中考數(shù)學(xué)圓與相似綜合經(jīng)典題含詳細(xì)答案

1、中考數(shù)學(xué)圓與相似綜合經(jīng)典題含詳細(xì)答案一、相似1.在厶ABC中，ZABC=90.囹1囹：囹3(1)如圖1,分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線的垂線，垂足分別為M、N,求證:ABMBCN；A-i如圖2，P是邊BC上一點(diǎn)，ZBAP=ZC，tanZPAC=，求tanC的值；.jAD:如圖3，D是邊CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE=AB，ZDEB=90,sinZBAC=，直接寫(xiě)出tanZCEB的值.【答案】(1)解：TAM丄MN,CN丄MN,ZAMB=ZBNC=90,ZBAM+ZABM=90,TZABC=90，.ZABM+ZCBN=90，.ZBAM=ZCBN，TZAMB=ZNBC，ABM-BCN(2)解：如圖2,過(guò)

2、點(diǎn)P作PM丄AP交AC于M,PN丄AM于N.TZBAP+Z1=ZCPM+Z1=90，.ZBAP=ZCPM=ZC，.MP=MCPNJ_J_矗tanZPAC=-辻設(shè)MN=2m,PN八m,根據(jù)勾股定理得，PM=l：根據(jù)勾股定理得，PM=l：；,BC1(3)解：在RtAABC中，sinzBAC=-=,過(guò)點(diǎn)A作過(guò)點(diǎn)A作AG丄BE于G,過(guò)點(diǎn)C作CH丄BE父EB的延長(zhǎng)線于H,TZDEB=90,CHIIAGIIDE，GH_ACh同（1）的方法得，ABG-BCHBG_ACBG_ACABBC設(shè)BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，:AB=AE，AG丄BE，.EG=BG=4m，.GH=BG+BH=4m+3

3、n，4tn3n_5.n=2m，.EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，Ch3在RtACEH中，tanZBEC=-【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得出zAMB=ZBNC=90，根據(jù)同角的余角相等得出ZBAM=ZCBN，利用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得出：ABM-BCN；（2）過(guò)點(diǎn)P作PF丄AP交AC于F，在RtAAFP中根據(jù)正切函數(shù)的定義，由PFP一三AB_BP_APJtanZPAC=,同（1）的方法得，ABP-PQF，故二-,設(shè)AB=a，PQ=2a，BP=Yb，F(xiàn)Q=2b（a0，b0），然后判斷出ABP-CQF，得CQ_FQ門(mén)廠從而表示出CQ,進(jìn)根據(jù)線段的

4、和差表示出BC，再判斷出ABP-CBA，得出AB-再得出BC,從而列出方程，表示出BC,AB，在RtAABC中，根據(jù)正切函數(shù)的定義得出tanC的值；BC3(3)在RtAABC中，利用正弦函數(shù)的定義得出：sinZBAC=，過(guò)點(diǎn)A作AG丄BE于G，過(guò)點(diǎn)C作CH丄BE交EB的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出GHAC5BG_AC_AB_4幾匸，同(1)的方法得，ABG-BCH，故乂-=-，設(shè)BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，根據(jù)等腰三角形的三線合一得出EG=BG=4m，故GH=BG+BH=4m+3n，根據(jù)比例式列出方程，求解得出n與m的關(guān)系，進(jìn)而得出EH=EG+GH=4m+4m

5、+3n=8m+3n=8m+6m=14m,在RtACEH中根據(jù)正切函數(shù)的定義得出tanZBEC的值。2.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，連接DF,過(guò)點(diǎn)E作EH丄DF，垂足為H，EH的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)G.G匚上3猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；過(guò)點(diǎn)H作MNIICD,分別交AD，BC于點(diǎn)M,N,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10,點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)，求PDC周長(zhǎng)的最小值.【答案】(1)解：結(jié)論：CF=2DG.理由：T四邊形ABCD是正方形，AD=BC=CD=AB,ZADC=ZC=90,TDE=AE,.AD=CD=2DE，TEG丄DF,.ZDHG=90，.ZCDF+ZDG

6、E=90，ZDGE+ZDEG=90，.ZCDF=ZDEG，.DEGCDF,DGDE1.-=-=.,.CF=2DG(2)解：作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)K,連接DK交MN于點(diǎn)P,連接PC,BCC2BCC23此時(shí)PDC的周長(zhǎng)最短.周長(zhǎng)的最小=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.5DF*DGTOC o 1-5 h z由題意：CD=AD=10,ED=AE=5,DG=-,EG=八,DH=Y,EH=2DH=2-J,DHEhHM=2,.DM=CN=NK=；-=1,在RtADCK中，DK=l-=i、-=2產(chǎn).PCD的周長(zhǎng)的最小值為10+2.【解析】【分析】(1)結(jié)論：CF=2DG.理由如下：根據(jù)正方形的

7、性質(zhì)得出AD=BC=CD=AB,ZADC=ZC=90，根據(jù)中點(diǎn)的定義得出AD=CD=2DE，根據(jù)同角的余角相等得出/CDF=ZDEG，從而判斷出DEG-CDF,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比即可得出結(jié)論；二一GD(2)作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)K,連接DK交MN于點(diǎn)P,連接PC，此時(shí)二一GD短.周長(zhǎng)的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK,由題意得CD=AD=10,ED=AE=5,EG-，根據(jù)面積法求出DH的長(zhǎng)，然后可以判斷出DEH相似于GDH,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比得出EH=2DH=l,再根據(jù)面積法求出HM的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理及矩形的性質(zhì)及對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出DM=CN=

8、NK=1,在RtADCK中，利用勾股定理算出DK的長(zhǎng),從而得出答案。=打bx；(a工0)3.如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A(3,0),C(5,0)兩點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D.(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BD向終點(diǎn)D作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,過(guò)點(diǎn)P作PM丄BD,交BC于點(diǎn)M,以PM為正方形的一邊，向上作正方形PMNQ,邊QN交BC于點(diǎn)R,延長(zhǎng)NM交AC于點(diǎn)E.當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)N落在拋物線上；在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得四邊形ECRQ為平行四邊形？若存在，求出此時(shí)刻的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)解：Ty=ax2+bx+經(jīng)過(guò)A(-3,

9、0),C(5,0)兩點(diǎn)，9a-3b=0一1一1rlb拋物線的解析式為點(diǎn)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，8).設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m,rA+皿=8rk-2解得：，所以直線BC的解析式為y=-2X+10.T拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D,BD=8，CD=5-1=4.TPM丄BD,PMIICD,BPM-BDC,BP_Ph匸-,t嚴(yán)即、;,解得：PM=t,0E=1+：t.1ME=-2(1+.t)+10=8-t.四邊形PMNQ為正方形，11NE=NM+ME=8-t+.t=8-.t.11點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1+-t,8-t),若點(diǎn)N在拋物線上，111則-(1+t-1)2+8=8-t,整理得，t(t-4)=0,解得-=

10、0(舍去)，t2=4,所以，當(dāng)t=4秒時(shí)，點(diǎn)N落在拋物線上;存在.理由如下：1TPM=.t,四邊形PMNQ為正方形，QD=NE=8-.t.直線BC的解析式為y=-2x+10,-2x+10=8-：t,解得：x=t+1,QR=-t+1-1=-t.又:EC=CD-DE=4-t,根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得QR=EC,即t=4-t,161：161：161：161：解得：t=,此時(shí)點(diǎn)P在BD上16所以，當(dāng)t=，時(shí)，四邊形ECRQ為平行四邊形【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法，將A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx+，得出一個(gè)關(guān)于a,b的二元一次方程組，求解得出a,b的值，從而得出拋物線的解析式

11、；（2）首先求出拋物線的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=-2x+10.根據(jù)點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離得出BD,CD的長(zhǎng)度，根據(jù)垂直于同一直線的兩條直線互相平行得出PMIICD，根據(jù)平行于三角形一邊的直線，截，其它兩邊，所截的三角形與原三角形相似得出BPM-BDC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出BP:BD=PM:CD，進(jìn)而得出關(guān)于t的方程，求解得出PM,進(jìn)而得出OE,ME，根據(jù)正方形的性質(zhì)由NE=NM+ME得出NE的長(zhǎng)，進(jìn)而表示出N點(diǎn)的坐標(biāo)，若點(diǎn)N在拋物線上，根據(jù)拋物線上的點(diǎn)的特點(diǎn)，得出關(guān)于t的方程，求解得出t的值，所以，當(dāng)t=4秒時(shí)，點(diǎn)N落在拋物線上；存在.理由如下：根據(jù)PM的長(zhǎng)

12、及正方形的性質(zhì)從而表示出QD=NE的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出方程，求出x的值，進(jìn)而表示出QR根據(jù)線段的和差及平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得QR=EC，從而得出關(guān)于t的方程，求解得出答案。4.如圖1，一副直角三角板滿(mǎn)足AB=BC,AC=DE,ZABC=ZDEF=90,ZEDF=30【操作】將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P,邊EF與邊BC于點(diǎn)Q（1）【探究一】在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，CT=1如圖2,當(dāng)從時(shí)，EP與EQ滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明.CT；,如圖3,當(dāng)卜仇時(shí)EP與EQ滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說(shuō)明理由.二Q根據(jù)你對(duì)（1）、（2

13、）的探究結(jié)果，試寫(xiě)出當(dāng)宀時(shí)，EP與EQ滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系式為，其中妊的取值范圍是（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）-2-2CE(2)【探究二】若且AC=30cm，連續(xù)卩0，設(shè)厶EPQ的面積為S(cm2),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，說(shuō)明理由.隨著S取不同的值，對(duì)應(yīng)EPQ的個(gè)數(shù)有哪些變化？不出相應(yīng)S值的取值范圍.CT1【答案】(1)解：當(dāng)時(shí)，PE=QE.即E為AC中點(diǎn)，理由如下：連接BE，TABC是等腰直角三角形,BE=CE，ZPBE=ZC=45,又:ZPEB+ZBEQ=90,ZCEQ+ZBEQ=90,.ZPEB=ZCEQ，在厶PEB和厶QEC中，ZPEB=

14、ZCECBE=(PEB竺QEC(ASA)，.PE=QE.；EP：EQ=EA:EC=1:2；理由如下：作EM丄AB，EN丄BC，.ZEMP=ZENQ=90，又:ZPEN+ZMEP=ZPEN+ZNEQ=90，.ZMEP=ZNEQ,.MEP-NEQ，.EP：EQ=ME:NE,又:ZEMA=ZENC=90，ZA=ZC，.MEA-NEC，.ME:NE=EA:EC，.EP：EQ=EA:EC=1:2.；EP：EQ=1:m；0m2+、(2)解：存在.c：;=2由【探究一】中（2）知當(dāng)宀時(shí)，EP：EQ=EA：EC=1：2；設(shè)EQ=x,則EP=x,1111S=.EPEQ=.x：x=蘭x2,當(dāng)EQ丄BC時(shí)，EQ與E

15、N重合時(shí)，面積取最小，TAC=30，ABC是等腰直角三角形，.AB=BC=15、/.，CT,，AC=30，.AE=10，CE=20，在等腰RtACNE中，.NE=10-J，當(dāng)x=10J時(shí)，S=50（cm2）；min當(dāng)EQ=EF時(shí)，S取得最大，TAC=DE=30，ZDEF=90,ZEDF=30,在RtADEF中，E卜.tan30=，,.EF=30 x=10-比，此時(shí)EPQ面積最大，Smax=755）；由（1）知CN=NE=5,BC=15-：,.BN=10/,在RtABNE中，BE=5f，當(dāng)x=BE=5時(shí)，S=62.5cm2,.當(dāng)50S62.5時(shí)，這樣的三角形有2個(gè)；當(dāng)S=50或62.5S75時(shí)，

16、這樣的三角形有1個(gè).【解析】【解答】（1）作EM丄AB,EN丄BC,TZB=ZPEQ=90，.ZEPB+ZEQB=180，又TZEPB+ZEPM=180,.ZEQB=ZEPM,.MEP-NEQ,.EP：EQ=ME:NE,又:ZEMA=ZENC=90,ZA=ZC,MEA-NEC,ME:NE=EA:EC,.EP:EQ=EA:EC=1:m,EP與EQ滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系式為EP：EQ=1:m,.02+-1時(shí)，EF與BC不會(huì)相交).【分析】【探究一】根據(jù)已知條件得E為AC中點(diǎn)，連接BE,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可BE=CE，ZPBE=ZC=45，由同角的余角相等得乙PEB=ZCEQ,由全等三角形的判定ASA

17、可得PEB竺QEC，再由全等三角形的性質(zhì)得PE=QE.作EM丄AB,EN丄BC,由相似三角形的判定分別證MEP-NEQ，MEA-NEC，再由相似三角形的性質(zhì)得EP：EQ=ME:NE=EA:EC，從而求得答案.作EM丄AB,EN丄BC,由相似三角形的判定分別證MEP-NEQ,MEA-NEC，再由相似三角形的性質(zhì)得EP：EQ=ME:NE=EA:EC，從而求得答案.1【探究二】設(shè)EQ=x,根據(jù)【探究一】(2)中的結(jié)論可知?jiǎng)tEP=-X,根據(jù)三角形面積公式得出S的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)當(dāng)EQ丄BC時(shí)，EQ與EN重合時(shí)，面積取最??；當(dāng)EQ=EF時(shí)，S取得最大；代入數(shù)值計(jì)算即可得出答案.根據(jù)(1)中數(shù)據(jù)求得當(dāng)E

18、Q與BE重合時(shí)，EPQ的面積，再來(lái)分情況討論即可.5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=(x-a)(x-3)的圖像與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)D,過(guò)其頂點(diǎn)C作直線CP丄x軸，垂足為點(diǎn)P,連接AD、BC.求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；若厶AOD與厶BPC相似，求a的值；點(diǎn)D、O、C、B能否在同一個(gè)圓上，若能，求出a的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)解：Ty=(x-a)(x-3)(0a3)與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).A(a，0)，B(3,0)，當(dāng)x=0時(shí)，y=3a，二D(0,3a).(2)解：TA(a,0)，B(3,0)，D(0,3a).2)J當(dāng)x=2十S33

19、-aPB=3-PC=.,C(.AO_0L當(dāng)AOD-BPC時(shí),332解得：a=亠3（舍去）；AO_ObPHCPB,2)J當(dāng)x=2十S33-aPB=3-PC=.,C(.AO_0L當(dāng)AOD-BPC時(shí),332解得：a=亠3（舍去）；AO_ObPHCPB,AOD-%3.?2解得：a1=3（舍），a2=綜上所述：a的值為（3）解：能；連接BD,取BD中點(diǎn)M,.J.JTD、B、O三點(diǎn)共圓，且BD為直徑，圓心為M(若點(diǎn)C也在此圓上，MC=MB,33+/3a丑一$亠3*.-A化簡(jiǎn)得：a4-14a2+45=0,.(a2-5)(a2-9)=0,.a2=5或a2=9,a】=，a2=-i,a3=3(舍)，a4=-3(舍

20、)，T0a3,a=J，當(dāng)a=飛廳時(shí)，D、0、C、B四點(diǎn)共圓.x軸相交，則y=0，得出Ax軸相交，則y=0，得出A(a，0)，B(3,0)，與y軸相交，則x=0，得出D(0,3a).(2)根據(jù)(1(2)根據(jù)(1)中A、B、D的坐標(biāo)，得出拋物線對(duì)稱(chēng)軸x=得頂點(diǎn)C(a*)3a)，從而得PB=3-=-,AO=a，OD=3a，代入求、);再分情況PC=1J-?解得：a=討論：當(dāng)AOD-BPC解得：a=3(舍去)；TOC o 1-5 h zm3d3_訂3-已；(；-厶AOD-CPB，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得，解得：a】=3(舍)，a2=.(3)能；連接BD,取BD中點(diǎn)M,根據(jù)已知得D、B、0在以BD為直徑，M

21、為圓心(,a)的圓上，若點(diǎn)C也在此圓上，則MC=MB,根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得一個(gè)關(guān)于a的方程，解之即可得出答案.6.如圖，在矩形ABCD中，AB=2cm,ZADB=30.P,Q兩點(diǎn)分別從A,B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿折線AB-BC運(yùn)動(dòng)，在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是2、了cm/s；點(diǎn)Q在BD上以2cm/s的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PN丄AD,垂足為點(diǎn)N.連接PQ,以PQ,PN為鄰邊作qPQMN.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x(s),qPQMN與矩形ABCD重疊部分的圖形面積為y(cm2)(1)當(dāng)PQ丄AB時(shí)，x=求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍；直線AM將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分

22、時(shí)，直接寫(xiě)出x的值.2(2)解：如圖1中，當(dāng)OVxW時(shí)，重疊部分是四邊形PQMN.y=2xxix=2X22如圖中，當(dāng)VxW1時(shí)，重疊部分是四邊形PQEN.1：、y=(2-x+2txxx=X2+-x如圖3中，當(dāng)1VxV2時(shí)，重疊部分是四邊形PNEQ.DEQAB031XJDEQAB03y=(2-x+2)刈x-2(x-1)=-x2-3x+4工(?xW1)-7-,):加+卜、:x2)綜上所述，y=(3)解：如圖4中，當(dāng)直線綜上所述，y=(3)解：如圖4中，當(dāng)直線AM經(jīng)過(guò)BC中點(diǎn)E時(shí)，滿(mǎn)足條件.J解得x=.如圖5中，當(dāng)直線AM經(jīng)過(guò)CD的中點(diǎn)E時(shí)，滿(mǎn)足條件.A*-此時(shí)tanZDEA=tanZQPB,?i：

23、、=：.:-,解得x=,24綜上所述，當(dāng)x=s或時(shí)，直線AM將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分【解析】【解答】解：(1)當(dāng)PQ丄AB時(shí)，BQ=2PB,.2x=2(2-2x),x=s.故答案為s.【分析】(1)由題意BQ=2x,PB=2-2x，當(dāng)PQ丄AB時(shí)，根據(jù)含30直角三角形的邊之間的關(guān)系得：BQ=2PB，從而列出方程，求解即可；2如圖1中，當(dāng)0VxW時(shí)，重疊部分是四邊形PQMN.由題意知：AP=2x，BQ=2x，故平行四邊形AP邊上的高是，根據(jù)平行四邊形的面積計(jì)算方法得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；如圖中，當(dāng)VxW1時(shí)，重疊部分的面積等于平行四邊形APQM的面積減去AEM的面積，即可得出y與

24、x的函數(shù)關(guān)系式；如圖3中，當(dāng)1VxV2時(shí)，重疊部分是四邊形PNEQ.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，分別表示出EQ,ME,NE的長(zhǎng)，根據(jù)重疊部分等于平行四邊形NPQM的面積減去MNE的面積，即可列出y與x之間的函數(shù)關(guān)系；如圖4中，當(dāng)直線AM經(jīng)過(guò)BC中點(diǎn)E時(shí)，滿(mǎn)足條件根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等，即tanZEAB=tanZQPB，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可建立方程，求解得出x的值；如圖5中，當(dāng)直線AM經(jīng)過(guò)CD的中點(diǎn)E時(shí)，滿(mǎn)足條件.根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等，即tanZDEA=tanZQPB，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可建立方程，求解得出x的值；綜上所述即可得出答案。7.已知：如圖，在四邊形，中，“二:f，丁I

25、I，=6垂直平分點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿；方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為總山；同時(shí)，點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)，沿”方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為|1；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)作宀丄：，交卞于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，.連接-，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為壬，解答下列問(wèn)題：(2)設(shè)四邊形的面積為-,求與的函數(shù)關(guān)系式(2)設(shè)四邊形的面積為-,求與的函數(shù)關(guān)系式.連接，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使-?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）解：在處兇月酰中，:厶仍=90，AB=，BC-?：J:-，:垂直平分線段一，、二厲g-ZBPE=ZBCA=90又ZB=ZBBPE-BACPEBEBF二二ACABBCPEZBPE=ZBC

26、A=90又ZB=ZBBPE-BACPEBEBF二二ACABBCPEBE即當(dāng)點(diǎn)在二的平分線上時(shí),:二，-，當(dāng)為4秒時(shí)，點(diǎn)在二的平分線上.(2)解：如圖，連接,：214二S(05)(3)解：存在.如圖，連接.ZQOC=90ZQOC90ZQOGZEOCEC_(%006833-J當(dāng)為4秒時(shí)，點(diǎn)在二的平分線上.(2)解：如圖，連接,：214二S(05)(3)解：存在.如圖，連接.ZQOC=90ZQOC90ZQOGZEOCEC_(%006833-J整理得：-:.解得或10(舍)【解析】【分析】(1)根據(jù)勾股定理求AC，根據(jù)證匸上，求出CD、當(dāng)秒時(shí)，宀亠-：.16OD的值，根據(jù)ABPE-BAC得到比例式，用

27、含有t的代數(shù)式表示出PE、BE，當(dāng)點(diǎn)E在ZBAC的平分線上時(shí)，因?yàn)镋P丄AB，EC丄AC,可得PE=EC，由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)-1、.x.構(gòu)建函數(shù)關(guān)EC_GC系式即可.（3）證明/EOC=ZQOG,可得-，推出,由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題CDIIAB交OO于D，DBD與AC相父于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQIIAB父于Q,CDIIAB交OO于D，DBD與AC相父于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQIIAB父于Q,設(shè)/A的度數(shù)為a.（1）如圖1,求/COB的度數(shù)（用含a的式子表示）；（2）如圖2,若/ABC=90時(shí)，AB=8，求陰影部分面積（用含a的式子表示）；AB”CD（3）如圖1,當(dāng)PQ=2,求十；的值.【答案】（1

28、）解：TZA的度數(shù)為a,二ZCOB=2ZA=2a(2)解：當(dāng)ZABC=90時(shí)，AC為OO的直徑，TCDIIAB,ZDCB=180-90=90,BD為OO的直徑，.P與圓心O重合，TPQIAB父于Q，OQ丄BC,.CQ=BQ，TAB=8，OQ=.AB=4,設(shè)OO的半徑為r,OBC的周長(zhǎng)為16,CQ=8-r，(8-r)2+42=r2,解得r=5,CB=6,JtfjtXy1JjtaX6X4=陰影部分面積=-:(3)解：TCDIIABIIPQ,BPQ-BDC,CPQ-CAB,PQ_CQPQ-,PQPQCQBQCBJ二羊=j.J廠：廠/.PQ=2,r.7.-.X-=2【解析】【分析】（1）根據(jù)圓周角定理

29、可得ZCOB=2ZA=2a；（2）當(dāng)/ABC=90時(shí)，可得點(diǎn)P與圓心O重合，根據(jù)OBC的周長(zhǎng)為16以及AB=8，可求得OO的半徑為5,可得出扇形COB的面積以及OBC的面積，進(jìn)而得出陰影部分面積；（3）由CDIIABIIPQ,PQCQPQ可得BPQ-BDC，CPQ-CAB，即，.八宀兩式子相加可得ABCD朋上即可得出屈上飾的值.二、圓的綜合9.已知：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O在對(duì)角線BD上，以O(shè)D的長(zhǎng)為半徑的OO與AD,BD分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F,且ZABE=ZDBC.（1）判斷直線BE與OO的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若sinZABE=,CD=2,求OO的半徑.【答案】（1）直線BE與O

30、O相切，證明見(jiàn)解析；（2）OO的半徑為【解析】分析：（1）連接0E,根據(jù)矩形的性質(zhì)，可證ZBEO=90，即可得出直線BE與OO相切；（2）連接EF,先根據(jù)已知條件得出BD的值，再在BEO中，利用勾股定理推知BE的長(zhǎng)，設(shè)出OO的半徑為r,利用切線的性質(zhì)，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.詳解：（1）直線BE與OO相切.理由如下：連接OE,在矩形ABCD中，ADIBC,ZADB=ZDBC.TOD=OE，.ZOED=ZODE.又:ZABE=ADBC,ZABE=ZOED,T矩形ABDC,ZA=90,.ZABE+ZAEB=90,.ZOED+ZAEB=90,.ZBEO=90,.直線BE與OO相切;(2

31、)連接EF,方法1：T四邊形ABCD是矩形,CD=2,.ZA=ZC=90,AB=CD=2TZABETZABE=ZDBC,.sinZCBD=sin乙ABE=BD=C=2*3sinZCBD在RtAAEB中，TCD=2,.BC=2、遼.AEAE，:.AE=412,TtanZCBD=tanZABE,DCAE2.=,BCAB2話2由勾股定理求得BE=、拓.在RtABEO中，ZBEO=90,EO2+EB2=OB2./3設(shè)OO的半徑為r,則r2+(*6)2=(2V3-r)r=方法2：TDF是OO的直徑,ZDEF=90.T四邊形ABCD是矩形.ZA=ZC=90AB=CD=2tzABE=ZDBC,sinZCBD

32、=sinZABE叵3設(shè)DC=x,BD=:3x,則BC=：2xtCD=2,BC=2x2-DCAETtanZCBD=tanZABE,-BC=肓肓_巧.E為AD中點(diǎn).TDF為直徑,TDF為直徑,ZFED=90,EFIIAB,1DF=2BD3,OO的半徑為害.點(diǎn)睛：本題綜合考查了切線的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)具有較強(qiáng)的11綜合性，有一定的難度10.如圖，已知OO的半徑為1,PQ是OO的直徑，n個(gè)相同的正三角形沿PQ排成一列,所有正三角形都關(guān)于PQ對(duì)稱(chēng)，其中第一個(gè)A1B1C1的頂點(diǎn)A1與點(diǎn)P重合，第二個(gè)A2B2C2的頂點(diǎn)A2是B1C1與PQ的交點(diǎn)，,最后一個(gè)厶AnBnCn的頂點(diǎn)Bn、Cn

33、在圓上.如圖1,當(dāng)n=1時(shí)，正三角形的邊長(zhǎng)a1=；如圖2,當(dāng)n=2時(shí)，正三角形的邊長(zhǎng)正三角形的邊長(zhǎng)an=（用含n的代數(shù)式表示）.正三角形的邊長(zhǎng)an=（用含n的代數(shù)式表示）.a2=；如圖3,卩04處31+3n2解析】分析：（1）設(shè)PQ與BC交于點(diǎn)D,連接BO，得出OD=A1D-OA,用含a的代數(shù)式表示OD,在厶O(píng)BD中，根據(jù)勾股定理求出正三角形的邊長(zhǎng)；（2）設(shè)PQ與BC交于點(diǎn)E,連接B2O,得出OE=AE-OA,用含a2的代數(shù)式表示OE,在厶O(píng)B2E中，根據(jù)勾股定理求出正三角形的邊長(zhǎng)a；（3）設(shè)PQ與BC交于點(diǎn)F,連接BO,得出OF=AF-2nnn1O*，用含an的代數(shù)式表示OF,在厶O(píng)BF中，

34、根據(jù)勾股定理求出正三角形的邊長(zhǎng)an.1n本題解析：易知A1B1C1的高為2，則邊長(zhǎng)為/3,二3.（2）設(shè)厶A1B1C1的高為力，則A2O=1-h,連結(jié)B2O,設(shè)B2C2與PQ交于點(diǎn)F,則有OF=2h-1.bb2O2=OF2+B2F2,(1=(2h1)2+a212丿十號(hào)丄3。21）2+4叨解得a2=等同，連結(jié)Bn0,設(shè)BnCn與PQ交于點(diǎn)F,則有BO2=OF2+BF2,(1即1=(nh1)2+a.12n丿h=32a，/3nah=32a，n211函數(shù)是描述客觀世界運(yùn)動(dòng)變化的重要模型，理解函數(shù)的本質(zhì)是重要的任務(wù)。（1）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（6,0）、B（0,2）,點(diǎn)

35、C（x,y）在線段AB上，計(jì)算（x+y）的最大值。小明的想法是：這里有兩個(gè)變量X、y,若最大值存在，設(shè)最大值為m,則有函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+m，由一次函數(shù)的圖像可知，當(dāng)該直線與y軸交點(diǎn)最高時(shí)，就是m的最大值，（x+y）的最大值為；（2）請(qǐng)你用（1）中小明的想法解決下面問(wèn)題：如圖2,以（1）中的AB為斜邊在右上方作RtAABM.設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（x,丫），求（x+y）的最大值是多少？【答案】（1）6（2）4+2【解析】分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)以AB為斜邊在右上方作RtAABC,可知點(diǎn)C在以AB為直徑的OD上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x,y）,可構(gòu)造新的函數(shù)x+y=m，則函數(shù)與

36、y軸交點(diǎn)最高處即為x+y的最大值，此時(shí)，直線y=-x+m與OD相切，再根據(jù)圓心點(diǎn)D的坐標(biāo)，可得C的坐標(biāo)為（3+$5,1+），代入直線y=-x+m，可得m=4+25，即可得出x+y的最大值為4+2空5.詳解：（1）6；（2）由題可得，點(diǎn)C在以AB為直徑的OD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C坐標(biāo)為（x,y）,可構(gòu)造新的函數(shù)x+y=m，則函數(shù)與y軸交點(diǎn)最高處即為x+y的最大值，此時(shí)，直線y=-x+m與OD相切，交x軸與E,如圖所示，連接OD,CD.A（6,0）、B（0,2）,D（3,1OD=、；2+32=*10,CD=；10.根據(jù)CD丄EF可得，C、D之間水平方向的距離為5，鉛垂方向的距離為.C（3+、巧,1+），代入

37、直線y=-x+m,可得：1+、：5=-（3+）+m,解得：m=4+2*5,.x+y的最大值為4+2；5.故答案為：4+2、.：5.點(diǎn)睛：本題主要考查了切線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造一次函數(shù)圖象，根據(jù)圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑進(jìn)行求解12.如圖，已知AB是OO的直徑，P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切OO于點(diǎn)C,CD丄AB,垂足為D足為D求證：ZPCA=ZABC；過(guò)點(diǎn)A作AEIIPC交OO于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)M,若ZCAB=2ZB,CF=3，求陰影部分的面積.【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)九3.4【解析】【分析】(1)如圖，

38、連接OC，利用圓的切線的性質(zhì)和直徑對(duì)應(yīng)的圓周角是直角可得ZPCA=ZOCB,利用等量代換可得ZPCA=ZABC.(2)先求出OCA是等邊三角形，在利用三角形的等邊對(duì)等角定理求出FA=FC和CF=FM,然后分別求出AWAC、然后分別求出AWAC、MO、CD的值，分別求出e、S扇形boeSAABM的值，利用S=SS=S+S-S陰影部分AA0E扇形BOEAABM【詳解】然后通過(guò)計(jì)算即可解答.解：(1)證明：連接OC,如圖,PC切OO于點(diǎn)C,OC丄PC,ZPCA+ZACO=90,AB是OO的直徑，.ZACB=ZACO+OCB=90.ZPCA=ZOCB,IOC=OB,.ZOBC=ZOCB,.ZPCA=Z

39、ABC；(2)連接OE，如圖，TACB中，ZACB=90,ZCAB=2ZB,.ZB=30,ZCAB=60,.OCA是等邊三角形，TCD丄AB,.ZACD+ZCAD=ZCAD+ZABC=90,.ZACD=ZB=30,TPCIIAE,.ZPCA=ZCAE=30,.FC=FA,同理，CF=FM,.AM=2CF=23,RtAACM中，易得AC=2爲(wèi)x=3=OC,2TZB=ZCAE=30,.ZAOC=ZCOE=60,.ZEOB=60,.ZEAB=ZABC=30,.MA=MB,連接OM,EG丄AB交AB于G點(diǎn)，如圖所示，TOA=OB,.MO丄AB,.MO=OAxtan30=f3TCDO竺EDO(AAS)，

40、.EG=CD=ACxsin60=33，2S=ABxMO=3p3AABM2同樣，易求S_痊,AAOE4S扇形S扇形B0E360S陰影部分二S+S-SS陰影部分二S+S-S=91+匹_3再二6兀3舅AA0E扇形BOEAABM42點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、解直角三角形、扇形面積和識(shí)圖的能力，綜合性較強(qiáng)，有一定難熟練掌握定理并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.如圖，在RtAABC中，點(diǎn)0在斜邊AB上，以0為圓心，OB為半徑作圓，分別與AB相交于點(diǎn)D，E,連接AD.已知/CAD=ZB.（1）求證：AD是O0的切線;(2)若(2)若CD=2,AC=4,BD=6,求OO的半徑.證明：連接0D證明：連接0D，【答案】（

41、1）詳見(jiàn)解析；（2）空52【解析】【分析】解答時(shí)先根據(jù)角的大小關(guān)系得到/1=Z3根據(jù)直角三角形中角的大小關(guān)系得出OD丄AD,從而證明AD為圓0的切線；（2）根據(jù)直角三角形勾股定理和兩三角形相似可以得出結(jié)果【詳解】（1）TOB=OD,Z3=ZB,IZB=Z1,.Z1=Z3,在Rt3CD中，Z1+Z2=90,Z4=180-(Z2+Z3)=90,.ODAD,則AD為圓O的切線；(2)過(guò)點(diǎn)0作OF丄BC,垂足為F,TOF丄BD1.DF=BF=BD=32TAC=4,CD=2,ZACD=90.AD=2、打TZCAD=ZB,ZOFB=ZACD=90.BFO-ACD.BFOB.ACAD3OB即4=帀.ob=2

42、.oo的半徑為W2【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)直線與圓的位置關(guān)系,圓的半徑的求解,掌握勾股定理,兩三角形相似的判定條件是解題的關(guān)鍵14.如圖，PA切OO于點(diǎn)A,射線PC交OO于C、B兩點(diǎn)，半徑OD丄BC于E,連接BD、DC和OA,DA交BP于點(diǎn)F；1(1)求證：ZADC+ZCBD=-ZAOD；2)在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中相等的線段【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；【解析】【分析】（【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到BnD=CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ZODA=80o-ZAOD)=90。-1ZAOD2（2）根據(jù)垂徑定理得到BE=

43、CE,BD=CD,即可得到結(jié)論；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ZADO=ZOAD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AO=90o，求得ZOAD+ZDAP=90。，推出ZPAF=ZPFA，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論.【詳解】（1）證明：QOD丄BC，BD=CD，:.ZCBD=ZDCB，QZDFE+ZEDF=90o，:ZEDF=90o-ZDFE，QOD=OA，:ZODA=-(180。-ZAOD)=90。-ZAOD，221:.90。-ZDFE=90。-ZAOD，21：.ZDEF=-ZAOD，2QZDFE=ZADC+ZDCB=ZADC+ZCBD,1:ZADC+ZCBD=ZAOD；2，(2)解:QOD丄BC，:BE

44、=CE，BnD=CnD:BD=CD，QOA=OD，:ZADO=ZOAD，QPA切eO于點(diǎn)a，/.ZPAO二90。,/.ZOAD+ZDAP=90o,QZPFA=ZDFE,/.ZPFA+ZADO=90o,/ZPAF=ZPFA,/PA=PF【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵15.如圖，已知AB是OO的直徑，BC是弦，弦BD平分/ABC交AC于F,弦DEAB于H,父AC于G.求證：AG=GD；當(dāng)/ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，DFG是等邊三角形?3若AB=10，sinZABD=5，求BC的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)當(dāng)ZABC=60。時(shí)，DFG