大二下學(xué)期17屆材料力學(xué)

1、2第八章組合變形本章內(nèi)容:組合變形和疊加原理拉伸或壓縮與彎曲的組合偏心壓縮和截面扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合組合變形的普遍情況 8 .1組合變形與疊加原理1組合變形剪切扭轉(zhuǎn)彎曲基本變形拉伸、壓縮組合變形有兩種或兩種以上的基本變形同時(shí)發(fā)生。求解組合變形的方法將載荷分為幾組分別產(chǎn)生基本變形的載荷，然后應(yīng)用疊加原理。2疊加原理如果內(nèi)力、應(yīng)力、變形等與外力成線性關(guān)系，則復(fù)雜受力情況下組合變形構(gòu)件的內(nèi)力、應(yīng) 力、變形等可以由幾組產(chǎn)生基本變形的載荷 單獨(dú)作用下的內(nèi)力、應(yīng)力、變形等的疊加而 得到，且與各組載荷的加載次序無(wú)關(guān)。疊加原理成立的條件應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為線性關(guān)系，即滿足定律；變形是小變形，可以用原始尺寸原理。 下面的

2、，都假設(shè)用疊加原理的條件成立。5。 8 .2拉伸或壓縮與彎曲的組合例 1(書(shū)例9.1)已知：P = 8kN, AB為工字鋼，材料為A3鋼， = 100MPa。求: 工字鋼型號(hào)解：AB受力如圖這是組合變形問(wèn)題 壓彎組合。這是組合變形問(wèn)題壓彎組合。求約束反力取AB, 受力如圖 M A (F ) 0F 42 kN H 40 kN, V 12.8 kN內(nèi)力圖截面C 截面H 40 kN,V 12.8 kN內(nèi)力圖截面C 截面MC 12 kNm,N 40 kN設(shè)計(jì)截面的一般步驟先根據(jù)彎曲正應(yīng)力選擇工字鋼型號(hào)；再按組合變形的最大正應(yīng)力校核強(qiáng)度，必要時(shí)選擇大一號(hào)或大二號(hào)的工字鋼；若剪力較大時(shí)，還需校核剪切強(qiáng)度。

3、7MC 12 kNm,N 40 kN設(shè)計(jì)截面的一般步驟先按彎曲正應(yīng)力選擇工字鋼型號(hào)；再按組合變形的最大正應(yīng)力校核強(qiáng)度，必要時(shí)選擇大一號(hào)或大二號(hào)的工字鋼；若剪力較大時(shí)，還需校核剪切強(qiáng)度。按彎曲正應(yīng)力選擇工字鋼型號(hào) 120 cm3 W MC MC W選16號(hào)工字鋼W 141 cm3 ,A 26.13 cm28按最大正應(yīng)力校核強(qiáng)度按彎曲正應(yīng)力選擇工字鋼型號(hào) 120 cm3 MC W MCW選16號(hào)工字鋼W 141 cm3 ,A 26.13 cm2c maxN MCAW 100.5 MPa 可以使用9本題不需要校核剪切強(qiáng)度點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是按最大正應(yīng)力校核強(qiáng)度拉(壓)彎組合變形時(shí)，單向應(yīng)力狀態(tài)。例 2(書(shū)

4、例9.2)已知： 鑄鐵框架，t=30 MPa,c=160MPa。求：載荷P (kN)。解：這是組合變形問(wèn)題拉彎組合。幾何參數(shù)A 15103m2 ,zo 7.5 cm,I y 5310 cm4求內(nèi)力(作用于截面形心)幾何參數(shù)A 15103m2 ,zo 7.5 cm,各截面相同截面應(yīng)力分布I y 5310 cm4求內(nèi)力(作用于截面形心)取研究對(duì)象如圖N P kN,2M y 42.510P kNm12A15 N PMPaMy引起的應(yīng)力yI M y zot max 425 7.5P MPayIc max M y z1 53105310 42512.5P MPa截面應(yīng)力分布N引起的應(yīng)力各截面相同13yI

5、c max M y z1 5310 42512.5P MPa5310最大拉應(yīng)力t max tmaxP 425 7.5P MPa15最大壓應(yīng)力c max cmax155310P 42512.5PMPa14最大拉應(yīng)力最大壓應(yīng)力t maxP 425 7.5P MPa155310P 42512.5PMPa155310c max cmax由抗拉強(qiáng)度條件P 45.1 kNt max t 30 MPa由抗壓強(qiáng)度條件P 171.3 kN c max結(jié)論 c 160 MPaP 45.1 kN15 8 .3偏心壓縮和截面偏心壓縮設(shè)O為形心， y軸和z軸均為形心主慣性軸。力作用點(diǎn)A的坐標(biāo)：yp, zp .彎矩：Mz

6、 PypM y PzpA PI yI y Mz y Pyp yI zI z M y z Pzp z彎矩： Mz PypM y Pzp應(yīng)力坐標(biāo)為 y, z 的B點(diǎn)的應(yīng)力：17A P Mz y Pyp yI zI z M y z Pzp zI y慣性矩可表為： IyyzzI y Ai2 ,I Ai2zyi2i2A P (1 yp y zp z )中性軸位置設(shè)中性軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為 y0, z0。yzi2i2 P (1 yp y zp z )A中性軸位置設(shè)中性軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為 y0, z0。在上式中令為零，得：zi2i2A P (1 yp y0 zp z0 ) 0y 1zyi2i2yp y0 zp z

7、0中性軸方程1819 1 zp z0yp y0i2i2zy中性軸方程設(shè)中性軸在y軸和z軸上的截距為ay, az ，則有：pyyi2a z ,pyzzi2a 由上可知：壓力作用點(diǎn)與中性軸分別位于形心的兩側(cè)；中性軸將橫截面分為兩部分，一部分受壓，一部分受拉；由上可知：壓力作用點(diǎn)與中性軸分別位于形心的兩側(cè)；中性軸將橫截面分為兩部分，一部分受壓，一部分受拉；在截面的周邊上，切線與中性軸平行的點(diǎn)的應(yīng)力為極值。截面在土木工程中，對(duì)于受偏心壓縮的混凝土、大理石等柱子，要求在橫截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力。截面在土木工程中，對(duì)于受偏心壓縮的混凝土、大理石等柱子，要求在橫截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力。 使橫截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力的壓力

8、作用點(diǎn)的集合，稱(chēng)為截面。要使坐標(biāo)為r, s 的C點(diǎn)的應(yīng)力為零，則由 1zyi2i2yp y0 zp z0yypr zps 1i2i2使橫截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力的壓力作用點(diǎn)的集合，稱(chēng)為截面 。要使坐標(biāo)為r, s 的C點(diǎn)的應(yīng)力為零，則由z直線pq的方程23要使坐標(biāo)為r, s 的C點(diǎn)的應(yīng)力為零，則由 1zyi2i2yp y0 zp z0zyypr zps 1i2i2直線pq的方程當(dāng)壓力作用點(diǎn)在直線pq上移動(dòng)時(shí)，C點(diǎn)的應(yīng)力保持為零。截面中性軸通過(guò)C點(diǎn)，但方位不斷變化。的確定當(dāng)壓力作用點(diǎn)在直線pq上移動(dòng)時(shí)，C點(diǎn)的應(yīng)力保持為零。截面中性軸通過(guò)C點(diǎn)，但方位不斷變化。的確定設(shè)AE為中性軸中性軸的截距為ay, az

9、，由：pyyi2pyzzi2a z ,a a點(diǎn)坐標(biāo)yzaai2y ,zyaai2z 設(shè)AB為中性軸b點(diǎn)25截面的確定設(shè)AE為中性軸中性軸的截距為ay, az，由：pyyi2pyzzi2a z ,a a點(diǎn)坐標(biāo)yzaai2y ,zyaai2z 同理可確定c, d, e點(diǎn)。設(shè)AB為中性軸b點(diǎn)連線可得到截面。例 3(書(shū)例9.3) 已知： 矩形截面求：截面。解：對(duì)矩形截面設(shè)AB為中性軸2y6hayyi2b212z,i2h212a點(diǎn)坐標(biāo)AB直線的截距為： az h ,a a,z 026yaai2zyaai2由：y z ,z 272設(shè)AB為中性軸a點(diǎn)坐標(biāo)AB直線的截距為：yza h ,a 6haa由：,yz

10、aai2y zyaai2z 設(shè)BC為中性軸b點(diǎn)坐標(biāo):同理可確定 c, d點(diǎn)坐標(biāo)by,z 0za 6yb 0,連線得截面。28 8 .4扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合常見(jiàn)的彎扭組合變形的構(gòu)件主要有圓軸類(lèi)曲桿類(lèi)這里主要考慮圓形截面桿的彎扭組合變形。例子29例子30內(nèi)力圖如圖截面E截面E截面的內(nèi)力T P D2M Praby maxlMl Pabz max2E截面的內(nèi)力T P DM Praby maxlMl Pabz max對(duì)圓截面桿可將兩個(gè)方向的彎矩按z maxy maxM 2 M 2矢量。M對(duì)圓截面桿可將兩個(gè)方向的彎矩按z maxy maxM 2 M 2矢量。MT點(diǎn)的應(yīng)力彎曲正應(yīng)力扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力 Wt M彎曲切應(yīng)力

11、W一般可忽略T點(diǎn)的應(yīng)力扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力 彎曲正應(yīng)力Wt M彎曲切應(yīng)力W一般可忽略點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)相當(dāng)應(yīng)力 r 3 2 4 2 r 4 2 3 235 T WtW M相當(dāng)應(yīng)力 r 3 2 3 2 2 4 2 ,r 4用內(nèi)力表示的相當(dāng)應(yīng)力對(duì)圓截面桿 W D3 D332, Wt16Wt 2W r 3W2M T2 M2 W 4 2W T 2 1同樣可得Wr 4 0.75T 2M 21 r 3W2M T2 M2 W 4 2W T 2 1同樣可得Wr 4 0.75T 2M 21矩形截面桿的彎扭組合變形問(wèn)題兩個(gè)方向的彎矩不宜，可分別計(jì)算應(yīng)力。扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力按矩形截面扭轉(zhuǎn)公式計(jì)算。maxT hb2例 3(書(shū)例9.5)已知：

12、 傳動(dòng)軸,45號(hào)鋼，d=35mm,=85Mpa,輸入功率 N=2.2kW，n=966r/min。D=132mm，F(xiàn)+f = 600N。齒輪E的d1=50mm。求：校核軸的強(qiáng)度。解：求外力力偶矩m 9549 Nn 21.7 Nm皮帶張力2(F f ) D m又F f 600F 465 N,d1nP 925 N38齒輪作用力nP cos 202f 135 N m將各力向軸線簡(jiǎn)化39F 465 N,f 135 N齒輪作用力d m2Pn cos201Pn 925 N將各力向軸線簡(jiǎn)化P 870 N,Pr 316 N,Fx fxFy f y 542 N,畫(huà)出內(nèi)力圖m m, 257 N40將各力向軸線簡(jiǎn)化P

13、 870 N,Pr 316 N,m m,Fy fy 542N,Fx fx 257N畫(huà)出內(nèi)力圖截面B截面B截面內(nèi)力截面B截面B截面內(nèi)力T 21.7 N m,M M2 M 2yz 26.7 Nm強(qiáng)度校核按第三強(qiáng)度理論校核Wr 31M 2 T 2 3.18 MPa 安全4142例 3(書(shū)例9.6)已知: 曲軸, 碳鋼,各幾何尺寸已知。 P =32kN, F = 17kN,曲柄的慣性力C=3kN, 平衡重的慣性力C1=7kN,= 120 MPa 。求：校核曲軸的強(qiáng)度。解： 求外力解： 求外力R1 R2 20 kN,H1 H 2 8.5 kN,對(duì)主軸的扭矩m Fr 1020 Nm(1) 連桿軸頸的強(qiáng)度計(jì)

14、算截面計(jì)算內(nèi)力MyM z R1 L / 2 (C C1)l / 2 1170 N mM y H1 L / 2 553 NmMz QzQyT連桿軸頸的中點(diǎn)取左半部分44M z R1 L / 2 (C C1) l / 2 1170 N mM y H1 L / 2 553 NmzyM 2 M 2M 1290 NmT H1 r 510 Nm強(qiáng)度校核 按第四強(qiáng)度理論Wr 4M 2 0.75T 21zMyMQzQyT截面計(jì)算內(nèi)力連桿軸頸的中點(diǎn)取左半部分zyM 2M M 2 1290 NmT H1 r 510 Nm強(qiáng)度校核 按第四強(qiáng)度理論Wr 41M 2 0.75T 2 111 MPa zMyTMQzQy(

15、2) 主軸頸的強(qiáng)度計(jì)算截面 II-II截面計(jì)算內(nèi)力 取右段M z R2 a 440 NmM y H2 a 187 NmMyTMz QzQyz2yM R a 440 NmM 187 NmH a2zyM 2 M 2M 478 NmT m 1020 Nm強(qiáng)度校核按第四強(qiáng)度理論Wr 41M 2 0.75T 2 47.4 MPa 46(2) 主軸頸的強(qiáng)度計(jì)算截面 II-II截面計(jì)算內(nèi)力 取右段強(qiáng)度校核按第四強(qiáng)度理論Wr 41M 2 0.75T 2 47.4 MPa (3) 曲柄的強(qiáng)度計(jì)算截面III-III截面計(jì)算內(nèi)力取下半部分N R2 C1 13 kNM x m H2 d / 2 765 NmQzQx4

16、8計(jì)算內(nèi)力取下半部分N R2 C1 13 kNM x m H2 d / 2 765 NmM z R2 (a b / 2) 660 NmM y T H2 (a b / 2) 281 NmQz H2 8.5 kNQzQxQx 0六個(gè)內(nèi)力分量中，只有一個(gè)為零。49計(jì)算內(nèi)力N 13 kN,Mx 765 NmMz 660 NmM T 281 NmyQzQxQz 8.5 kN,Qx 0強(qiáng)度校核A點(diǎn)點(diǎn) A點(diǎn),B點(diǎn)。A單向應(yīng)力狀態(tài)xzbhWWN Mx Mz 106 MPa QzQx強(qiáng)度校核點(diǎn) A點(diǎn),B點(diǎn)。A點(diǎn)A單向應(yīng)力狀態(tài)xzbhWWN Mx Mz 106 MPa B點(diǎn)B平面應(yīng)力狀態(tài)zbhWN Mz 86 MPa扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力Tmax hb2B點(diǎn)B平面應(yīng)力狀態(tài)bhWN Mz 86 MPa扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力maxT hb2z系數(shù)根據(jù)比值h/b查表3.2(p.116)確定。本題中：h 102 mm,b 22 mm,h / b 4.64本題中：h 102 mm,b 22 mm,h / b 4.641 19.8 MPa52作線