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文檔簡介

1、平穩(wěn)過程的自相關函數在時域上描述了該過程的統(tǒng)計特性，現在要從頻率上描述平穩(wěn)過程的統(tǒng)計特征。對于確定性時間信號的傅立葉變換的回顧：設是時間的非周期實函數，則傅立葉變換存在的充要條件是：在滿足狄利赫利條件；絕對可積，即若代表信號，則總能量有限。即此時：傅立葉變換為：（傅立葉反變換） 非周期性時間函數的帕塞瓦（Parseval）等式上式中，稱為能譜密度例題1 平穩(wěn)隨機過程的譜密度為，求。定義：設為均方連續(xù)的隨機過程，稱：為的平均功率。稱為的功率譜密度，簡稱譜密度。其中，而為的截尾隨機過程。功率譜密度的性質：若，則是的實函數對于實隨機過程，可積性，即例題2： 隨機過程，其中，都為常數，為在上均勻分布的

2、隨機變量，求的功率譜密度。例題3：平穩(wěn)隨機過程功率譜密度，求自相關函數與均方值。例題4：平穩(wěn)隨機過程，其功率譜密度，求自相關函數。例題5：已知平穩(wěn)正態(tài)過程的均值為0，功率譜密度為，求在之間的概率。若的功率譜密度，其中為正常數，則為白噪聲。若為正態(tài)過程，且，則稱為高斯白噪聲。對于白噪聲：設是實隨機過程，若相應的功率譜密度函數具有以下的性質：帶寬滿足，則稱為窄帶隨機過程。在區(qū)間內給定的實函數，它的希爾伯特變換記作：用代入上式，進行變量置換，可以得到：希爾伯特變換相當于一個正交濾波器，如下圖所示：可以證明： 即：希爾伯特逆變換為：給定任意一實隨機過程，定義一個復隨機過程，且，為的希爾伯特變換，則稱為

3、的解析過程。 若為寬平穩(wěn)，則也為寬平穩(wěn)，且與聯(lián)合平穩(wěn)。，平穩(wěn)過程解析過程的自相關函數為任何一個實平穩(wěn)過程都可以表示為：式中，對于窄帶隨機過程來說，是窄帶濾波器的中心頻率。，是另外兩個隨機過程。 假設是均值為0的實平穩(wěn)過程，都是實過程=0，=0，各自寬平穩(wěn)，且聯(lián)合平穩(wěn)=其中，在一給定的時刻，對和采樣，便可以得到隨機變量和，首先來推導的一維概率密度函數和，方法如下：已知： 相應的反變換為：若求出的二維概率密度，那就能求出的二維概率密度，并進一步通過邊緣概率密度推導出的一維概率密度函數，。，都是平穩(wěn)高斯過程，可以得到：都是高斯隨機變量。=0，=0，可以得到：都是均值為0的隨機變量。，可以得到由 可以得到：，所以不相關，對于正態(tài)隨機變量，不相關與統(tǒng)計獨立等價。所以：的二維概率密度： 可以由公式得到：其中

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