(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點復(fù)習(xí)講義第20講《任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)》（解析版）

1、第20講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)思維導(dǎo)圖知識梳理1角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形(2)分類eq blc(avs4alco1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.)(3)終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S|2k，kZ2弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式：角的弧度數(shù)公式|eq f(l,r)(l表示弧長)角度與弧度的換算1eq f(,180)rad；1 radeq blc(rc)(avs4al

2、co1(f(180,)弧長公式l|r扇形面積公式Seq f(1,2)lreq f(1,2)|r23.任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sin y，cos x，tan eq f(y,x)(x0)(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1，0)如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角的正弦線、余弦線和正切線題型歸納題型1 象限角及終邊相同的角【例1-1】（2020春延慶區(qū)期末）與角 SKIPIF 1 0 終邊相同的角為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SK

3、IPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】寫出與角 SKIPIF 1 0 終邊相同的角的集合，取 SKIPIF 1 0 值得答案【解答】解：與角 SKIPIF 1 0 終邊相同的角的集合為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，取 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 與角 SKIPIF 1 0 終邊相同的角是 SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【例1-2】（2020春浦東新區(qū)校級期中）已知 SKIPIF 1 0 是第二象限角，則 SKIPIF 1 0 是 SKIPI

4、F 1 0 SKIPIF 1 0 A銳角B第一象限角C第一、三象限角D第二、四象限角【分析】由 SKIPIF 1 0 是第二象限角對應(yīng)的范圍，即可求解結(jié)論【解答】解： SKIPIF 1 0 是第二象限角，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 是第一象限或第三象限角，故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2019秋東湖區(qū)校級期末） SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角

5、【分析】由 SKIPIF 1 0 ，知 SKIPIF 1 0 是第三象限角【解答】解： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 是第三象限角故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2019秋西昌市期末） SKIPIF 1 0 終邊在三象限，則 SKIPIF 1 0 的終邊可能在 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A一三象限B二四象限C一二象限或 SKIPIF 1 0 軸非負半軸D三四象限或 SKIPIF 1 0 軸非正半軸【分析】由題意得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，從而 SKIPIF 1 0 進而

6、SKIPIF 1 0 的終邊可能在一二象限或 SKIPIF 1 0 軸非負半軸【解答】解： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 終邊在三象限， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 的終邊可能在一二象限或 SKIPIF 1 0 軸非負半軸故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練1-3】（2020春楊浦區(qū)校級期末）下列角的終邊與 SKIPIF 1 0 的終邊在同一象限的是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF

7、 1 0 【分析】根據(jù)象限的范圍即可判斷【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 終邊相同的是 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 在第三象限， SKIPIF 1 0 的終邊在第三象限， SKIPIF 1 0 在第二象限， SKIPIF 1 0 在第一象限， SKIPIF 1 0 在第四象限， SKIPIF 1 0 在第三象限，故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練1-4】（2019秋赤峰期末）設(shè)終邊在 SKIPIF 1 0 軸的負半軸上的角的集合為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIP

8、IF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】找出 SKIPIF 1 0 內(nèi)終邊在 SKIPIF 1 0 軸的負半軸上的角，再寫出終邊在 SKIPIF 1 0 軸負半軸上的角的集合【解答】解：在 SKIPIF 1 0 內(nèi)，終邊在 SKIPIF 1 0 軸的負半軸上的角為 SKIPIF 1 0 ，所以終邊在 SKIPIF 1 0 軸的負半軸上的角可以表示為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【名師指導(dǎo)】(1)終邊在某直線上角的求法4步驟數(shù)形結(jié)合，在平面直角坐標系中畫出該直線；按逆時針方向?qū)懗?，2內(nèi)

9、的角；再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合；求并集化簡集合(2)判斷象限角的2種方法圖象法：在平面直角坐標系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角；轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k360(0360，kZ)的形式，即找出與已知角終邊相同的角，再由角終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角(3)確定k，eq f(,k)(kN*)的終邊位置3步驟用終邊相同角的形式表示出角的范圍；再寫出k或eq f(,k)的范圍；然后根據(jù)k的可能取值討論確定k或eq f(,k)的終邊所在的位置題型2 扇形的弧長及面積公式的應(yīng)用【例2-1】（2019春玉山縣校級月考）已知在半徑為6的圓 SKIPIF 1

10、 0 中，弦 SKIPIF 1 0 的長為6，（1）求弦 SKIPIF 1 0 所對圓心角 SKIPIF 1 0 的大??；（2）求 SKIPIF 1 0 所在的扇形的弧長 SKIPIF 1 0 以及扇形的面積 SKIPIF 1 0 【分析】（1）根據(jù)題意，分析可得 SKIPIF 1 0 為等邊三角形，即可得 SKIPIF 1 0 的值；（2）根據(jù)題意，由弧長公示以及扇形面積公式計算可得答案【解答】解：（1）根據(jù)題意，半徑為6的圓 SKIPIF 1 0 中，弦 SKIPIF 1 0 的長為6，則 SKIPIF 1 0 為等邊三角形，則 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，（2）根

11、據(jù)題意，由（1）的結(jié)論， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020春太原期末）已知扇形的半徑為1，圓心角為 SKIPIF 1 0 ，則該扇形的弧長為 【分析】根據(jù)弧長公式進行計算即可【解答】解：由題意得，扇形的半徑為 SKIPIF 1 0 ，圓心角為 SKIPIF 1 0 ，故此扇形的弧長為： SKIPIF 1 0 故答案為： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2020春徐匯區(qū)期末）已如扇形的圓心角為 SKIPIF 1 0 ，弧長為 SKIPIF 1 0 ，則扇形的面積為 【分析】根據(jù)弧長公式和扇形的面積公式計算即可【解答】解：扇形的圓心角為 SKI

12、PIF 1 0 ，弧長為 SKIPIF 1 0 ，根據(jù)弧長公式可得 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，根據(jù)扇形面積公式， SKIPIF 1 0 ，故答案為： SKIPIF 1 0 【名師指導(dǎo)】弧度制下有關(guān)弧長、扇形面積問題的解題策略(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形題型3 三角函數(shù)的定義及應(yīng)用【例3-1】（2020春麗水期末）已知角 SKIPIF 1 0 的終邊經(jīng)過點 SKIPIF 1 0 ，且 S

13、KIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，先計算 SKIPIF 1 0 ，再利用正弦函數(shù)的定義求出 SKIPIF 1 0 ，進而求解結(jié)論【解答】解：因為角 SKIPIF 1 0 的終邊經(jīng)過點 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 因為 SKIPIF 1 0 ，所以： SKIPIF 1 0 ；所以 SKIPIF 1 0 （正值舍）故 SKIPIF 1 0 ；故選： SKIPIF 1 0 【例3-2】（2020春興寧區(qū)校級期末

14、）角 SKIPIF 1 0 的頂點在坐標原點，始邊在 SKIPIF 1 0 軸正半軸上，且終邊過點 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得結(jié)果【解答】解： SKIPIF 1 0 角 SKIPIF 1 0 的頂點在坐標原點，始邊在 SKIPIF 1 0 軸正半軸上，且終邊過點 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，故選： SKIPIF 1 0 【例3-3】（2020春金華期末）若 SKIPIF 1 0

15、 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【分析】由三角函數(shù)值的符號判定是第幾象限角，通常記住口訣“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，應(yīng)用方便【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 可能是第二、或第三象限角，或 SKIPIF 1 0 負半軸角；又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 可能是第一、或第三象限角；綜上， SKIPIF 1 0 是第三象限角；故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020春河池期末）若 SKIPIF 1 0 角的終邊上有一點 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A2B4C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，特殊角的三角函數(shù)值，求出 SKIPIF 1 0 的值【解答】解： SKIPIF 1 0 角的終邊上有一點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則