人教A版新教材必修第一冊(cè)《2.2 第2課時(shí) 基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用》教案（定稿）

1、第2課時(shí)基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟練掌握基本不等式及變形的應(yīng)用.2.會(huì)用基本不等式解決生活中簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題.3.能夠運(yùn)用基本不等式解決幾何中的應(yīng)用問(wèn)題導(dǎo)語(yǔ)同學(xué)們，數(shù)學(xué)是和生活聯(lián)系非常緊密的學(xué)科，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，也是為了解決生活中的問(wèn)題，比如：“水立方”是2008年北京奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志性建筑之一，如圖為水立方平面設(shè)計(jì)圖，已知水立方地下部分為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)是大小相同的左、右兩個(gè)矩形框架，兩框架面積之和為18 000 m2，現(xiàn)地上部分要建在矩形ABCD上，已知兩框架與矩形ABCD空白的寬度為10 m，兩框架之間的中縫空白寬度為5 m，請(qǐng)問(wèn)作為設(shè)計(jì)師的你，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)矩形ABCD

2、，才能使水立方占地面積最??？要解決這個(gè)問(wèn)題，還得需要我們剛學(xué)習(xí)過(guò)的基本不等式哦，讓我們開始今天的探究之旅吧！一、基本不等式在生活中的應(yīng)用問(wèn)題利用基本不等式求最大(小)值時(shí)，應(yīng)注意哪些問(wèn)題？提示一正：x，y都得是正數(shù)；二定：積定和最小，和定積最大；三相等：檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件是否滿足實(shí)際需要例1(教材46頁(yè)例3改編)小明的爸爸要在家用圍欄做一個(gè)面積為16m2的矩形游樂園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，所用圍欄最省，并求所需圍欄的長(zhǎng)度解設(shè)矩形圍欄相鄰兩條邊長(zhǎng)分別為x m，y m，圍欄的長(zhǎng)度為2(xy)m.方法一由已知xy16，由eq f(xy,2)eq r(xy)，可知xy2eq r(xy)8，所以2(

3、xy)16，當(dāng)且僅當(dāng)xy4時(shí)，等號(hào)成立，因此，當(dāng)這個(gè)矩形游樂園是邊長(zhǎng)為4 m的正方形時(shí)，所用圍欄最省，所需圍欄的長(zhǎng)度為16 m.方法二由已知xy16，可知yeq f(16,x)，所以2(xy)2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(16,x)22eq r(xf(16,x)16.當(dāng)且僅當(dāng)xy4時(shí)，等號(hào)成立，因此，當(dāng)這個(gè)矩形游樂園是邊長(zhǎng)為4 m的正方形時(shí)，所用圍欄最省，所需圍欄的長(zhǎng)度為16 m.延伸探究如果小明的爸爸只有12 m長(zhǎng)的圍欄，如何設(shè)計(jì)，才能使游樂園的面積最大？解由已知得2(xy)12，故xy6，面積為xy，由eq r(xy)eq f(xy,2)eq f(6,2)3，可得xy9

4、，當(dāng)且僅當(dāng)xy3時(shí)，等號(hào)成立因此，當(dāng)游樂園為邊長(zhǎng)為3 m的正方形時(shí)，面積最大，最大面積為9 m2.反思感悟利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)理解題意設(shè)變量，并理解變量的實(shí)際意義；(2)構(gòu)造定值利用基本不等式求最值；(3)檢驗(yàn)檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件是否滿足題意；(4)結(jié)論跟蹤訓(xùn)練1要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器，已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，求該容器的最低總造價(jià)解設(shè)該長(zhǎng)方體容器底面的長(zhǎng)和寬分別為a m，b m，成本為y元，由于長(zhǎng)方體容器的容積為4 m3，高為1 m，所以底面面積Sab4，y20S102(ab)20(ab)80，由基本不等式可

5、得y20(ab)80202eq r(ab)80160(元)，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)，等號(hào)成立，因此，該容器的最低總造價(jià)為160元二、基本不等式在幾何中的應(yīng)用例2如圖所示，設(shè)矩形ABCD(ABBC)的周長(zhǎng)為24，把它沿AC翻折，翻折后AB交DC于點(diǎn)P，設(shè)ABx.(1)用x表示DP，并求出x的取值范圍；(2)求ADP面積的最大值及此時(shí)x的值解(1)矩形ABCD(ABBC)的周長(zhǎng)為24，ABx，ADeq f(24,2)x12x，ABBCAD，得x12x，6x12，在APC中，PACPCA，所以APPC，從而得DPPB，APABPBABDPxDP，在RtADP中，由勾股定理得(12x)2DP2(xDP)2，

6、DP12eq f(72,x)(6x12)(2)在RtADP中，SADPeq f(1,2)ADDPeq f(1,2)(12x)eq blc(rc)(avs4alco1(12f(72,x)108eq blc(rc)(avs4alco1(6xf(432,x)(6x12)6x0)，則由DCAM得eq f(ND,ND3)eq f(4,4x)，解得NDeq f(12,x)，矩形AMPN的面積為S(4x)eq blc(rc)(avs4alco1(3f(12,x)243xeq f(48,x)242eq r(3xf(48,x)48，當(dāng)且僅當(dāng)3xeq f(48,x)，即x4時(shí)等號(hào)成立當(dāng)BM4米時(shí)，矩形花壇AMPN

7、的面積最小1知識(shí)清單：(1)基本不等式在生活中的應(yīng)用(2)基本不等式在幾何中的應(yīng)用2方法歸納：配湊法3常見誤區(qū)：生活中的變量有它自身的意義，容易忽略變量的取值范圍1用一段長(zhǎng)為8 cm的鐵絲圍成一個(gè)矩形模型，則這個(gè)模型的最大面積為()A9 cm2 B16 cm2C4 cm2 D5 cm2答案C解析設(shè)矩形模型的長(zhǎng)和寬分別為x，y，則x0，y0，由題意可得2(xy)8，所以xy4，所以矩形模型的面積Sxyeq f(xy2,4)eq f(42,4)4，當(dāng)且僅當(dāng)xy2時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)矩形模型的長(zhǎng)和寬都為2 cm時(shí)，面積最大，為4 cm2.2港珠澳大橋通車后，經(jīng)常往來(lái)于珠、港、澳三地的劉先生采用自駕出

8、行劉先生在某段時(shí)間內(nèi)共加油兩次，期間燃油的價(jià)格有升也有降，現(xiàn)劉先生有兩種加油方案，第一種方案：每次均加30升的燃油；第二種方案：每次加200元的燃油，則下列說(shuō)法正確的是()A采用第一種方案劃算B采用第二種方案劃算C兩種方案一樣D無(wú)法確定答案B解析假設(shè)第一次的油價(jià)為m元/升，第二次的油價(jià)為n元/升第一種方案的均價(jià)為eq f(30m30n,60)eq f(mn,2)eq r(mn)；第二種方案的均價(jià)為eq f(400,f(200,m)f(200,n)eq f(2mn,mn)eq r(mn).所以無(wú)論油價(jià)如何變化，第二種方案都更劃算3某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，第一年產(chǎn)量為A，第二年的增長(zhǎng)率為a，第三年的增

9、長(zhǎng)率為b，這兩年的平均增長(zhǎng)率為x(a，b，x均大于零)，則()Axeq f(ab,2) Bxeq f(ab,2)Cxeq f(ab,2) Dxeq f(ab,2)答案B解析由題意得，A(1a)(1b)A(1x)2，則(1a)(1b)(1x)2，因?yàn)?1a)(1b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1a1b,2)2，所以1xeq f(2ab,2)1eq f(ab,2)，所以xeq f(ab,2)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)4. 在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，矩形花園面積的最大值為_答案400解析由題意設(shè)矩形花園的長(zhǎng)為x0，寬為y0，矩形花園的面積為xy，根

10、據(jù)題意作圖，如圖，因?yàn)榛▓@是矩形，則ADE與ABC相似，所以eq f(AF,AG)eq f(DE,BC)，又因?yàn)锳GBC40，所以AFDEx，F(xiàn)Gy，所以xy40，由基本不等式xy2eq r(xy)，得xy400，當(dāng)且僅當(dāng)xy20時(shí)，矩形花園面積最大，最大值為400.1. 三國(guó)時(shí)期趙爽在勾股方圓圖注中對(duì)勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為如圖所示，我們教材中利用該圖作為“_”的幾何解釋()A如果ab0，那么eq r(a)eq r(b)B如果ab0，那么a2b2C對(duì)任意正實(shí)數(shù)a和b，有a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立D對(duì)任意正實(shí)數(shù)a和b，有ab2eq r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立答案C解

11、析可將直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)度取作a，b，斜邊為c(c2a2b2)，則外圍的正方形的面積為c2，也就是a2b2，四個(gè)陰影面積之和剛好為2ab，對(duì)任意正實(shí)數(shù)a和b，有a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立2汽車上坡時(shí)的速度為a，原路返回時(shí)的速度為b，且0ab，則汽車全程的平均速度比a，b的平均值()A大 B小C相等 D不能確定答案B解析令單程為s，則上坡時(shí)間為t1eq f(s,a)，下坡時(shí)間為t2eq f(s,b)，平均速度為eq f(2s,t1t2)eq f(2s,f(s,a)f(s,b)eq f(2,f(1,a)f(1,b)eq r(ab)eq f(ab,2).3將一根鐵絲切割成三段做一個(gè)面

12、積為2 m2，形狀為直角三角形的框架，在下列四種長(zhǎng)度的鐵絲中，選用最合理(夠用且浪費(fèi)最少)的是()A6.5 m B6.8 mC7 m D7.2 m答案C解析設(shè)兩直角邊分別為a，b，直角三角形的框架的周長(zhǎng)為l，則eq f(1,2)ab2，ab4，labeq r(a2b2)2eq r(ab)eq r(2ab)42eq r(2)6.828(m)，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)等號(hào)成立故C既夠用，浪費(fèi)也最少4. 如圖所示，矩形ABCD的邊AB靠在墻PQ上，另外三邊是由籬笆圍成的若該矩形的面積為4，則圍成矩形ABCD所需要籬笆的()A最小長(zhǎng)度為8B最小長(zhǎng)度為4eq r(2)C最大長(zhǎng)度為8D最大長(zhǎng)度為4eq r(2)答

13、案B解析設(shè)BCa，CDb，因?yàn)榫匦蔚拿娣e為4，所以ab4，所以圍成矩形ABCD所需要的籬笆長(zhǎng)度為2ab2aeq f(4,a)2eq r(2af(4,a)4eq r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)2aeq f(4,a)，即aeq r(2)時(shí)，等號(hào)成立，即所需要籬笆的最小長(zhǎng)度為4eq r(2).5某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為900元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為eq f(x,4)天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A30件 B60件C80件 D100件答案B解析根據(jù)題意，生產(chǎn)x件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和是900 xe

14、q f(x,4)900eq f(1,4)x2，設(shè)平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和為y，則yeq f(900f(1,4)x2,x)eq f(900,x)eq f(x,4)(xN*)，由基本不等式，得eq f(900,x)eq f(x,4)2eq r(f(900,x)f(x,4)30，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(900,x)eq f(x,4)，即x60時(shí)，等號(hào)成立，即每批生產(chǎn)產(chǎn)品60件時(shí)，平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小6(多選)已知某出租車司機(jī)為升級(jí)服務(wù)水平，購(gòu)入了一輛豪華轎車投入運(yùn)營(yíng)，據(jù)之前的市場(chǎng)分析得出每輛車的營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)y(萬(wàn)元)與運(yùn)營(yíng)年數(shù)x的關(guān)系為yx212x25，則下列判斷

15、正確的是()A車輛運(yùn)營(yíng)年數(shù)越多，收入越高B車輛在第6年時(shí)，總收入最高C車輛在前5年的平均收入最高D車輛每年都能盈利答案BC解析由題意可知，yx212x25，是開口向下的二次函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)稱軸x6，故B正確；eq f(y,x)x12eq f(25,x)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(25,x)122eq r(25)122，當(dāng)且僅當(dāng)x5時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；當(dāng)x1時(shí)，y14，故D錯(cuò)誤7矩形的長(zhǎng)為a，寬為b，且面積為64，則矩形周長(zhǎng)的最小值為_答案32解析由題意，矩形中長(zhǎng)為a，寬為b，且面積為64，即ab64，所以矩形的周長(zhǎng)為2a2b2aeq f(128,a)2eq r(212

16、8)32，當(dāng)且僅當(dāng)a8時(shí)，等號(hào)成立，即矩形周長(zhǎng)的最小值為32.8. 如圖，有一張單欄的豎向張貼的海報(bào)，它的印刷面積為72 dm2(圖中陰影部分)，上、下空白各寬2 dm，左、右空白各寬1 dm，則四周空白部分面積的最小值是_ dm2.答案56解析設(shè)陰影部分的高為x dm，則寬為eq f(72,x) dm，四周空白部分的面積是y dm2.由題意，得y(x4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(72,x)2)7282eq blc(rc)(avs4alco1(xf(144,x)822eq r(xf(144,x)56(dm2)，當(dāng)且僅當(dāng)xeq f(144,x)，即x12時(shí)等號(hào)成立即四周空白部

17、分面積的最小值為56 dm2.9. 如圖，墻角線互相垂直，長(zhǎng)為a m的木棒AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在這兩墻角線上，如何放置木棒才能使圍成區(qū)域的面積最大？解設(shè)OAx m，OBy m，因?yàn)镺AOB，所以O(shè)A2OB2AB2，即x2y2a2，由基本不等式，得xyeq f(1,2)(x2y2)eq f(1,2)a2，當(dāng)且僅當(dāng)xyeq f(r(2),2)a時(shí)，等號(hào)成立，所以SAOBeq f(1,2)xyeq f(a2,4)，所以當(dāng)OAOBeq f(r(2),2)a m，即當(dāng)放置木棒使A，B到O點(diǎn)的距離相等時(shí)，木棒圍成區(qū)域的面積最大10為了增強(qiáng)生物實(shí)驗(yàn)課的趣味性，豐富生物實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容，我校計(jì)劃沿著圍墻(足夠長(zhǎng))劃

18、出一塊面積為100平方米的矩形區(qū)域ABCD修建一個(gè)羊駝養(yǎng)殖場(chǎng)，規(guī)定ABCD的每條邊長(zhǎng)均不超過(guò)20米如圖所示，矩形EFGH為羊駝養(yǎng)殖區(qū)，且點(diǎn)A，B，E，F(xiàn)四點(diǎn)共線，陰影部分為1米寬的鵝卵石小徑設(shè)ABx(單位：米)，養(yǎng)殖區(qū)域EFGH的面積為S(單位：平方米)(1)將S表示為x的函數(shù)，并寫出x的取值范圍；(2)當(dāng)AB為多長(zhǎng)時(shí)，S取得最大值？并求出此最大值解(1)因?yàn)锳Bx，所以ADeq f(100,x)，EFx2，F(xiàn)Geq f(100,x)1，所以S(x2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(100,x)1)102eq f(200,x)x，因?yàn)? x20,0eq f(100,x)20，解得

19、5x20，所以S102eq f(200,x)x，5x20.(2)S102eq f(200,x)x1022eq r(xf(200,x)10220eq r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x10eq r(2)時(shí)，等號(hào)成立，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意，即當(dāng)AB10eq r(2)米時(shí)，S取得最大值，最大值為(10220eq r(2)平方米11. 無(wú)字證明是指只用圖象而無(wú)需文字解釋就有不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于其不證自明的特性，這種證明方式被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅與條理，現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰RtABC中，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為斜邊上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)ADa，BDb，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為()A.eq f(a

20、b,2)eq r(ab)(a0，b0)B.eq f(2ab,ab)eq r(ab)(a0，b0)C.eq f(ab,2)eq r(f(a2b2,2)(a0，b0)Da2b22eq r(ab)(a0，b0)答案C解析由題意知，ABADBDab，COeq f(1,2)(ab)，ODOBDBeq f(1,2)(ab)beq f(1,2)(ab)，在RtOCD中，CD2OC2OD2eq f(ab2,4)eq f(ab2,4)eq f(a2b2,2)，因?yàn)镺CCD，所以eq f(ab,2)eq r(f(a2b2,2)(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)12中國(guó)南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三

21、邊長(zhǎng)求三角形面積的公式：設(shè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則三角形的面積S可由公式Seq r(ppapbpc)求得，其中p為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫秦九韶公式現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足a6，bc8，則此三角形面積的最大值為()A3eq r(7) B8 C4eq r(7) D9eq r(3)答案A解析由題意知，p7，Seq r(77a7b7c)eq r(77b7c)eq r(7)eq f(7b7c,2)3eq r(7)，當(dāng)且僅當(dāng)7b7c，即bc4時(shí)，等號(hào)成立，因此三角形面積的最大值為3eq r(7).13某商場(chǎng)對(duì)商品進(jìn)行兩次提價(jià)，現(xiàn)提出四種提價(jià)方案，提價(jià)幅度較大的一種是()A先提價(jià)

22、p%，后提價(jià)q%(pq)B先提價(jià)q%，后提價(jià)p%(pq)C分兩次提價(jià)eq f(pq,2)%(pq)D分兩次提價(jià)eq r(f(p2q2,2)%(pq)答案D解析設(shè)提價(jià)前的價(jià)格為1，由題意可知，A，B選項(xiàng)的兩次提價(jià)后的價(jià)格均為(1p%)(1q%)；C選項(xiàng)的提價(jià)后的價(jià)格為eq blc(rc)(avs4alco1(1f(pq,2)%)2，D選項(xiàng)的提價(jià)后的價(jià)格為eq blc(rc)(avs4alco1(1r(f(p2q2,2)%)2，又eq f(pq,2)eq r(f(p2q2,2)，(1p%)(1q%)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(pq,2)%)20)，右臂長(zhǎng)為b(b0)，則ab，再設(shè)先稱得黃金為x g，后稱得黃金為y g，則bx5a，ay5b，xeq f(5a,b)，yeq f(5b,a)，xyeq f(5a,b)eq f(