專題一：等腰三角形的存在性問(wèn)題

1、專題訓(xùn)練一等腰三角形的存在性問(wèn)題專題訓(xùn)練一等腰三角形的存在性問(wèn)題專題一：等腰三角形的存在性問(wèn)題專題攻略如果心肌1是等腰三角形，那么存在C,BA=BC，CA=CB三種情況。已知腰長(zhǎng)（兩定一動(dòng)）：分別以兩腰的頂點(diǎn)為圓心,腰長(zhǎng)為半徑畫圓；已知底邊（兩定一動(dòng)：）畫底邊的垂直平分線。解等腰三角形的存在性問(wèn)題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快。幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算。代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長(zhǎng)，分類列方程，解方程并檢驗(yàn)。針對(duì)訓(xùn)練1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)D在坐標(biāo)為（3,4）,點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果ADOP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

2、2、如圖，直線y=3x+3交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，過(guò)A、TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0 o Current Document B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C(3,0).、求A、B的坐標(biāo)；/、求拋物線的解析式；M0:Qx在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,力；使AABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.3、如圖，在矩形ABCD中，4B=6,BC=89動(dòng)點(diǎn)P以2個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)力出發(fā)，沿力C向點(diǎn)C移動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，當(dāng)幾0兩點(diǎn)中其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)則停止運(yùn)動(dòng)。在P、0兩點(diǎn)移動(dòng)過(guò)

3、程中，當(dāng)FQC為等腰三角形時(shí)，求的值。A4、如圖，直線y=2x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PQ與直線AB垂直，交y軸于點(diǎn)Q,如果心卩是等腰三角形,求點(diǎn)P的坐標(biāo)5、如圖所示，矩形ABCD中，AB=4,BC=4品，點(diǎn)E是折線段A-D-C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)A不重合），點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于BE對(duì)稱點(diǎn)在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，使APCB為等腰三角形的點(diǎn)E的位置共有（）個(gè)。A、2B、3C、4D、56、如圖，在ABC中，AB=AC=10,BC=16,DE=4.動(dòng)線段DE(端點(diǎn)D從點(diǎn)B開(kāi)始)沿BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)停止過(guò)點(diǎn)E作EF/AC交

4、AB于點(diǎn)F(當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，EF與CA重合)，聯(lián)結(jié)DF，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(Q0).直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段BE、EF的長(zhǎng);在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，ADEF能否為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；設(shè)M、N分別是DF、EF的中點(diǎn)，求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，MN所掃過(guò)的面積.7、如圖，點(diǎn)A在x軸上，OA=4,將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120至OB的位置.求點(diǎn)B的坐標(biāo)；求經(jīng)過(guò)A、O、B的拋物線的解析式；在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由5（11湖州24）如圖1,已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,頂點(diǎn)A

5、、C分別在x.y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn).P（0網(wǎng)）是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)除外），直線PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）;（2）當(dāng)AAPD是等腰三角形時(shí)，求m的值;（3）設(shè)過(guò)P、M、B三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2）當(dāng)點(diǎn)P從O向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路長(zhǎng)（不必寫解答過(guò)程）6（10南通27）如圖，在矩形ABCD中,AB=m（m是大于0的常數(shù)），BC=8,E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）.連結(jié)DE,作EF丄DE,EF與射線BA交于點(diǎn)F,設(shè)CE=x,BF=y.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；若

6、12，要使MEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多（2）若m=若12，要使MEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多129ym（3）129ym少？?jī)赡昴M7.（2012年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查第21題）如圖，在ABC中，AB=AC=10,BC=16,DE=4.動(dòng)線段DE（端點(diǎn)D從點(diǎn)B開(kāi)始）沿BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.過(guò)點(diǎn)E作EFHAC交AB于點(diǎn)F（當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，EF與CA重合），聯(lián)結(jié)DF，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（Q0）.1）直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段BE、EF的長(zhǎng)；（2）在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,DEF能否為等腰三角形?若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）設(shè)M

7、、N分別是DF、EF的中點(diǎn)，求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，MN所掃過(guò)的面積8（寧波七中2012屆保送生推薦考試第26題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，矩形ABCD的邊AB在x軸上且AB=3,BC=2、3，直線y=、，;3x-2J3經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)G.j（1）點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別是C（），d（）；（2）求頂點(diǎn)在直線y=怎-2方上且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D的拋物線的解析式；（3）將（2）中的拋物線沿直線y=、x-2、3平移，平移后的拋物線交y軸于點(diǎn)F,頂點(diǎn)為點(diǎn)E（頂點(diǎn)在y軸右側(cè)）平移后是否存在這樣的拋物線，使AEFG為等腰三角形?若存在，請(qǐng)求出此時(shí)拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由自編原創(chuàng)9如圖，已知ABC中,AB

8、=AC=6,BC=8,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上,ZADE=ZB.設(shè)BD的長(zhǎng)為x,CE的長(zhǎng)為y.當(dāng)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，求CE的長(zhǎng)；求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍;(3)如果AADE為等腰三角形，求x的值.備用圖參考答案：1因?yàn)镈(3,4),所以O(shè)D=5,/DOP3cosZDOP=-5如圖1當(dāng)PD=PO時(shí)，作PE丄OD于E.在R3PE中，coszdop=OE=3，oe=5，所以。=25OP526此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(25,0)6如圖2,當(dāng)OP=OD=5時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,0).如圖3,當(dāng)DO=DP時(shí)，點(diǎn)D在OP的垂直平分線上,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,0).第1題圖1第1題圖2第

9、1題圖32在RtAABC中，AC亦亦=10*因此coszACB=4-第2題圖3t二第2題圖3t二10-2，解得t=10（秒）.3C第2題圖2如圖1當(dāng)cp=CQ時(shí),如圖2,當(dāng)Qp=QC時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QM丄AC于M,則CM在RtAQMC中,心qcm=4旦亠，解得t=25（秒）TOC o 1-5 h z5CQt9如圖3,當(dāng)pQ=pc時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN丄BC于N,則CN在RtAPNC中，心ZPCN_4_CN=土，解得t_80（秒）.5CP10-2t21綜上所述，當(dāng)t為10秒25秒80秒時(shí)，APQC為等腰三角形.39213由j=2r+2得，4（一1，0），B（0，2）所以O(shè)A=1OB=2如圖，由AOBsqo

10、f得，OP:OQ=OB:OA=2:1設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,m),那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2m,0)因此AP2=(2m+1)2,AQ2=m2+1,PQ2=m2+(2m)2=5m2當(dāng)AP=AQ時(shí),AP2=AQ2,解方程(2m+1)2=m2+1,得m0或m4所以符合條件的點(diǎn)P不存在3當(dāng)PA=PQ時(shí)，PA2=PQ2,解方程(2m+1)2=5m2,得m25所以p(4+25,0)當(dāng)QA=QP時(shí)，QA2=QP2,解方程m2+1=5m2,得4(12臨沂26)如圖，過(guò)點(diǎn)B作BC丄y軸，垂足為C.在RtOBC中,ZBOC=30,OB=4,所以BC=2,ocW所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為s因?yàn)閽佄锞€與兀軸交于O、A(4,0),設(shè)拋物線

11、的解析式為y=ax(x4),代入點(diǎn)B-，-解得朽.(-2,_2它3)2P3=-2ax(-6)a二-6所以拋物線的解析式為忑拓22肓y二一x(x-4)二-x2+x663拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,y)當(dāng)OP=OB=4時(shí)，OP2=16所以4+y2=16解得y=2訂當(dāng)P在a妁時(shí)，B、O、P三點(diǎn)共線.當(dāng)BP=BO=4時(shí)，BP2=16所以-解得42+(y+2朋)2=16y=y=_2f3當(dāng)PB=PO時(shí)，PB2=PO2所以4(炸2解得42+(y+2寸3)2=22+y2y=-2訂綜合、，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,一2問(wèn)第4題圖5(11湖州24(1)因?yàn)镻CDB，所以CP=PM=MC=1因BDDMM

12、B此PM=DM,CP=BD=2m所以AD=4m于是得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4m)(2)在AAPD中，,AD2=(4-m)2AP2=m2+4PD2=(2PM)2=4+4(2-m)2當(dāng)AP=A時(shí),(4)24解得3(如圖1)(4-m)2=m2+4m=2當(dāng)PA=PD時(shí)，m2+4=4+4(2-m)2解得4(如圖2)或4(不合題意，舍去)m=一m=43當(dāng)DA=DP時(shí)，(4-m)2=4+4(2-m)2解得2(如圖3)或2(不合題意，舍去)m=m=23綜上所述，當(dāng)AAPD為等腰三角形時(shí)，m的值為3,4或232323第5題圖1第5題圖2第5題圖3另解第（2）題解等腰三角形的問(wèn)題，其中、用幾何說(shuō)理的方法，計(jì)算更簡(jiǎn)單

13、：如圖1當(dāng)AP=AD時(shí),AM垂直平分PD,那么APCMmba.TOC o 1-5 h z因此1，3PC_m_22如圖2,當(dāng)PA=PD時(shí)，P在AD的垂直平分線上.所以DA=2P0因此42解得44m_2mm_3點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為啟思路是這樣的：兀4巳第5題圖4如圖4,在RtAOHM中,斜邊OM為定值，因此以O(shè)M為直徑的G經(jīng)過(guò)點(diǎn)H,也就是說(shuō)點(diǎn)H在圓弧上運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)過(guò)的圓心角怎么確定呢？如圖5,P與0重合時(shí)，是點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)，ZCOH=45,ZCGH=巳第5題圖4第5題圖6(10南通27)(1)因?yàn)閆EDC與ZFEB都是ZDEC的余角，所以ZEDC=ZFEB.又因?yàn)閆C=ZB=90,所以ADCEsAe

14、BF.因此DC_EB,即m_8xCEBFxy整理，得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為y1x2+8xyX2+Xmm如圖1當(dāng)m=8時(shí)，y一1x2+x一1(x-4)2+2-88因此當(dāng)x=4時(shí)，y取得最大值為2.若12，那么1212+8整理，得+120y二=-X2+XX2一8X+12=0mmmm解得x=2或x=6.所以CE=BF,即x=y.得m所以CE=BF,即x=y.得m=6（如圖2）；得m=2（如圖3）將x=y=2代入129y=將x=y=6代入希,y=mA-EJ第6第6題圖3FBA-EJ第6第6題圖3FB題圖1DAEFABE第6題圖222TOC o 1-5 h z7.(1),5BE=t+4EF=一(t+4)(

15、2)DEF中；ZDEF=ZC是確定的.如圖1,當(dāng)DE=DF時(shí)，deEF，即4口解得156tABBC101625如圖2,當(dāng)ED=EF時(shí)，5解得1248(t+4)t了如圖3,當(dāng)FD=FE時(shí)，feac，即口io解得0，tLJDEBC416即D與B重合.AAABnCCH3FCB(DEC第7題圖1第7題圖2第7題圖3(3)MN是FDE的中位線，MN/DE,MN=2,MN掃過(guò)的形狀是平行四邊形.如圖4運(yùn)動(dòng)結(jié)束，N在AC的中點(diǎn)，N到BC的距離為3；3-4=專第7題圖5如圖5,運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，D與B重合，M到BC的距離為3.3-4=專第7題圖58(1)一，C(4,2/3)D(l,23)(2)頂點(diǎn)E在AB的垂直平分線

16、上，橫坐標(biāo)為丄，代入直線y=a_2、3，得y=玄-設(shè)拋物線的解析式為253，代入點(diǎn)一可得23y=a(x-)2+一C(4,/3)a=所以物線的解析式為325233y二丁(x-2)2+T(3)由頂點(diǎn)E在直線y=-x2-上，可知點(diǎn)G的坐標(biāo)為(02為，直線與y軸正半軸的夾角為30,即ZEGF=30設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為-一,那么EG=2m,平移后的拋物(my3m2寸3)線為2、3-所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為2昌y=(x一m)2+3m一2(3(0,m2+3m一2“3)如圖31,當(dāng)GE=GF時(shí)，yFyG=GE=2m,所以m2+3m=2m解得m=0或-3m=0時(shí)頂點(diǎn)E在y軸上，不符合題3一意此時(shí)拋物線的解析式為23-37、3y=(x一73+)2+3如圖2當(dāng)EF=EG時(shí)，G=，所以2方一解273兀m2+P3m=2(3m得m=0或3此時(shí)拋物線的解析式為36y=(x一一)2一322.”當(dāng)頂點(diǎn)E在y軸右側(cè)時(shí)，ZFEG為鈍角，因此不存在FE=FG的情況.第8第8題圖29.(1)當(dāng)D