彈簧類問題的幾種模型和處理方法

1、.彈簧類問題的幾種模型及其處理方法學(xué)生對彈簧類問題感到頭疼的主要原因有以下幾個(gè)方面：首先,由于彈簧不斷發(fā)生形變,導(dǎo)致物體的受力隨之不斷變化,加速度不斷變化,從而使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)過程較復(fù)雜。其次,這些復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過程中間所包含的隱含條件很難挖掘。還有,學(xué)生們很難找到這些復(fù)雜的物理過程所對應(yīng)的物理模型以及處理方法。根據(jù)近幾年高考的命題特點(diǎn)和知識的考查,筆者就彈簧類問題分為以下幾種類型進(jìn)行分析,供讀者參考。一、彈簧類命題突破要點(diǎn)1彈簧的彈力是一種由形變而決定大小和方向的力。當(dāng)題目中出現(xiàn)彈簧時(shí),首先要注意彈力的大小與方向時(shí)刻要與當(dāng)時(shí)的形變相對應(yīng),在題目中一般應(yīng)從彈簧的形變分析入手,先確定彈簧原長位

2、置、現(xiàn)長位置、平衡位置等,找出形變量x與物體空間位置變化的幾何關(guān)系,分析形變所對應(yīng)的彈力大小、方向,結(jié)合物體受其他力的情況來分析物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。2因軟質(zhì)彈簧的形變發(fā)生改變過程需要一段時(shí)間,在瞬間內(nèi)形變量可以認(rèn)為不變,因此,在分析瞬時(shí)變化時(shí),可以認(rèn)為彈力大小不變,即彈簧的彈力不突變。3在求彈簧的彈力做功時(shí),因該變力為線性變化,可以先求平均力,再用功的定義進(jìn)行計(jì)算,也可據(jù)動(dòng)能定理和功能關(guān)系：能量轉(zhuǎn)化和守恒定律求解。同時(shí)要注意彈力做功的特點(diǎn)：彈力做功等于彈性勢能增量的負(fù)值。彈性勢能的公式,高考不作定量要求,可作定性討論,因此在求彈力的功或彈性勢能的改變時(shí),一般以能量的轉(zhuǎn)化與守恒的角度來求解。二、彈簧類

3、問題的幾種模型1平衡類問題例1如圖1所示,勁度系數(shù)為k1的輕質(zhì)彈簧兩端分別與質(zhì)量為m1、m2的物塊拴接,勁度系數(shù)為k2的輕質(zhì)彈簧上端與物塊m2拴接,下端壓在桌面上不拴接,整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。現(xiàn)施力將m1緩慢豎直上提,直到下面那個(gè)彈簧的下端剛脫離桌面。在此過程中,m2的重力勢能增加了_,m1的重力勢能增加了_。分析：上提m1之前,兩物塊處于靜止的平衡狀態(tài),所以有：,其中,、分別是彈簧k1、k2的壓縮量。當(dāng)用力緩慢上提m1,使k2下端剛脫離桌面時(shí),彈簧k2最終恢復(fù)原長,其中,為此時(shí)彈簧k1的伸長量。答案：m2上升的高度為,增加的重力勢能為,m1上升的高度為,增加的重力勢能為。點(diǎn)評：此題是共點(diǎn)力的

4、平衡條件與胡克定律的綜合題,題中空間距離的變化,要通過彈簧形變量的計(jì)算求出。注意緩慢上提,說明整個(gè)系統(tǒng)處于動(dòng)態(tài)平衡過程。例2如上圖2所示,A物體重2N,B物體重4N,中間用彈簧連接,彈力大小為2N,此時(shí)吊A物體的繩的拉力為T,B對地的壓力為F,則T、F的數(shù)值可能是A7N,0 B4N,2N C1N,6N D0,6N分析：對于輕質(zhì)彈簧來說,既可處于拉伸狀態(tài),也可處于壓縮狀態(tài)。所以,此問題要分兩種情況進(jìn)行分析。1若彈簧處于壓縮狀態(tài),則通過對A、B受力分析可得：,2若彈簧處于拉伸狀態(tài),則通過對A、B受力分析可得：,答案：B、D。點(diǎn)評：此題主要針對彈簧既可以壓縮又可以拉伸的這一特點(diǎn),考查學(xué)生對問題進(jìn)行全

5、面分析的能力。有時(shí),表面上兩種情況都有可能,但必須經(jīng)過判斷,若某一種情況物體受力情況和物體所處狀態(tài)不符,必須排除。所以,對這類問題必須經(jīng)過受力分析結(jié)合物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之后作出判斷。平衡類問題總結(jié)：這類問題一般把受力分析、胡克定律、彈簧形變的特點(diǎn)綜合起來,考查學(xué)生對彈簧模型基本知識的掌握情況。只要學(xué)生靜力學(xué)基礎(chǔ)知識扎實(shí),學(xué)習(xí)習(xí)慣較好,這類問題一般都會(huì)迎刃而解,此類問題相對較簡單。2突變類問題例320XX上海如圖3所示,一質(zhì)量為m的小球系于長度分別為l1、l2的兩根細(xì)線上,l1的一端懸掛在天花板上,與豎直方向夾角為,l2水平拉直,小球處于平衡狀態(tài)。現(xiàn)將l2線剪斷,求剪斷瞬時(shí)小球的加速度。若將圖3中的細(xì)

6、線l1改為長度相同、質(zhì)量不計(jì)的輕彈簧,如圖4所示,其他條件不變,求剪斷細(xì)線l2瞬時(shí)小球的加速度。分析：1當(dāng)剪斷細(xì)線l2瞬間,不僅l2對小球拉力瞬間消失,l1的拉力也同時(shí)消失,此時(shí),小球只受重力作用,所以此時(shí)小球的加速度為重力加速度g。2當(dāng)把細(xì)線l1改為長度相同、質(zhì)量不計(jì)的輕彈簧時(shí),在當(dāng)剪斷細(xì)線l2瞬間,只有l(wèi)2對小球拉力瞬間消失,彈簧對小球的彈力和剪斷l(xiāng)2之前沒變化,因?yàn)閺椈苫謴?fù)形變需要一個(gè)過程。如圖5所示,剪斷l(xiāng)2瞬間,小球受重力G和彈簧彈力,所以有：,方向水平向右。點(diǎn)評：此題屬于細(xì)線和彈簧彈力變化特點(diǎn)的靜力學(xué)問題,學(xué)生不僅要對細(xì)線和彈簧彈力變化特點(diǎn)熟悉,還要對受力分析、力的平衡等相關(guān)知識熟

7、練應(yīng)用,此類問題才能得以解決。突變類問題總結(jié)：不可伸長的細(xì)線的彈力變化時(shí)間可以忽略不計(jì),因此可以稱為突變彈力,輕質(zhì)彈簧的彈力變化需要一定時(shí)間,彈力逐漸減小,稱為漸變彈力。所以,對于細(xì)線、彈簧類問題,當(dāng)外界情況發(fā)生變化時(shí)如撤力、變力、剪斷,要重新對物體的受力和運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分析,細(xì)線上的彈力可以突變,輕彈簧彈力不能突變,這是處理此類問題的關(guān)鍵。3碰撞型彈簧問題此類彈簧問題屬于彈簧類問題中相對比較簡單的一類,而其主要特點(diǎn)是與碰撞問題類似,但是,它與碰撞類問題的一個(gè)明顯差別就是它的作用過程相對較長,而碰撞類問題的作用時(shí)間極短。例4如圖6所示,物體B靜止在光滑的水平面上,B的左邊固定有輕質(zhì)的彈簧,與B質(zhì)

8、量相等的物體A以速度v向B運(yùn)動(dòng)并與彈簧發(fā)生碰撞,A、B始終沿統(tǒng)一直線,則A,B組成的系統(tǒng)動(dòng)能損失最大的時(shí)刻是AA開始運(yùn)動(dòng)時(shí) BA的速度等于v時(shí)CB的速度等于零時(shí) DA和B的速度相等時(shí)分析：解決這樣的問題,最好的方法就是能夠?qū)蓚€(gè)物體作用的過程細(xì)化,明確兩個(gè)物體在相互作用的過程中,其詳細(xì)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。具體分析如下：1彈簧的壓縮過程：A物體向B運(yùn)動(dòng),使得彈簧處于壓縮狀態(tài),壓縮的彈簧分別對A、B物體產(chǎn)生如右中圖的作用力,使A向右減速運(yùn)動(dòng),使B向右加速運(yùn)動(dòng)。由于在開始的時(shí)候,A的速度比B的大,故兩者之間的距離在減小,彈簧不斷壓縮,彈簧產(chǎn)生的彈力越來越大,直到某個(gè)瞬間兩個(gè)物體的速度相等,彈簧壓縮到最短。2

9、彈簧壓縮形變恢復(fù)過程：過了兩物體速度相等這個(gè)瞬間,由于彈簧仍然處于壓縮狀態(tài),A繼續(xù)減速,B繼續(xù)加速,這就會(huì)使得B的速度變的比A的速度大,于是A、B物體之間的距離開始變大,彈簧逐漸恢復(fù)形變直至原長。3彈簧的拉伸過程：由于B的速度比A的速度大,彈簧由原長變?yōu)槔鞝顟B(tài)。此時(shí),彈簧對兩物體的彈力方向向內(nèi),使A向右加速運(yùn)動(dòng),B向右減速運(yùn)動(dòng),直到A、B速度相等時(shí)彈簧拉伸到最長狀態(tài)。4彈簧拉伸形變恢復(fù)過程：過了兩物體速度相等這個(gè)瞬間,由于彈簧仍然處于拉伸狀態(tài),A繼續(xù)加速,B繼續(xù)減速,這就會(huì)使得A的速度變的比B的速度大,于是A、B物體之間的距離開始變小,彈簧逐漸恢復(fù)形變直至原長。就這樣,彈簧不斷地壓縮、拉伸、

10、恢復(fù)形變。當(dāng)外界用力壓彈簧時(shí),彈簧會(huì)被壓縮,從而獲得彈性勢能,當(dāng)彈簧開始恢復(fù)形變之后,它又會(huì)將所蓄積的彈性勢能釋放出去,這個(gè)蓄積和釋放的過程,彈簧自身并不會(huì)耗費(fèi)能量。能量在兩個(gè)物體和彈簧之間進(jìn)行傳遞。點(diǎn)評：在由兩個(gè)物體和彈簧組成的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)中,具有下面的特點(diǎn)：1兩個(gè)物體速度相等時(shí),彈簧處于形變量壓縮或拉伸最大的狀態(tài),彈簧的彈性勢能達(dá)到最大。2兩個(gè)物體不停地進(jìn)行著加速和減速運(yùn)動(dòng),但加速度時(shí)刻在變化,所以有關(guān)兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的問題不能采用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式來解決。但此模型屬于彈性碰撞模型,所以滿足包括彈簧在內(nèi)的系統(tǒng)動(dòng)量守恒和系統(tǒng)機(jī)械能守恒。4：機(jī)械能守恒型彈簧問題對于彈性勢能,高中階段并不需要定量計(jì)算,但是需

11、要定性的了解,即知道彈性勢能的大小與彈簧的形變之間存在直接的關(guān)系,對于相同的彈簧,形變量一樣的時(shí)候,彈性勢能就是一樣的,不管是壓縮狀態(tài)還是拉伸狀態(tài)。例5一勁度系數(shù)k=800N/m的輕質(zhì)彈簧兩端分別連接著質(zhì)量均為m=12kg的物體A、B,它們豎直靜止在水平面上,如圖7所示?，F(xiàn)將一豎直向上的變力F作用在A上,使A開始向上做勻加速運(yùn)動(dòng),經(jīng)0.40s物體B剛要離開地面。求：此過程中所加外力F的最大值和最小值。此過程中力F所做的功。設(shè)整個(gè)過程彈簧都在彈性限度內(nèi),取g=10m/s2分析：此題考查學(xué)生對A物體上升過程中詳細(xì)運(yùn)動(dòng)過程的理解。在力F剛剛作用在A上時(shí),A物體受到重力mg,彈簧向上的彈力T,豎直向上

12、的拉力F。隨著彈簧壓縮量逐漸減小,彈簧對A的向上的彈力逐漸減小,則F必須變大,以滿足F+T-mg=ma。當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時(shí),彈簧彈力消失,只有F-mg=ma；隨著A物體繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng),彈簧開始處于拉伸狀態(tài),則物體A的受到重力mg,彈簧向下的彈力T,豎直向上的拉力F,滿足F-T-mg=ma。隨著彈簧彈力的增大,拉力F也逐漸增大,以保持加速度不變。等到彈簧拉伸到足夠長,使得B物體恰好離開地面時(shí),彈簧彈力大小等于B物體的重力。答案：1開始時(shí),對于A物體：,得彈簧壓縮量是x=0.15mB剛要離開地面時(shí),對于B物體仍有：,得彈簧伸長量x=0.15m因此A向上運(yùn)動(dòng)的位移是0.3m,由公式：求得：加速度是3.7

13、5m/s2。所以：開始時(shí)刻F=ma=45N為拉力最小值；B剛要離開地面時(shí)F-mg-kx=ma,得F=285N為拉力最大值。2拉力做的功等于系統(tǒng)增加的機(jī)械能,始末狀態(tài)彈性勢能相同。所以由和,可得此過程中拉力做的功等于49.5J。點(diǎn)評：此類題的關(guān)鍵是要分析出最大值和最小值時(shí)刻的特點(diǎn),必須通過受力分析得出物體運(yùn)動(dòng)的詳細(xì)過程特征,只要把物體做每一種運(yùn)動(dòng)形式的力學(xué)原因搞清楚了,這類問題就會(huì)迎刃而解。所以,學(xué)生在平時(shí)的訓(xùn)練中,必須養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣,對于較復(fù)雜的物理過程,必須先分段研究,化一個(gè)復(fù)雜問題為若干個(gè)簡單模型,針對若干個(gè)簡單的物理情景,逐一分析出現(xiàn)這一物理情景的力學(xué)原因,當(dāng)把每一個(gè)物理情景都分析清

14、楚了,整個(gè)問題的答案就會(huì)水到渠成。例6如圖8所示,物體B和物體C用勁度系數(shù)為k的彈簧連接并豎直地靜置在水平面上。將一個(gè)物體A從物體B的正上方距離B的高度為H0處由靜止釋放,下落后與物體B碰撞,碰撞后A和B粘合在一起并立刻向下運(yùn)動(dòng),在以后的運(yùn)動(dòng)中A、B不再分離。已知物體A、B、C的質(zhì)量均為M,重力加速度為g,忽略物體自身的高度及空氣阻力。求：1A與B碰撞后瞬間的速度大小。2A和B一起運(yùn)動(dòng)達(dá)到最大速度時(shí),物體C對水平地面壓力為多大？3開始時(shí),物體A從距B多大的高度自由落下時(shí),在以后的運(yùn)動(dòng)中才能使物體C恰好離開地面？分析：過程分析法：第一階段：A自由落體；第二階段：A、B發(fā)生碰撞,作用時(shí)間極短,時(shí)間

15、忽略；第三階段：AB成為一體的瞬間,彈簧形變來不及發(fā)生改變,彈簧的彈力仍為mg,小于AB整體重力2mg,所以物體AB所受合力仍然為向下,物體仍然向下加速,做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)彈簧的彈力增大到正好為2mg時(shí),物體AB合力為0,物體繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)。第四階段：彈簧繼續(xù)被壓縮,壓縮量繼續(xù)增加,產(chǎn)生的彈力繼續(xù)增加,大于2mg,使得物體AB所受合力變?yōu)橄蛏?物體開始向下減速,直至彈簧壓縮到最短,AB物體停止運(yùn)動(dòng)。所以,當(dāng)物體AB所受合力為0時(shí)就是該物體速度最大的時(shí)候。答案：1A自由下落由機(jī)械能守恒得：,求得A與B碰撞,由于碰撞時(shí)間極短,由A、B組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒得：。所以求得A與B碰撞后瞬間的速度大小

16、2由前面分析知,A和B一起運(yùn)動(dòng)達(dá)到最大速度的時(shí)刻,即為物體AB受合力為0的時(shí)刻：對C受力分析知地面對C的支持力。所以物體C對水平地面壓力也為3mg。3設(shè)物體A從距離B為H的高度自由落下時(shí),在以后的運(yùn)動(dòng)中才能使物體C恰好離開地面。要使C恰好離開地面,意味著當(dāng)A上升到最高點(diǎn)時(shí)彈簧的彈力為mg,彈簧的伸長量為,A、B相碰結(jié)束時(shí)刻彈簧的壓縮量也為。所以,由A、B物體以及彈簧組成的系統(tǒng),從A、B相碰結(jié)束開始到A、B上升到最高點(diǎn)的過程中,系統(tǒng)機(jī)械能守恒,初狀態(tài)A、B的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為末狀態(tài)A、B的重力勢能,彈性勢能沒有變化。所以有：,求得：點(diǎn)評：高中階段的機(jī)械能守恒等式分為：守恒式、轉(zhuǎn)移式和轉(zhuǎn)化式三種,對于

17、任何研究對象,無論是單個(gè)物體還是系統(tǒng),都可以采用守恒式列等式,選好零勢能面,確定初、末狀態(tài)的機(jī)械能,此方法思路簡單,但等式復(fù)雜,運(yùn)算量較大。轉(zhuǎn)移式只能針對一個(gè)系統(tǒng),如兩個(gè)物體A、B組成的系統(tǒng),若A物體機(jī)械能減小,B物體的機(jī)械能一定增加,且變化量相等,A減小的機(jī)械能轉(zhuǎn)移到B上導(dǎo)致B物體機(jī)械能增加。轉(zhuǎn)化式體現(xiàn)了機(jī)械能守恒中機(jī)械能從一種形式轉(zhuǎn)化成另外一種形式,在轉(zhuǎn)化過程中總的機(jī)械能不變。即：,若物體或系統(tǒng)動(dòng)能增加了,勢能必然減小,且增加的動(dòng)能等于減小的勢能。此類模型是涉及彈簧在內(nèi)的系統(tǒng)機(jī)械能守恒,在這類模型中,一般涉及動(dòng)能、重力勢能和彈性勢能,列等式一般采用轉(zhuǎn)移式或轉(zhuǎn)化式。5簡諧運(yùn)動(dòng)型彈簧問題彈簧振

18、子是簡諧運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典模型,有一些彈簧問題,如果從簡諧運(yùn)動(dòng)的角度思考,利用簡諧運(yùn)動(dòng)的周期性和對稱性來處理,問題的難度將大大下降。例7如圖9所示,一根輕彈簧豎直直立在水平面上,下端固定。在彈簧正上方有一個(gè)物塊從高處自由下落到彈簧上端O,將彈簧壓縮。當(dāng)彈簧被壓縮了x0時(shí),物塊的速度減小到零。從物塊和彈簧接觸開始到物塊速度減小到零過程中,物塊的加速度大小a隨下降位移大小x變化的圖像,可能是下圖中的分析：我們知道物體所受的力為彈力和重力的合力,而彈力與形變量成正比,所以加速度與位移之間也應(yīng)該是線性關(guān)系,加速度與位移關(guān)系的圖像為直線。物體在最低點(diǎn)的加速度與重力加速度之間的大小關(guān)系應(yīng)該是本題的難點(diǎn),借助簡諧運(yùn)

19、動(dòng)的加速度對稱性來處理最方便。若物塊正好是原長處下落的,根據(jù)簡諧運(yùn)動(dòng)對稱性,可知最低點(diǎn)時(shí)所受的合力也是mg,方向向上,所以彈力為2mg,加速度為g?，F(xiàn)在,初始位置比原長處要高,這樣最低點(diǎn)的位置比上述情況要低,彈簧壓縮量也要大,產(chǎn)生的彈力必定大于2mg,加速度必定大于g。例8如圖10所示,一質(zhì)量為m的小球從彈簧的正上方H高處自由下落,接觸彈簧后將彈簧壓縮,在壓縮的全過程中忽略空氣阻力且在彈性限度內(nèi),以下說法正確的是A小球所受彈力的最大值一定大于2mgB小球的加速度的最大值一定大于2gC小球剛接觸彈簧上端時(shí)動(dòng)能最大D小球的加速度為零時(shí)重力勢能與彈性勢能之和最大解析：本題是一個(gè)典型的簡諧運(yùn)動(dòng)模型問題?？蓞⒖祭?分析即可。6綜合類彈簧問題例9質(zhì)量均為m的兩個(gè)矩形木塊A和B用輕彈簧相連接,彈簧的勁度系數(shù)為k,將它們豎直疊放在水平地面上,如圖13所示,另一質(zhì)量也是m的物體C,從距離A為H的高度自由下落,C與A相碰,相碰時(shí)間極短,碰后A、C不粘連,當(dāng)A、C一起回到最高點(diǎn)時(shí),地面對B的支持力恰好等于B的重力。若C從距離A為2H高處自由落下,在A、C一起上升到某一位置,C與A分離,C繼續(xù)上升,求：1C沒有與A相碰之前,彈簧的彈性勢能是多少？2C上升到最高點(diǎn)與A、C分離時(shí)的位置之間距離是多少？解：過程分析法1C由靜止下落H高度。即與A相撞前的速度為,則：,得出