據(jù)同方程組(17)和(1

10、8)的結(jié)果進(jìn)行比較，對(duì)于(17)和(18)的任何解x(t)，x(t)，我們必須算出x(t)和x(t)1212的“平均值”。值得注意的是，即使還沒(méi)有準(zhǔn)確地求得x(t)和x(t)，我們?nèi)匀荒軌蛩愠鲞@些平均值。12引理2設(shè)x(t)，x(t)是(17)和(18)的周期解，其周期T0，x(t)和x(t)1212的平均值定義為(t)dt(t)dt，(t)dt這時(shí)，x1證明由于因此=x0，x=x0。換句話說(shuō)，x(t)這時(shí)，x1證明由于因此TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark80 x(t).把(17)的兩端除以x，得到-=r入x，于是1x112JTdt=Jr一入x(t)dt H

11、YPERLINK l bookmark86T0 x(t)T01121F去dt=Inx(T)一Inx(0)=0 HYPERLINK l bookmark900 x(t)11F入x(t)dtF入x(t)dt=012rr于是，x=1。類似地，把(18)的兩端除以Tx(t)，由0到T積分，我們得到x=2。2入21入12下面，我們考慮漁業(yè)對(duì)于上述數(shù)學(xué)模型的影響。注意到漁業(yè)使得食餌總數(shù)以速率氐減少，而使得捕食者的總數(shù)以速率ex減少。常數(shù)8反映漁業(yè)的水平；即反映了海12上的漁船數(shù)和下水的網(wǎng)數(shù)。因此，真實(shí)的狀態(tài)由下列修正的微分方程組來(lái)描述：fx(t)=x(r一入x)8x=(r8)x一入xxi1/1211i11

12、.2(23)Ix(t)=x(一r+九x)8x=(r+8)x+九xx22221222212這個(gè)方程組同(17),(18)完全一樣(當(dāng)r一80時(shí))，只是其中r換成r一8,而r1112換成r+8。因此，現(xiàn)在x(t)和x(t)的平均值是212r+8r-8x=2，x=11九2九21平均說(shuō)來(lái)，中等捕魚(yú)量(8r)實(shí)際上會(huì)增加食餌的數(shù)目，而減少捕食者的數(shù)目。相反，1捕魚(yú)量的降低，平均說(shuō)來(lái)，會(huì)增加捕食者的數(shù)目，而減少食餌的數(shù)目。這個(gè)值得注意的結(jié)果稱為Volterra原理，它解釋了DAncona的數(shù)據(jù)。值得注意的是Volterra模型是非常粗糙的，有興趣的讀者可以作進(jìn)一步的探討。習(xí)題十四單棵樹(shù)木的商品價(jià)值V是由這棵樹(shù)能夠生產(chǎn)的木材體積和質(zhì)量所決定的。顯然V=V(t)依賴于樹(shù)木的年齡t。假設(shè)曲線V(t)已知，c為樹(shù)木砍伐成本。試給出砍伐樹(shù)木(更確切地說(shuō)砍伐相同年齡的樹(shù)木)的最優(yōu)年齡。如果考慮到森林輪種問(wèn)題，即一旦樹(shù)木從某一處砍掉，這塊土地便可以種植新樹(shù)，假定各輪