線性代數(shù)-第七版課件

1、線 性 代 數(shù)副教授：黃振耀 -線 性 代 數(shù)副教授：黃振耀 -課程簡(jiǎn)介 線性代數(shù)是理工類和經(jīng)管類高等院校學(xué)生必修的一門重要基礎(chǔ)理論課程，它的基本概念、理論和方法具有較強(qiáng)的邏輯性、抽象性和廣泛的實(shí)用性。通過該課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握該課程的基本理論和基本方法，且對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力、抽象思維能力的培養(yǎng)以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高也具有重要的作用。這些理論、方法和能力為一些后續(xù)課程的學(xué)習(xí)及在各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中進(jìn)行理論研究和實(shí)踐工作提供了必要的保證，因此該課程歷來受到各高等院校的高度重視。 根據(jù)成人的特點(diǎn)，在總結(jié)多年成人教育經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)下，對(duì)線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容作了認(rèn)真精選，敘述間明扼要，由潛入深、通俗易懂，力求體現(xiàn)

2、學(xué)科的系統(tǒng)性、科學(xué)性和實(shí)用性的要求。在本課程中主要講解行列式、矩陣和線性方程組這三個(gè)線性代數(shù)的基本內(nèi)容。 -課程簡(jiǎn)介 線性代數(shù)是理工類和經(jīng)管類高等院校學(xué)生必修主要內(nèi)容 第一章 行 列 式 第二章 矩 陣 第三章 線性方程組 -主要內(nèi)容 第一章 行 列 式 第一章行列式 行列式是學(xué)習(xí)線性代數(shù)的重要基礎(chǔ)知識(shí)。初等數(shù)學(xué)中曾講解二階、三階行列式的計(jì)算，以及用這工具來解二元、三元線性方程組。式，為此首先引入行列式的概念。 在本書研究多元線性方程組的解，以及研究矩陣性質(zhì)時(shí)也要用到行列 -第一章行列式 行列式是學(xué)習(xí)線性代數(shù)的重要基礎(chǔ)知識(shí)。初第一章行列式 第一節(jié) 行列式的概念 第二節(jié) 行列式的性質(zhì) 第三節(jié) 行

3、列式按行（列）展開 第四節(jié) 行列式的計(jì)算舉例 第五節(jié) 克萊姆法則主要內(nèi)容 -第一章行列式 第一節(jié) 行列式的概念第一節(jié)行列式的概念一、行列式的概念 為了更好掌握行列式的定義，我們采用數(shù)學(xué)歸納法的方法講解行列【定義 1.1】【例 1.1】 要指出在本課程中如遇絕對(duì)值我們將會(huì)作出特別的說明。 式的定義。一階行列式由一個(gè)數(shù)組成，記為 -第一節(jié)行列式的概念一、行列式的概念 為了更好第一節(jié)行列式的概念表示，且規(guī)定： 其中，元素 稱為行列式的第 行第 列的元素 ； 稱為元素 的代數(shù)余子式；而 是行列 【定義 1.2】二階行列式是由 個(gè)元素排成2行2列，用素 的余子式。式中劃去第 行和第 列元素，后所剩下的元

4、素組成的行列式，稱為元 -第一節(jié)行列式的概念表示，且規(guī)定： 其中，元素 第一節(jié)行列式的概念 則二階行列式 顯然在定義中， ，而 ； 這與中學(xué)里所學(xué)的對(duì)角交叉相乘之差所得結(jié)果一致。 -第一節(jié)行列式的概念 第一節(jié)行列式的概念 【例 1.2】求二階行列式 的值。 解或 -第一節(jié)行列式的概念 第一節(jié)行列式的概念 【定義 1.3】 三階行列式是由 個(gè)元素排成的3行3列，用 表示，且規(guī)定： 其中： -第一節(jié)行列式的概念 第一節(jié)行列式的概念 稱 為 的余子式，它是在三階行列式中劃去 所在的行及列后按原次序所成的二階行列式，稱 為 的代數(shù)余子式； 為 的代數(shù) 余子式。 一般地， 就是三階行列式中劃去 所在的第

5、 行和第 列剩下的元素按原次序構(gòu)成的二階行列式，稱為元素 的余子式。 稱為元素 的代數(shù)余子式。 -第一節(jié)行列式的概念 第一節(jié)行列式的概念 【例 1.3】解 由上面定義，因?yàn)?計(jì)算三階行列式 的值。 所以 -第一節(jié)行列式的概念 第一節(jié)行列式的概念 從上面三階行列式的定義可以看到：我們?cè)谟?jì)算三階行列式時(shí)，是用其第一行的元素乘它的代數(shù)余子式之和，而代數(shù)余子式又是由二階行列式構(gòu)成的。用這一思想，我們可以計(jì)算四階、五階等更高階的矩陣。下面給出行列式的一般定義?！径x 1.4】 當(dāng) 時(shí)， ，假設(shè)已定義了 階行列式， 階行列式是由 個(gè)元素排成行和列組成，記為： -第一節(jié)行列式的概念 第一節(jié)行列式的概念 且規(guī)

6、定其值為： 其中， 表示元素 的余子式，它是 中劃去 所在的第1行和第 列后剩下的元素按原來的次序構(gòu)成的 階行列式。 稱為 的代數(shù)余子式。 -第一節(jié)行列式的概念 第一節(jié)行列式的概念 【例 1.4】解計(jì)算四階行列式 從以上定義及例子可以看到， 階行列式由 個(gè)元素構(gòu)成，每個(gè)行列式都表示一個(gè)數(shù)值，且它等于第一行的元素分別乘以它的代數(shù)余子代數(shù)余子式再求和。 -第一節(jié)行列式的概念 第一節(jié)行列式的概念 我們也可以給出每個(gè)元素的余子式和代數(shù)余子式的一般定義。 【定義 1.5】 對(duì)于 階行列式 ， 列元素后，按原次序排列構(gòu)成的 階行列式。 稱為元素 的余子式， 稱為元素 的代數(shù) 余子式 。其中， 是 中劃去元

7、素 所在的行和 -第一節(jié)行列式的概念 我們也可以給出每個(gè)元素的余子第一節(jié)行列式的概念 【例 1.5】解求行列式 的元素 和 的代數(shù)余子式。所以 因?yàn)?的余子式 的余子式 的代數(shù)余子式 的余子式 -第一節(jié)行列式的概念 第二節(jié)行列式的性質(zhì) 在上一節(jié)行列式定義 中我們看到行列式的計(jì)算是由高階向低階逐階遞減過程，因此行列式的階數(shù)越高，計(jì)算越繁。下面的行列式性質(zhì)可以簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算。 -第二節(jié)行列式的性質(zhì) 在上一節(jié)行列式定義 中我們看第二節(jié)行列式的性質(zhì) 【定義 1.6】 交換行列式D的行與列所得的行列式，稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為 或 。 設(shè)則 【例 1.6】 若則 -第二節(jié)行列式的性質(zhì) 【定義 1.6】

8、 交換行列式第二節(jié)行列式的性質(zhì) 性質(zhì)1 轉(zhuǎn)置行列式的值等于原行列式的值，即 。 在例1.6中的二個(gè)行列式 的值相等，即 根據(jù)這一性質(zhì)， 階行列式的定義按第一行展開等于按第一列展開即：這一性質(zhì)也說明行列式的對(duì)于每行具有的性質(zhì)對(duì)每列也成立。 -第二節(jié)行列式的性質(zhì) 性質(zhì)1 轉(zhuǎn)置行列式的值等于原第二節(jié)行列式的性質(zhì) 性質(zhì)2 交換行列式的任意兩行（列）元素，行列式的值變號(hào)。 【例 1.7】交換以下行列式D的第一行和第三行，有 素（仍為D），即得 ，移項(xiàng)得 ，于是 。 為零。 特別地，當(dāng)行列式中有兩行（列）對(duì)應(yīng)元素都相同時(shí)，行列式的值 因假設(shè)D中的第 行和第 行對(duì)應(yīng)元素相同，交換第 行和第 行元 -第二節(jié)行

9、列式的性質(zhì) 性質(zhì)2 交換行列式的任意兩行 【例 1.8】 第二節(jié)行列式的性質(zhì) 以上性質(zhì)1和性質(zhì)2可以用數(shù)學(xué)歸納法證得，在這我們省略。 行列式（因?yàn)榈谝恍信c第三行相同） - 【例 1.8】 第二節(jié)行列式的性質(zhì) 以第二節(jié)行列式的性質(zhì) 性質(zhì)3 【例 1.9】行列式符號(hào)的外面。這一性質(zhì)可以由行列式的定義和性質(zhì)2得到。 這相當(dāng)于行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一個(gè)數(shù) ，行列式的值擴(kuò)大 倍。 -第二節(jié)行列式的性質(zhì) 性質(zhì)3 【例 1.第二節(jié)行列式的性質(zhì) 性質(zhì)4 行列式中兩行（列）對(duì)應(yīng)元素都成比例，行列式值為零。 與第 行相同，于是行列式的值為零。 設(shè)第

10、 行為第 行的 倍，由性質(zhì)3，將 行提出公因子 ，即得第 行 性質(zhì)5 若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，例如第 列的元素都是兩數(shù)之和： -第二節(jié)行列式的性質(zhì) 性質(zhì)4 行列式中兩行（列）對(duì)第二節(jié)行列式的性質(zhì)利用這一性質(zhì)：則 等于下列兩列行列式之和： -第二節(jié)行列式的性質(zhì)利用這一性質(zhì)：則 等于下列兩列行列第二節(jié)行列式的性質(zhì) 性質(zhì)6 應(yīng)元素上去，行列式值不變。即 把行列式某行（列）各元素的 倍加到另一行（列）的對(duì) 這一性質(zhì)由性質(zhì)3和性質(zhì)4直接得到。 利用這些性質(zhì)可以簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算。 另外我們用 表示第 行， 表示第 列。 表示交換第 行與第行， 表示第 行乘 倍； 表示把第 行乘 倍加到第

11、 行上去。 -第二節(jié)行列式的性質(zhì) 性質(zhì)6 應(yīng)元素上去，行列式值 【例 1.10】 第二節(jié)行列式的性質(zhì)解 利用行列式性質(zhì)計(jì)算行列式 下頁繼續(xù) - 【例 1.10】 第二節(jié)行列式的性質(zhì)解 利用行列第二節(jié)行列式的性質(zhì)然后按行列式定義，得： 熟練以后，這幾步也可以合并為： （這里也可用 ） -第二節(jié)行列式的性質(zhì)然后按行列式定義，得： 熟練以后，這幾步第三節(jié)行列式按行（列）展開 根據(jù)行列式定義，行列式的值等于第一行或第一列的元素乘以它的代數(shù)余子式之和。在本節(jié)中我們將這一結(jié)果加以推廣。 【定理1.1】 若 階行列式 中除 外，第 行（或 列）的其余元素都為零，那么 可按第 行（或 列）展開為 。 證明 設(shè)

12、第 行除 ，其余元素都為零。 -第三節(jié)行列式按行（列）展開 根據(jù)行列式定義，行第三節(jié)行列式按行（列）展開 現(xiàn)將第 行和第 行對(duì)換，再與第 行對(duì)換，經(jīng)過 次對(duì)換，含 的原第 行就換到第一行，行列式的值應(yīng)乘 ，類似經(jīng) 過 次列對(duì)換，可將含 的列變到第一列，即 因?yàn)樾滦辛惺街袆澣サ?行劃去第1列所成的余子式就是 中的（劃去原第 行和原第 列）。 -第三節(jié)行列式按行（列）展開 現(xiàn)將第 行和第 第三節(jié)行列式按行（列）展開 【定理1.2】（拉普拉斯展開） 的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 階行列式等于它的任意一行（列） 或 -第三節(jié)行列式按行（列）展開 【定理1.2】（拉普 證明 n階行列式等于它

13、的任意一行（列）第三節(jié)行列式按行（列）展開 - 證明 n階行列式等于它的任意一行（列）第三節(jié)第三節(jié)行列式按行（列）展開 【定理1.3】應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即行列式 的任意一行（列）各元素與另一行（列）的對(duì) 或 證明將 的第 行元素 換成 所成的新行列式的第 行與第 行相同；于是新的行列式值為零，另一方面，新行列式可按第 行展開，得： -第三節(jié)行列式按行（列）展開 【定理1.3】應(yīng)元素第三節(jié)行列式按行（列）展開 綜合定理1.2和定理1.3，得： 也就是行列式 的任意一行（列）各元素與這一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值；行列式 的任意一行（列）各元素與另一行（列

14、）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。 利用行列式性質(zhì)將某行（列）的元素盡可能化為零，然后展開，可簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算。 或 -第三節(jié)行列式按行（列）展開 綜合定理1.2和定理第三節(jié)行列式按行（列）展開 【例 1.11】 解1從第三列著手，再變出一個(gè)零元素。計(jì)算行列式 首先尋找含零個(gè)數(shù)最多的行或列。本題第3列含兩個(gè)零，于是 （按第3列展開得） （再按第3列展開得） 下頁繼續(xù) -第三節(jié)行列式按行（列）展開 【例 1.11】 第三節(jié)行列式按行（列）展開 解2是用第4行減第1行也可同時(shí)出現(xiàn)3個(gè)零，然后按第4行展開，既得： 本題也可以這樣解：第4行與第1行有三個(gè)對(duì)應(yīng)元素相同，于 -第三節(jié)行列式按行（列）

15、展開 解2是用第4行減第1第三節(jié)行列式按行（列）展開 【例 1.12】 解的系數(shù)。行列式 是關(guān)于 的一次多項(xiàng)式，求一次項(xiàng)由于行列式中 在其第二行，按第二行展開，可得： 可以看到，一次項(xiàng) 的系數(shù)就是 的代數(shù)余子式 -第三節(jié)行列式按行（列）展開 【例 1.12】 第三節(jié)行列式按行（列）展開 【例 1.13】計(jì)算行列式的值解 （按第4行展開得）（按第3列展開得） -第三節(jié)行列式按行（列）展開 【例 1.13】計(jì)算第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 本節(jié)主要對(duì)有某些特殊的行列式的計(jì)算進(jìn)行介紹。 我們把 階行列式 的從左上角到右下角含 的連線稱為主對(duì)角線。 -第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 本節(jié)主要對(duì)有某些特殊的行第四節(jié)行

16、列式的計(jì)算舉例一、對(duì)角行列式 其中，除主對(duì)角線上的元素 外，其余省略的元素皆為零。 顯然：即對(duì)角行列式的值等于主對(duì)角線上元素之積。 對(duì)角行列式等于零的充要條件為對(duì)角線上至少有一個(gè)元素為零。 -第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例一、對(duì)角行列式 其中，除主第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 【例 1.14】計(jì)算行列式 (沒寫出的元素皆為零)解 經(jīng)過 次列交換，可將最后一列換到第1列。 -第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 【例 1.14】計(jì)算行列式二、三角行列式 上三角行列式 第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 下三角行列式 -二、三角行列式 上三角行列式 第四節(jié)行列式的計(jì)算 很容易得出三角行列式的值仍等于主對(duì)角線元素的積。第四節(jié)行列式的計(jì)算舉

17、例 如行列式 就是一個(gè)上三角行列式，其值等于 。 - 很容易得出三角行列式的值仍等于主對(duì)角線元素的積。 一般行列式計(jì)算都可采用化為上（下）三角行列式來計(jì)算。 第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 【例 1.15】計(jì)算行列式解 因?yàn)槊啃懈髟刂拖嗟龋?），我們可以“統(tǒng)加”，即多次用 的性質(zhì)。本例可采用第2列加到第1列，第3列加到第1列，第4列加到第1列，得 - 一般行列式計(jì)算都可采用化為上（下）三角行列式來計(jì)第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 【例 1.16】解 從第2列起，每列加到第1列上，得解 階行列式（從第2行起每行減去第1行得） -第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 【例 1.16】解 第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 【例 1.

18、17】解 從第2行起，每行減去第1行，得 解 階行列式方程于是：解得： -第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 【例 1.17】解 從第2第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 【例 1.18】解 將各列加到第一列,得計(jì)算 階行列式 -第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 【例 1.18】解 第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 第1列提取公因子。從第2行起，每行減去第1行，得 -第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 第1列提取公因子。從第三、按行或列展開解 按第1列展開，得第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 有些行列式不易變成某行（列）只有一個(gè)非零元素，例如變成兩個(gè)非零元素，則行列式值等于這兩個(gè)元素與對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式積的和。 【例 1.19】計(jì)算 階行列式 -三、按行或列展開

19、解 按第1列展開，得第四節(jié)行列式的計(jì)四、采用遞推方式來解行列式 解 按最后一列展開，得 第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 【例 1.20】計(jì)算下列 階行列式同樣推理可得: 于是 -四、采用遞推方式來解行列式 解 按最后一列展開，得 第第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 【例 1.21】 計(jì)算下列 階行列式(沒寫出的元素皆為零)下頁繼續(xù) -第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 【例 1.21】 計(jì)算下列第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例解 按第1行展開，得 兩個(gè)行列式分別再按最后一行展開，得 同樣推理可得于是 -第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例解 按第1行展開，得 兩個(gè)行列第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 【例 1.22】解 從第一列提取公因子 ，然后把第1列加

20、到第2列，得計(jì)算 階行列式下頁繼續(xù) -第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 【例 1.22】解 第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例第二列提取公因子 后，按第1行展開，得 -第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例第二列提取公因子 五、范德蒙行列式 第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 行列式 稱為 階的范德蒙行列式 下面我們來計(jì)算此行列式的值 -五、范德蒙行列式 第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 行列式第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例解此題自下而上，即從第 行開始，后行減去前行的 倍。即得 分別按各列提取公因子，得： -第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例解此題自下而上，即從第 行開始同理可推得第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例其中， 符號(hào)表示統(tǒng)乘，即各 之間用乘號(hào)鏈接。 可以看到：范德蒙行列式

21、為零的充分必要條件為 中至少有 兩個(gè)相等。 -同理可推得第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例其中， 符號(hào)表示統(tǒng)乘 【例 1.23】第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例計(jì)算行列式解 - 【例 1.23】第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例計(jì)算行列式解第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 【例 1.24】求證：證明等式左邊各行分別乘 ：（提 因子）（三次列對(duì)換） -第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 【例 1.24】求證：證明綜合以上例題，行列式的計(jì)算可以按以下步驟來進(jìn)行： 首先盡量尋找行與列的公因子, 將其提到行列式外面.如果發(fā)現(xiàn)行列第四節(jié)行列式的計(jì)算舉例 然后利用性質(zhì)總能將行列式變換成上三角或者下三角行列式, 再計(jì) 或者利用性質(zhì)將行列式的某行(某列)變換成只有

22、一個(gè)元素不為0, 其式有兩行或者兩列成比例, 則行列式的值為0。算其對(duì)角線上的乘積。 其余元素均為0, 然后再按那行(列)展開, 降階成低階的行列式。 -綜合以上例題，行列式的計(jì)算可以按以下步驟來進(jìn)行： 首第五節(jié)克萊姆法則一、用行列式表示二元及三元線性方程組的解 二元線性方程組 用二階行列式可表示為 ， 若 ，可用消元法解得 -第五節(jié)克萊姆法則一、用行列式表示二元及三元線性方程組的解 其中： 為二元線性方程組中未知數(shù) 的系數(shù)構(gòu)成第五節(jié)克萊姆法則 的行列式； 為用常數(shù)項(xiàng)代替 中的第一列； 為用常數(shù)項(xiàng)代替 中的第二列。 -其中： 為二 【例 1.4】解二元線性方程組 第五節(jié)克萊姆法則解 可用二階行

23、列式得 - 【例 1.4】解二元線性方程組 第五節(jié)克萊姆法第五節(jié)克萊姆法則對(duì)于三元線性方程組 同樣可以由消元法得到; 當(dāng) 時(shí)， 其中： -第五節(jié)克萊姆法則對(duì)于三元線性方程組 第五節(jié)克萊姆法則用三階行列式表示以上的 ，可以得到： 當(dāng) 時(shí)，有 其中： -第五節(jié)克萊姆法則用三階行列式表示以上的 【例 1.5】第五節(jié)克萊姆法則解線性方程組 解故 - 【例 1.5】第五節(jié)克萊姆法則解線性方程組 解 【定理 1.4】 （克萊姆法則） 第五節(jié)克萊姆法則如果 元并非齊次線性方程組 （1） 的系數(shù)行列式 ，則方程組有唯一解，且 其中， 是將 中的第 列用常數(shù)列替換而成的行列式。 二、克萊姆法則 以上用行列式解線

24、性方程組可以推廣為n元線性方程組情形。 - 【定理 1.4】 （克萊姆法則） 第五節(jié)克萊姆 【例 1.25】第五節(jié)克萊姆法則解 解線性方程組 故 - 【例 1.25】第五節(jié)克萊姆法則解 解線性方程第五節(jié)克萊姆法則 線性方程組（1）中等式右端常數(shù)均為零時(shí)，稱為n元齊次線性方程組，也稱為n元非齊次線性方程組（1）導(dǎo)出組。即n元齊次線性方程組 （2） 由克萊姆法則，若系數(shù)行列式 ，則n元齊次線性方程組（2）只有零解：要方程組有非零解（即至少有某個(gè) ），必須有 。 關(guān)于解線性方程組的問題，我們?cè)诘谌逻€要祥細(xì)介紹。 -第五節(jié)克萊姆法則 線性方程組（1）中等式右端常數(shù) 【例 1.26】第五節(jié)克萊姆法則解

25、 由于非齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)矩陣的行列式為零，即 設(shè)線性方程組 有非零解，求 的值。 - 【例 1.26】第五節(jié)克萊姆法則解 由于第二章矩陣 矩陣是應(yīng)用非常廣泛的數(shù)學(xué)工具，也是線性代數(shù)的主要研究對(duì)象之一。運(yùn)用矩陣的運(yùn)算法則，會(huì)用伴隨矩陣法求逆矩陣，熟練掌握矩陣的初等行變換，以及運(yùn)用初等行變換法求逆矩陣。 通過本章學(xué)習(xí)，要求掌握矩陣及其各種特殊類型矩陣的定義，熟練 -第二章矩陣 矩陣是應(yīng)用非常廣泛的數(shù)學(xué)工具，也是線性代 第三節(jié) 逆矩陣第二章矩陣第一節(jié) 矩陣的概念 第二節(jié) 矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì) 第四節(jié) 分塊矩陣及其運(yùn)算 第五節(jié) 矩陣的初等變換 第六節(jié) 初等方陣主要內(nèi)容 - 第三節(jié) 逆矩陣

26、第二章矩陣第一節(jié) 第一節(jié)矩陣的概念一、矩陣的定義 矩陣作為一種常用的數(shù)學(xué)工具，能夠簡(jiǎn)潔地貯存信息，通過矩陣運(yùn)【例 2.1】算，可以方便地處理信息，下面通過實(shí)際例子引入矩陣的概念。某超市公司的第I、II兩部門都銷售甲、乙、丙三種小包裝食品，其某一天的銷售量（單位：包）可由下表表示： -第一節(jié)矩陣的概念一、矩陣的定義 矩陣作為一種常用的數(shù)第一節(jié)矩陣的概念 如果我們每一天都做這樣的統(tǒng)計(jì)，就沒必要像上表那樣繁瑣，只要把以上數(shù)字按一定的排列次序記成如下數(shù)表形式： -第一節(jié)矩陣的概念 如果我們每一天都做這樣的統(tǒng)計(jì)，就沒第一節(jié)矩陣的概念簡(jiǎn)潔地表示出來。無論是在數(shù)值求解還是理論推導(dǎo)方面，此數(shù)表足以清【例 2.

27、2】晰表示這一線性方程組。對(duì)于線性方程組 我們可以用下面的數(shù)表 -第一節(jié)矩陣的概念簡(jiǎn)潔地表示出來。無論是在數(shù)值求解還是理論推 一般由大寫字母A,B,C表示矩陣。 由上兩例可以看到，在我們生命活動(dòng)中的許多方面，都可以用數(shù)表第一節(jié)矩陣的概念 1矩陣定義來表達(dá)一些量以及量與量之間的關(guān)系。這類數(shù)表，我們統(tǒng)稱為矩陣。 【定義 2.1】 由 個(gè)數(shù) 排成的 行 列的矩形數(shù)組 （2.1） 稱為一個(gè)m行n列矩陣，簡(jiǎn)稱mn的矩陣， 稱為此矩陣的第 行第列的元素 。 矩陣（2.1）也可簡(jiǎn)化為： - 一般由大寫字母A,B,C表示矩陣。 由上兩例可即第一節(jié)矩陣的概念【例 2.3】是一個(gè)三行四列矩陣，位于矩陣第二行第三列

28、位置的元素是9，而 -即第一節(jié)矩陣的概念【例 2.3】是一個(gè)三行四列矩陣，位于第一節(jié)矩陣的概念 2矩陣相等 另外，行數(shù)或列數(shù)不同的矩陣也不是相等的。 若 都是 矩陣，且對(duì)應(yīng)位置的元素分別相等，即 ， 則稱矩陣A與B相等，記為： 例如，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，矩陣 又如： -第一節(jié)矩陣的概念 2矩陣相等 另外，行數(shù)或列第一節(jié)矩陣的概念 3 階方陣 當(dāng)矩陣的行數(shù) 與列數(shù) 相等，即 時(shí)，矩陣 稱為階矩陣或 階方陣，如矩陣 是一個(gè)二階方陣。 階方陣 與 階行列式是不能混淆的兩個(gè)概念，行列式的值是 在一個(gè)階方陣 中，從左上角到右下角的對(duì)角線連線，稱為主對(duì)角線。元素 都在主對(duì)角線上，稱為主對(duì)角線元素。一個(gè)數(shù)，而矩陣

29、僅是數(shù)表。 -第一節(jié)矩陣的概念 3 階方陣 當(dāng)矩陣的行數(shù)第一節(jié)矩陣的概念二、幾種特殊矩陣的介紹 1.行矩陣和列矩陣 只有一行元素構(gòu)成的矩陣 稱為行矩陣。 只有一列元素構(gòu)成的矩陣 稱為列矩陣。 2.零矩陣 時(shí)，也記為 ，或 。 行列數(shù)不同的零矩陣是不相等的，如 元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記作 。當(dāng)零矩陣的行列數(shù)是 -第一節(jié)矩陣的概念二、幾種特殊矩陣的介紹 1.行矩陣和列第一節(jié)矩陣的概念 4上（下）三角陣 如一個(gè)方陣的主對(duì)角線下（上）方的所有元素均為零，則稱該方陣為上（下）三角矩陣。 如 ， 是上三角陣。 而 是下三角陣。 -第一節(jié)矩陣的概念 4上（下）三角陣 如一個(gè)方陣的第一節(jié)矩陣的概念 5對(duì)

30、角陣、單位矩陣 如一個(gè)方陣除主對(duì)角線以外的元素均為零，則稱這個(gè)方陣為對(duì)角矩陣。即有時(shí)可簡(jiǎn)單記為： 記 為或 ，在不致混淆時(shí)，也可簡(jiǎn)記為 或 ，如： 特別地，主對(duì)角線元素全為1的 階對(duì)角矩陣，稱為 階單位矩陣， -第一節(jié)矩陣的概念 5對(duì)角陣、單位矩陣 如一個(gè)方第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)一、矩陣的線性運(yùn)算 1矩陣的加法【定義2.2】 設(shè) 和 都是 的矩陣 則以A與B相對(duì)應(yīng)的元素之和 為元素的 矩陣 -第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)一、矩陣的線性運(yùn)算 1矩陣的加法第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)稱為矩陣 與 的和，記作A+B，或 ，用矩陣形式表示即為 。 -第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)稱為矩陣 與 的和，記作A+B【例

31、2.4】 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)設(shè)即由 ， 對(duì)應(yīng)元素之差構(gòu)成的矩陣。 他們才能進(jìn)行相加和相減；否則，他們的加法和減法將是無意義的。 類似于加法的定義，我們規(guī)定矩陣 與 的減法（即差） 應(yīng)注意的是，只有當(dāng)兩個(gè)矩陣的行數(shù)對(duì)應(yīng)相同、列數(shù)對(duì)應(yīng)相同時(shí)，則 -【例2.4】 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)設(shè)即由 ， 對(duì)應(yīng)元【定義2.3】 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)數(shù) 與矩陣 的數(shù)乘記為 ，規(guī)定其為： 且當(dāng) 時(shí)： 稱為矩陣 的負(fù)矩陣，記為列式的聯(lián)系將在以后介紹。 數(shù)乘矩陣與數(shù)乘行列式有著本質(zhì)上的差異，而數(shù)乘方陣及與它的行即將矩陣 中的每個(gè)元素?cái)U(kuò)大 倍2矩陣的數(shù)乘 -【定義2.3】 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)數(shù) 與矩陣

32、 【例2.5】 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)則設(shè) -【例2.5】 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)則設(shè) -第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì) 3矩陣線性運(yùn)算的性質(zhì) 我們不難證明矩陣的加法和數(shù)乘滿足以下運(yùn)算規(guī)律（設(shè)都是 矩陣， 為實(shí)數(shù)）： (1)加法交換律 (2)加法結(jié)合律 (3) (4) (5)數(shù)乘分配律 (6)數(shù)乘交換律 -第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì) 3矩陣線性運(yùn)算的性質(zhì) 【例2.6】 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)解設(shè) 求 -【例2.6】 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)解設(shè) 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)二、矩陣乘法 1定義【定義2.4】 設(shè) 是一個(gè) 行 列矩陣， 是一個(gè) 行 列的矩陣，即 則由元素構(gòu)成的 矩陣 稱為矩陣 與 的乘

33、積，記作 。 -第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)二、矩陣乘法 1定義【定義2.4第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì) 定義顯示，一個(gè) 矩陣 與一個(gè) 矩陣 的乘積 是一個(gè) 矩陣， 的第 行 列元素 等于 的第 行元素與 的第 列元元素的對(duì)應(yīng)乘積之和。 要使乘積 有意義，當(dāng)且僅當(dāng)左矩陣（即乘積項(xiàng)中的第一個(gè)矩陣） 的列數(shù)等于右矩陣（即乘積項(xiàng)中的第二個(gè)矩陣） 的行數(shù)才成立。 -第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì) 定義顯示，一個(gè) 矩【例2.7】 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)設(shè) 求矩陣乘積的矩陣。由定義： 解 因?yàn)?是二行二列的矩陣， 是二行三列的矩陣，由于左矩陣 的列數(shù)等于右矩陣 的列數(shù)，故 有意義，且 是一個(gè)二行三列（23） -【例2

34、.7】 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)設(shè) 【例2.8】 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)是一階的矩陣。 乘積【例2.9】 -【例2.8】 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)是一階的矩陣。 乘積 2線性方程組的矩陣形式 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì) 對(duì)于包含 個(gè)方程 個(gè)未知量的線性方程組 其 個(gè)方程左端的系數(shù)可以構(gòu)成矩陣 ， 稱為方程組（2.2）（2.2） 的系數(shù)矩陣，未知量可構(gòu)成列矩陣 ，其 個(gè)方程右端的常數(shù)項(xiàng)可構(gòu)成列矩陣 ，即 - 2線性方程組的矩陣形式 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì) 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)由于于是，線性方程組（2.2）可以用矩陣形式表示為 -第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)由于于是，線性方程組（2.2）可以 3

35、性質(zhì)（假設(shè)涉及的乘積形式都是有意義的）：第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì) (1)乘法的結(jié)合律 (3)乘法的分配律 (4) （其中， 為 階單位矩陣， 為 階單位矩陣） (5) (2)數(shù)乘的結(jié)合律 , （其中 為常數(shù)） - 3性質(zhì)（假設(shè)涉及的乘積形式都是有意義的）：第二節(jié)矩陣的 4注意：矩陣的乘法與數(shù)字之間的乘法有許多不同之處。第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì) 從例2.10中看到，在矩陣的乘積中，矩陣的位置不能隨意交換。 【例2.10】 設(shè)矩陣 求 與 。 解 - 4注意：矩陣的乘法與數(shù)字之間的乘法有許多不同之處。第二節(jié)第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì) 關(guān)于矩陣的乘法，除了要求乘積有意義外，還要注意下列幾點(diǎn)： （1）矩

36、陣的乘法不滿足交換律，即一般地：（2）兩個(gè)非零矩陣相乘，結(jié)果可能是零矩陣，如在例2.10中然而 。因此，命題“若矩陣乘積 ，則 或 ”不真。 （3）矩陣乘法不滿足消去律，即由 不斷推斷出 ，即使是在 。 如在例2.9中，我們求得了 ，但 卻是沒有意義的； 而例如2.10，顯然 。 （如果矩陣 與 滿足 ，則稱 乘 是可交換的。） 從而，用一個(gè)矩陣去乘另一個(gè)矩陣，有左乘和右乘之說。 時(shí)，這是因?yàn)閮H由 即由 ，不能得出 或 -第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì) 關(guān)于矩陣的乘法，除了要求乘積有意第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)三、方陣的冪 1定義【定義2.5】 設(shè) 是 階方陣， 是自然數(shù)， 個(gè) 連乘的積稱為方陣 的

37、次冪，記作 。 2性質(zhì) 根據(jù)矩陣乘法性質(zhì)，我們可以得到方陣的冪滿足一下規(guī)律： （1） （2）其中 是自然數(shù)。 但要注意的是，一般說來：（這可由矩陣乘法不滿足交換律直接推出。） -第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)三、方陣的冪 1定義【定義2.【例2.11】 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)設(shè)矩陣求：(1) ; (2) ; (3) ; (4)解或（1） （2） （3） （4） -【例2.11】 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)設(shè)矩陣求：(1) 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)四、矩陣的轉(zhuǎn)置與對(duì)稱矩陣 1轉(zhuǎn)置矩陣 【定義2.6】 把 矩陣 的行列元素對(duì)換，所得到的 矩陣，稱為 的轉(zhuǎn)置矩陣，記為 或 。 如果設(shè)矩陣 則【例2.12】

38、 設(shè)則 -第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)四、矩陣的轉(zhuǎn)置與對(duì)稱矩陣 1轉(zhuǎn)第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì) (1) (2) (4) (3) （ 為常數(shù)） 可以驗(yàn)證，矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算具有以下性質(zhì)（假定運(yùn)算都是有意義的）： 與轉(zhuǎn)置行列式不同，矩陣A與轉(zhuǎn)置矩陣 不一定相等。 -第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì) (1) (2) (4) (3) 【例2.13】 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)解法1：所以設(shè) 求先求出 ，再轉(zhuǎn)置。 -【例2.13】 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)解法1：所以設(shè) 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)解法2：所以利用性質(zhì)(4): ，先分別求出 與 ，再計(jì)算 。 因?yàn)?-第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)解法2：所以利用性質(zhì)(4): 3.對(duì)

39、稱矩陣第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)都是對(duì)稱矩陣?！径x2.7】 設(shè) 是 階方陣，并且滿足 則稱 為對(duì)稱矩陣。 從以上定義，可以看到對(duì)稱矩陣一定是方陣，且即關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱元素都對(duì)應(yīng)相等，例如 - 3.對(duì)稱矩陣第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)都是對(duì)稱矩陣?！径x第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì) 由以上定義我們不難證得以下結(jié)論：如果 是同階對(duì)稱矩陣， 是常數(shù)，則 也都是對(duì)稱矩陣；但要注意的是， 不一定是對(duì)稱陣。 例如 都是對(duì)稱矩陣， 但 不是對(duì)稱矩陣。 -第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì) 由以上定義我們不難證得第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)五、方陣的行列式及伴隨矩陣 1方陣的行列式 【定義2.8】 設(shè) 階方陣 由 構(gòu)成的行列式 稱

40、為方陣A的行列式，記作 。 -第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)五、方陣的行列式及伴隨矩陣 1第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì) 應(yīng)該指出，只有方陣才有行列式。且我們利用行列式的相應(yīng)性質(zhì)與 例如，矩陣 的行列式結(jié)論可以得出方陣的行列式應(yīng)滿足以下性質(zhì)： (1) (2) (3)（n為A的階數(shù)） -第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì) 應(yīng)該指出，只有方陣才有 2方陣的伴隨矩陣第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)【定義2.9】 設(shè) 是一個(gè) 階方陣，由其行列式 中元素 的代數(shù)余 子式 所構(gòu)成的方陣 稱為方陣 的伴隨矩陣。 - 2方陣的伴隨矩陣第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)【定義2.9】【例2.14】 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)解所以設(shè)矩陣 求 的伴隨矩陣

41、 。 的代數(shù)余子式 ； 的代數(shù)余子式 的代數(shù)余子式 ； 的代數(shù)余子式 -【例2.14】 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)解所以設(shè)矩陣 第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)同理 一般地，由第一章第三節(jié)的定理1.2和定理1.3，可推得以下定理： 容易驗(yàn)證，在例2.14中： 而 【定理2.1】 若 為 階方陣 的伴隨矩陣，則 從定理的結(jié)論中可以看到，方陣 與其伴隨矩陣 是滿足乘法交換 律的。 -第二節(jié)矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)同理 一般地，由第一章第三節(jié) 在第二節(jié)中，我們介紹了矩陣的加法、減法和乘法。那么，是否矩第三節(jié)逆矩陣陣也存在“除法”運(yùn)算呢？ 我們首先來考察一下數(shù)的除法。設(shè) 是兩個(gè)數(shù)，且 ，則 ，從而除法問題可轉(zhuǎn)化為求

42、的倒數(shù) 問題。當(dāng)然倒數(shù)應(yīng)該滿足： 。 另外，對(duì)于方陣，都有 因此，從乘法的角度看， 階單位陣 在矩陣中的地位類似于數(shù)1的地位。 - 在第二節(jié)中，我們介紹了矩陣的加法、減法和乘法。那么，矩陣只限于方陣，下面我們給出逆矩陣的確切定義。 第三節(jié)逆矩陣 要滿足： 從上面的討論中，我們對(duì)矩陣的“除法”討論可轉(zhuǎn)化為求 ，當(dāng)然 由矩陣的乘法規(guī)則，滿足上式的矩陣 只有方陣，從而本節(jié)討論的 -矩陣只限于方陣，下面我們給出逆矩陣的確切定義。 第三節(jié)逆矩一、逆矩陣的定義 第三節(jié)逆矩陣【定義2.10】 則稱方陣 是可逆矩陣，稱 是 的逆矩陣，記作 。設(shè) 是 階方陣，若存在 階方陣 ，使得 矩陣就是它自身。 單位矩陣

43、都是可逆的，且 ，因 ,即單位矩陣的逆 階零矩陣 是不可逆矩陣，因?yàn)閷?duì)任一個(gè) 階方陣 ，都有 -一、逆矩陣的定義 第三節(jié)逆矩陣【定義2.10】 則稱方陣 二、逆矩陣的存在性 第三節(jié)逆矩陣【定理2.2】 所以若方陣 可逆，則 。 證明由定理2.10，對(duì)可逆陣 ，必存在 ，使得： 即 從而 -二、逆矩陣的存在性 第三節(jié)逆矩陣【定理2.2】 所以若方【定理2.3】 第三節(jié)逆矩陣 證明由定理2.1， ，而因 ，所以若 ，則方陣 可逆，且 ，其中 是 的伴隨矩陣。根據(jù)定義2.10， 可逆，且 的逆矩陣 。 有時(shí)我們將 的方陣 ，稱為非奇異方陣，稱 的方陣 為奇異方陣。 。 定理2.2、定理2.3給出：方

44、陣 可逆的充分必要條件是 的行列式 -【定理2.3】 第三節(jié)逆矩陣 證明由定理2.1， 所以第三節(jié)逆矩陣就舉例予以說明。又因?yàn)槿绻?，試求矩陣 的逆矩陣。 定理2.3也確切給出了求可逆方陣 的逆矩陣 的一種方法。下面【例2.15】 解因?yàn)?，則 是可逆的。 -所以第三節(jié)逆矩陣就舉例予以說明。又因?yàn)槿绻?又因?yàn)榇鷶?shù)余子式：【例2.16】 第三節(jié)逆矩陣 解因?yàn)樵O(shè) 問是否可逆？若可逆，試求出其逆矩陣 所以 是可逆的。于是有 所以 -又因?yàn)榇鷶?shù)余子式：【例2.16】 第三節(jié)逆矩陣 解因?yàn)樵O(shè) 又由例2.16求得： 【例2.17】 第三節(jié)逆矩陣 解所以 因?yàn)?，則 存在。在式 兩端同乘 ，得試解矩陣方程

45、，其中 -又由例2.16求得： 【例2.17】 第三節(jié)逆矩陣 解所以【例2.18】 第三節(jié)逆矩陣 解下頁繼續(xù) 利用逆矩陣求下列方程組的解 設(shè)所給方程組的系數(shù)矩陣為 ，未知量矩陣為 ，常數(shù)項(xiàng)矩陣為 ，即于是，線性方程組可以寫成矩陣方程： 因?yàn)樗?存在，在上式 兩邊同乘 ，得： -【例2.18】 第三節(jié)逆矩陣 解下頁繼續(xù) 利用逆矩陣求又因?yàn)榈谌?jié)逆矩陣所以則即原方程組的解為： -又因?yàn)榈谌?jié)逆矩陣所以則即原方程組的解為： -與未知量個(gè)數(shù)相同，即系數(shù)矩陣是方陣，且該方陣是可逆時(shí)，才能用逆矩陣法去求線性方程組的解。計(jì)算逆矩陣相當(dāng)繁瑣，所以在以后的有關(guān)章節(jié)中，還將介紹其它求逆矩陣的方法。 第三節(jié)逆矩陣

46、 需要注意的是： 另外，在計(jì)算過程中，我們看到當(dāng)矩陣的階數(shù)較高時(shí)，用此種方法 因只有方陣才有逆矩陣，所以，只有當(dāng)一個(gè)線性方程組中方程個(gè)數(shù) -與未知量個(gè)數(shù)相同，即系數(shù)矩陣是方陣，且該方陣是可逆時(shí)，才能用 證明如果 都是 的逆矩陣，只要證 與 相等即可。 1若 可逆，則 的逆矩陣 是唯一的。 所以三、逆矩陣性質(zhì)： 第三節(jié)逆矩陣 及則 的逆矩陣 是唯一的。 由定義可得： - 證明如果 都是 的逆矩陣，只要證 與 相等即 性質(zhì)2、性質(zhì)3、性質(zhì)4作為習(xí)題請(qǐng)同學(xué)們自己驗(yàn)證。 第三節(jié)逆矩陣 4若 可逆，則 也可逆，且 3若 可逆， 為非零常數(shù)，則 也可逆，且 2若 可逆，則 也是可逆的，且 。 - 性質(zhì)2、

47、性質(zhì)3、性質(zhì)4作為習(xí)題請(qǐng)同學(xué)們自己驗(yàn)證。 第第三節(jié)逆矩陣因?yàn)橐韵戮托再|(zhì)（1）、（4）予以證明。所以 可逆，且 。 證明只需證 即可。 5若 為同階可逆方陣，則 也可逆，且 6 -第三節(jié)逆矩陣因?yàn)橐韵戮托再|(zhì)（1）、（4）予以證明。所以 第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算一、分塊矩陣的定義 若矩陣 的階數(shù)比較高，在運(yùn)算時(shí)，我們經(jīng)常進(jìn)行矩陣的分塊工若干塊小矩陣稱為矩陣的子塊，以子塊為元素的矩陣 就稱為分塊矩陣。 作，將大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算。 把 用一些橫線和縱線分成 -第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算一、分塊矩陣的定義 若矩陣 第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算 若設(shè)則該分法的分塊矩陣可簡(jiǎn)記為： 例如：對(duì)于矩陣 的一種分塊形

48、式（I）： 即 是以子塊 為元素的分塊矩陣。 -第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算 若設(shè)則該分法的分塊矩陣可簡(jiǎn)記第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算或形式（III）等，關(guān)鍵是根據(jù)構(gòu)成矩陣的元素特征以及相應(yīng)運(yùn)算的實(shí)際需要來分塊，同一個(gè)矩陣的分塊形式可以有多種，例如，上述 也可分成形式（II）： 并能簡(jiǎn)化運(yùn)算。 -第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算或形式（III）等，關(guān)鍵是根據(jù)構(gòu)成矩第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算二、分塊矩陣的運(yùn)算 分塊矩陣的運(yùn)算形式上與普通矩陣的運(yùn)算類似，但其各種運(yùn)算對(duì)分塊法有各自不同的限定。 -第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算二、分塊矩陣的運(yùn)算 分塊矩陣1. 分塊陣的加減法相同，且分塊以后， 對(duì)應(yīng)位置的子塊階數(shù)也分別相同，則 與 相

49、加 如果 ， 都是 階矩陣，并且分塊形式相同，即大矩陣的階數(shù)減就是將對(duì)應(yīng)的子塊相加減。 設(shè)第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算 則 -1. 分塊陣的加減法相同，且分塊以后， 對(duì)應(yīng)位置的子塊2. 分塊矩陣與數(shù)的乘法 第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算 設(shè) 為任意實(shí)數(shù)， 為以上的分塊矩陣，則 -2. 分塊矩陣與數(shù)的乘法 第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算 3. 分塊矩陣的乘法 第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算即乘積 均有意義， 設(shè) 為 矩陣， 為 矩陣，即 乘法有意義，且 分別分塊成其中， 的列數(shù)分別等于的 行數(shù)， 則 其中，子塊 -3. 分塊矩陣的乘法 第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算即乘積 【例2.19】 第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算 則設(shè) 求 解將 分成

50、塊 下頁繼續(xù) -【例2.19】 第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算 則設(shè) 其中第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算 所以 - 其中第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算 所以 -4. 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置 設(shè)第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算 則 -4. 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置 設(shè)第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算 第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算三、特殊的分塊矩陣 1. 分塊對(duì)角陣的定義 其中 都是方陣，稱為分塊對(duì)角陣或準(zhǔn)對(duì)角矩陣。 形如 的分塊矩陣， 分塊對(duì)角陣是一個(gè)方陣，且 的分塊矩陣中僅在主對(duì)角線上有非零子塊，這些子塊又都是方陣，而其余子塊都為零矩陣。 -第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算三、特殊的分塊矩陣 1. 分塊對(duì)角2. 分塊對(duì)角陣的性質(zhì) 第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算 則有 設(shè) 是同階

51、方陣，且分塊方式相同，又都是分塊對(duì)角陣： （1） （2） -2. 分塊對(duì)角陣的性質(zhì) 第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算 則第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算 即相同結(jié)構(gòu)的分塊對(duì)角陣的和、積仍是分塊對(duì)角矩陣。 （4） 可逆的充要條件為 都可逆，且有 （3） -第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算 即相同結(jié)構(gòu)的分塊對(duì)角陣的【例2.20】 第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算 解下頁繼續(xù) 因?yàn)?，則 都可逆，且將 分成塊 設(shè) 求 -【例2.20】 第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算 解下頁繼續(xù) 因 所以第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算 - 所以第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算 -對(duì)于其它特殊的分塊矩陣，我們也可以相應(yīng)得到一些結(jié)論：如 第四節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算 -對(duì)于其它特殊的分塊矩陣

52、，我們也可以相應(yīng)得到一些結(jié)論：如 第四第五節(jié)矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換的定義【定義2.11】 下列三種變換稱為矩陣的初等行變換： （1）互換矩陣某兩行的對(duì)應(yīng)元素。以下用 表示矩陣的第 列，用表示其第 行，如互換第 與第 行，則記為 。 （2）以非零常數(shù)乘 矩陣某一行元素。如第 行的元素乘 ，記為 （3）把矩陣中某一行元素的 倍加到另一行相應(yīng)元素上去。如把第行的 倍加到第 行上去，記為 。 將上列定義中的“行”、“ ”分別以“列”、“ ”代之，即為矩陣的初等列變換定義與記號(hào)。 矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。 -第五節(jié)矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換的定義【定義2.11第

53、五節(jié)矩陣的初等變換 一般來說，一個(gè)矩陣經(jīng)過初等變換后，變成了另一個(gè)不同的矩陣。當(dāng)矩陣 經(jīng)過初等變換變成矩陣 時(shí)，記作 。有時(shí)，為了便于檢驗(yàn)運(yùn)算過程，往往用記號(hào)注明所作的變換。 例如，將矩陣 的第一行與第三行作交換，有 -第五節(jié)矩陣的初等變換 一般來說，一個(gè)矩陣經(jīng)過初等第五節(jié)矩陣的初等變換又如表示將三階單位矩陣的第1列元素的5倍加到第3列相應(yīng)元素上去。 -第五節(jié)矩陣的初等變換又如表示將三階單位矩陣的第1列元素的5第五節(jié)矩陣的初等變換二、行階梯形矩陣的定義 如果在一個(gè)矩陣中，任一行的第一個(gè)非零元素所在的列中，在該非零元素下方的元素皆為零，則稱此矩陣為行階梯形矩陣。 行階梯形矩陣的特征為：元素全為零

54、的行（如果存在的話）在矩陣的最下方，而各個(gè)非零行（即元素不全為零的行）中的第一個(gè)非零元素的列標(biāo)隨著行標(biāo)的遞增而嚴(yán)格增大。 -第五節(jié)矩陣的初等變換二、行階梯形矩陣的定義 如果在 例如，以下矩陣 第五節(jié)矩陣的初等變換都是行階梯形矩陣，輔助虛線形象地顯示了它們各自的階梯形狀。 矩陣個(gè)非零元素的列標(biāo)相同。不是行階梯形矩陣，因?yàn)槠涞诙?、三行的第?又矩陣 也不是行階梯形矩陣。 - 例如，以下矩陣 第五節(jié)矩陣的初等變換都是行階梯形矩 但是，這兩個(gè)矩陣通過初等行變換都可化為行階梯形矩陣，即 第五節(jié)矩陣的初等變換 一般地我們有結(jié)論；任何一個(gè)非零矩陣都可經(jīng)過有限次的初等行變換化簡(jiǎn)為行階梯形矩陣。 - 但是，這兩

55、個(gè)矩陣通過初等行變換都可化為行階梯形矩陣，【例2.21】 解第五節(jié)矩陣的初等變換將矩陣 化為行階梯形矩陣。 -【例2.21】 解第五節(jié)矩陣的初等變換將矩陣 第五節(jié)矩陣的初等變換三、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 1 行最簡(jiǎn)形矩陣：矩陣是行階梯形的，而且各個(gè)非零行的第1個(gè)元素都是1，又這個(gè)元素所在列的其他元素都是零。【例2.22】 分別將下列矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣 解（1） （2） （3）（1） -第五節(jié)矩陣的初等變換三、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 1 行最簡(jiǎn)形矩陣：第五節(jié)矩陣的初等變換（2）（3） -第五節(jié)矩陣的初等變換（2）（3） -第五節(jié)矩陣的初等變換2. 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 上面我們介紹了一個(gè) 階非零矩陣 經(jīng)過初等行變換，可以

56、化為行階梯形即行最簡(jiǎn)形矩陣。事實(shí)上，對(duì)行最簡(jiǎn)形矩陣（不妨設(shè)其恰有 行非零行），還可以作初等列變換，使之進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為如下 階最簡(jiǎn)形式的矩陣 ： -第五節(jié)矩陣的初等變換2. 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 上面我們介 我們將這類矩陣 稱為矩陣 的標(biāo)準(zhǔn)形。 第五節(jié)矩陣的初等變換其標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是唯一的。 任何一個(gè)矩陣經(jīng)過有限次的初等變換都可以化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 ，且 - 我們將這類矩陣 稱為矩陣 的標(biāo)準(zhǔn)形。 第五節(jié)矩【例2.23】 求例2.22中矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。 第五節(jié)矩陣的初等變換 解 所以矩陣 的標(biāo)準(zhǔn)形為以上的 （1）（2） 即 的行最簡(jiǎn)形就是 的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 -【例2.23】 求例2.22中矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。 第五節(jié)矩陣的第五

57、節(jié)矩陣的初等變換（3） 即 就是矩陣 的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣。 需要指出的是，將矩陣通過初等行變換化為行階梯形矩陣，以及通過初等變換化為其標(biāo)準(zhǔn)形矩陣，是一種極其重要的方法，它的實(shí)用性將在下節(jié)方陣求逆以及下一章解線性方程組、向量組的秩中得以體現(xiàn)。 -第五節(jié)矩陣的初等變換（3） 即 就是矩陣 【定義2.12】 第五節(jié)矩陣的初等變換四、矩陣的等價(jià) （3）傳遞性: 如 與 等價(jià)， 與 等價(jià)，則 與 一定是等價(jià)的。 （1）反身性: 任何矩陣 與自身等價(jià)； 任何一個(gè) 階矩陣 都與其標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 等價(jià)。 的初等變換得到，則稱矩陣 與 是等價(jià)的。 設(shè) 都是 矩陣，如果矩陣 可以由 經(jīng)過有限次 那么，從上面的討論中，我們實(shí)

58、際上可以得到以下定理： 【定理2.4】 且由定義2.12，我們立即可以得出矩陣等價(jià)的以下三個(gè)性質(zhì)： （2）對(duì)稱性： 如 與 等價(jià)，則 與 也是等價(jià)的。 -【定義2.12】 第五節(jié)矩陣的初等變換四、矩陣的等價(jià) 第六節(jié)初等方陣一、初等矩陣的定義【定義2.13】 由于初等變換有三種，而每種初等變換都有一個(gè)與其相應(yīng)的初等方等方陣。陣，從而以下三類矩陣揭示了初等方陣的所有形式。由單位矩陣 經(jīng)過一次初等變換得到的方陣，稱為初 -第六節(jié)初等方陣一、初等矩陣的定義【定義2.13】 到的都是初等矩陣，我們記為 ，即 （1）互換單位矩陣 的第 行與第 行（或第 列與第 列），得第六節(jié)初等方陣 -到的都是初等矩陣，

59、我們記為 ，即 （1）互換【例2.24】 第六節(jié)初等方陣是一個(gè)由 交換第1行與第3行得到的初等方陣。 -【例2.24】 第六節(jié)初等方陣是一個(gè)由 交換第1行與第3第六節(jié)初等方陣等方陣，記為 ，即 （2）用非零常數(shù) 乘單位矩陣 的第 行（或列），得到的都是初【例2.25】 是一個(gè)由 交換第1行與第3行得到的初等方陣。 -第六節(jié)初等方陣等方陣，記為 ，即 （2）第六節(jié)初等方陣【例2.26】 是將 的第1行的7倍加到第3行上去得到的一個(gè)初等方陣。 列上去）得到的是初等方陣，記為 ，即 （3）把的第 行的 倍加到第 行上去（或把第 列的 倍加到第 -第六節(jié)初等方陣【例2.26】 是將 的第1行的7倍加到

60、 1. 初等方陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍是初等方陣； 第六節(jié)初等方陣二、初等方陣的性質(zhì) 因?yàn)槿惓醯确疥嚨男辛惺剑?2. 初等方陣是可逆的； 所以初等方陣是可逆的。 3. 初等方陣的逆矩陣仍是初等方陣。事實(shí)上，這三類初等方陣的逆矩陣分別是： - 1. 初等方陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍是初等方陣； 第六節(jié)初等方陣二【例2.27】 第六節(jié)初等方陣(3)(2)(1) -【例2.27】 第六節(jié)初等方陣(3)(2)(1) - 1. 定理 第六節(jié)初等方陣三、用矩陣的初等行變換求逆矩陣 方陣與初等變換之間的關(guān)系。因此給出下面的定理： 為了導(dǎo)出用矩陣的初等行變換求逆矩陣的方法，我們必須討論初等【定理2.5】 相當(dāng)于在 的左邊乘上一個(gè)