2022高考理數(shù)復(fù)習(xí)資料講義：第2章 函數(shù)概念與基礎(chǔ)初等函數(shù) 第9講

1、PAGE19第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用考綱解讀1了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，掌握求解函數(shù)應(yīng)用題的步驟重點(diǎn)2了解函數(shù)模型及擬合函數(shù)模型；在同一坐標(biāo)系中能對(duì)不同函數(shù)的圖象進(jìn)行比較3建立函數(shù)模型如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的，要正確地確定實(shí)際背景下的定義域，將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題難點(diǎn)考向預(yù)測(cè)從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考中的一個(gè)冷考點(diǎn)預(yù)測(cè)2022年高考將主要考查現(xiàn)實(shí)生活中的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)、工程建設(shè)、企業(yè)的贏利與虧損等熱點(diǎn)問(wèn)題中的增長(zhǎng)或減少問(wèn)題，以一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)及對(duì)勾函數(shù)模型為主，考查考生建模能力和分析解決問(wèn)題的能力1七類常見(jiàn)函數(shù)模型函數(shù)模

2、型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型faba，b為常數(shù)，a0反比例函數(shù)模型feqf,b，b為常數(shù)且0二次函數(shù)模型fa2bca，b，c為常數(shù)，a0指數(shù)函數(shù)模型fbaca，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1對(duì)數(shù)函數(shù)模型fblogaca，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1冪函數(shù)模型fanba，b為常數(shù)，a0“對(duì)勾”函數(shù)模型feqfa,a02指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型的性質(zhì)3解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟1審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型2建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型3解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論4還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題以上過(guò)程用框

3、圖表示如下：1概念辨析1在0，上，隨著的增大，yaa1的增長(zhǎng)速度會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y0的增長(zhǎng)速度2指數(shù)函數(shù)模型，一般用于解決變化較快，短時(shí)間內(nèi)變化量較大的實(shí)際問(wèn)題3對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)模型比較適合于描述增長(zhǎng)速度平緩的變化規(guī)律答案1232小題熱身12022湖北八校聯(lián)考有一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所示：3y315則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是Ay211By21Cy2log2Dy3答案B解析根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是y212高為H，滿缸水量為V的魚(yú)缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個(gè)小洞，滿缸水從洞中流出，若魚(yú)缸水深為h時(shí)水的體積為v，則函數(shù)vfh的大致圖象是答案B解析當(dāng)hH時(shí)，體積為V，故排除

4、A，C；由H0過(guò)程中，減少相同高度的水，水的體積從開(kāi)始減少的越來(lái)越快到越來(lái)越慢，故選B3據(jù)統(tǒng)計(jì)，每年到鄱陽(yáng)湖國(guó)家濕地公園越冬的白鶴數(shù)量y只與時(shí)間年近似地滿足關(guān)系yalog32，觀察發(fā)現(xiàn)2022年作為第1年到該濕地公園越冬的白鶴數(shù)量為3000只，估計(jì)到2022年到該濕地公園越冬的白鶴的數(shù)量為A4000只B5000只C6000只D7000只答案C解析當(dāng)1時(shí)，由3000alog312，得a3000，所以到2022年冬，即第7年，y3000log3726000，故選C4有一批材料可以建成200 m長(zhǎng)的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地，中間用同樣的材料隔成三個(gè)面積相等的矩形如圖所示，則

5、圍成的矩形場(chǎng)地的最大面積為_(kāi)m2圍墻厚度不計(jì)答案2500解析設(shè)圍成的矩形的長(zhǎng)為m，則寬為eqf200,4m，則Seqf200,4eqf1,42200當(dāng)100時(shí)，Sma2500 m2題型eqavs4al一用函數(shù)圖象刻畫(huà)變化過(guò)程1如圖，不規(guī)則圖形ABCD中：AB和CD是線段，AD和BC是圓弧，直線lAB于E，當(dāng)l從左至右移動(dòng)與線段AB有公共點(diǎn)時(shí)，把四邊形ABCD分成兩部分，設(shè)AE，左側(cè)部分面積為y，則y關(guān)于的大致圖象為答案D解析由題意得，當(dāng)增大時(shí)，左側(cè)部分的面積y，開(kāi)始時(shí)增大的速度快，后來(lái)均勻增大，最后緩慢增大，只有D選項(xiàng)符合題意2如圖，矩形ABCD的周長(zhǎng)為8，設(shè)AB13，線段MN的兩端點(diǎn)在矩形的

6、邊上滑動(dòng)，且MN1，當(dāng)N沿ADCBA在矩形的邊上滑動(dòng)一周時(shí)，線段MN的中點(diǎn)3和煤氣費(fèi)f元滿足關(guān)系feqblcrcavs4alco1C，0A已知某家庭2022年前三個(gè)月的煤氣費(fèi)如下表：月份用氣量煤氣費(fèi)一月份4 m4元二月份25 m14元三月份35 m19元若四月份該家庭使用了20 m3的煤氣，則其煤氣費(fèi)為A元B11元C元D10元答案A解析根據(jù)題意可知f4C4，f25CB25A14，f35CB35A19，解得A5，Beqf1,2，C4，所以feqblcrcavs4alco14，05，所以f204eqf1,2205，故選A22022四川高考某食品的保鮮時(shí)間y單位：小時(shí)與儲(chǔ)藏溫度單位：滿足函數(shù)關(guān)系ye

7、be為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，b為常數(shù)若該食品在0 的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22 的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在答案24解析由題意得eqblcrcavs4alco1eb192,e22b48，即eqblcrcavs4alco1eb192,e11f1,2，所以該食品在33 的保鮮時(shí)間是ye33be113ebeqblcrcavs4alco1f1,2319224小時(shí)題型eqavs4al三構(gòu)建函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題角度1構(gòu)造一次函數(shù)、二次函數(shù)模型1已知直角梯形ABCD如圖所示，CD2，AB4，AD2，線段AB上有一點(diǎn)年剩余面積為原來(lái)的eqfr2,2，則a1meqfr2,2a，即eqblcrcavs4alco1f

8、1,2eqsu,10eqblcrcavs4alco1f1,2eqsu,10eqf1,2，解得m5故到今年為止，該森林已砍伐了5年角度3構(gòu)造分段函數(shù)模型3某景區(qū)提供自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過(guò)6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過(guò)1元，租不出的自行車就增加3輛為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金元只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y元表示出租自行車的日凈收入即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后得到的部分1求函數(shù)yf的解析式；2試問(wèn)當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時(shí)，才能

9、使一日的凈收入最多解1當(dāng)6時(shí)，y50115，令501150，解得，為整數(shù)，36，Z當(dāng)6時(shí)，y50361153268115令32681150，有32681150，結(jié)合為整數(shù)得620，Zyeqblcrcavs4alco15011536，Z,3268115620，Z2對(duì)于y5011536，Z，顯然當(dāng)6時(shí)，yma185；對(duì)于y32681153eqblcrcavs4alco1f34,32eqf811,36185，當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多角度4構(gòu)造yeqfa,a0型函數(shù)4某企業(yè)每年需要向自來(lái)水廠繳納水費(fèi)約4萬(wàn)元，為了緩解供水壓力，決定安裝一個(gè)可使用4年的自動(dòng)污水凈化設(shè)備，安

10、裝這種凈水設(shè)備的成本費(fèi)單位：萬(wàn)元與管線、主體裝置的占地面積單位：平方米成正比，比例系數(shù)約為為了保證正常用水，安裝后采用凈水裝置凈水和自來(lái)水廠供水互補(bǔ)的用水模式假設(shè)在此模式下，安裝后該企業(yè)每年向自來(lái)水廠繳納的水費(fèi)C單位：萬(wàn)元與安裝的這種凈水設(shè)備的占地面積單位：平方米之間的函數(shù)關(guān)系是Ceqf,502500，為常數(shù)記y為該企業(yè)安裝這種凈水設(shè)備的費(fèi)用與該企業(yè)4年共將消耗的水費(fèi)之和1試解釋C0的實(shí)際意義，并建立y關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式并化簡(jiǎn)；2當(dāng)為多少平方米時(shí)，y取得最小值，最小值是多少萬(wàn)元解1C0表示不安裝設(shè)備時(shí)每年繳納的水費(fèi)為4萬(wàn)元，C0eqf,2504，1000，yeqf1000,502504eqf80

11、,502y5eqf80,512eqr5f80,517，當(dāng)5eqf80,5，即15時(shí)，ymin7，故當(dāng)為15平方米時(shí)，y取得最小值7萬(wàn)元1解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟第一步：審題弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；第二步：建模將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：解模求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：還原將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的意義；第五步：反思對(duì)于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性2建模的基本原則1在實(shí)際問(wèn)題中，若兩個(gè)變量之間的關(guān)系是直線上升或直線下降或圖象為直線或其一部分，一般構(gòu)建一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解2

12、實(shí)際問(wèn)題中的如面積問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題、產(chǎn)量問(wèn)題或其圖象為拋物線或拋物線的一部分等一般選用二次函數(shù)模型，根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式結(jié)合二次函數(shù)的圖象、最值求法、單調(diào)性、零點(diǎn)等知識(shí)將實(shí)際問(wèn)題解決3實(shí)際問(wèn)題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車計(jì)價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解12022福建三明聯(lián)考用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eqf3,4，要使存留的污垢不超過(guò)1%，則至少要洗的次數(shù)是參考數(shù)據(jù)：lg2A3B4 C5D6答案B解析設(shè)至少要洗次，則eqblcrcavs4alco11f3,4eqf1,100，eqf1,lg2，因此至少需要洗4次，故選B2

13、某人準(zhǔn)備購(gòu)置一塊占地1800平方米的矩形地塊，中間建三個(gè)矩形溫室大棚，大棚周圍均是寬為1米的小路如圖陰影部分所示，大棚占地面積為S平方米，其中ab12，若要使S最大，則y_答案45解析由題可得，y1800，b2a，則yab33S2a3b38a38eqfy3,318083eqf8,3y解法一：S18083eqf8,3eqf1800,1808eqblcrcavs4alco13f4800,0，18082eqr3f4800且僅當(dāng)3eqf4800,，即40時(shí)取等號(hào)，S取得最大值此時(shí)yeqf1800,45所以當(dāng)40，y45時(shí)，S取得最大值解法二：設(shè)Sf1808eqblcrcavs4alco13f4800,0，feqf4800,23eqf34040