中考數(shù)學(xué)圓的綜合(大題培優(yōu))及詳細(xì)答案

1、一、圓的綜合真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）如圖，在O0中，直徑AB丄弦CD于點(diǎn)E,連接AC,BC,點(diǎn)F是BA延長線上的一點(diǎn),且/FCA=ZB.1求證：CF是O0的切線；（2）若AE=4,tanZACD=，求AB和FC的長.CC【答案】見解析;（2）AB=20,CF二亍【解析】分析：（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理證明0C丄CF即可；（2）通過正切值和圓周角定理，以及ZFCA=ZB求出CE、BE的長，即可得到AB長，然后根據(jù)直徑和半徑的關(guān)系求出OE的長，再根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似（或射影定理）證明OCE-CFE，即可根據(jù)相似三角形的對應(yīng)線段成比例求解.詳解：證明：連結(jié)OCTAB是OO的直

2、徑ZACB=90ZB+ZBAC=90OA=OCZBAC=ZOCAZB=ZFCAZFCA+ZOCA=90即ZOCF=90TC在OO上.CF是OO的切線AE1TAE=4,tanZACD竺=-EC2CE=8-直徑AB丄弦CD于點(diǎn)EAD二AC-ZFCA=ZB.ZB=ZACD=ZFCAZEOC=ZECACE1.tanZB=tanZACD=BE2BE=16AB=20.OE=AB=2-AE=6-CE丄ABZCEO=ZFCE=90.OCE-CFEOC_OECFCE10=6CF8CF二40點(diǎn)睛：此題主要考查了圓的綜合知識，關(guān)鍵是熟知圓周角定理和切線的判定與性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形的知識求解

3、，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想是解題的突破點(diǎn)，有一定的難度，是一道綜合性的題目.矩形ABCD中，點(diǎn)C(3,8),E、F為AB.CD邊上的中點(diǎn)，如圖1點(diǎn)A在原點(diǎn)處，點(diǎn)B在y軸正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，若點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，點(diǎn)B隨之沿y軸下滑，并帶動矩形ABCD在平面內(nèi)滑動，如圖2,設(shè)運(yùn)動時間表示為t秒，當(dāng)點(diǎn)B到達(dá)原點(diǎn)時停止運(yùn)動.當(dāng)t=0時，點(diǎn)F的坐標(biāo)為；當(dāng)t=4時，求OE的長及點(diǎn)B下滑的距離；求運(yùn)動過程中，點(diǎn)F到點(diǎn)0的最大距離；當(dāng)以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時，求t的值.c42【答案】(1)c42【答案】(1)F(3,4)；8-4爲(wèi)；(3)7；(4)t的

4、值為或豐-【解析】試題分析：(1)先確定出DF,進(jìn)而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)；利用直角三角形的性質(zhì)得出ZABO=30，即可得出結(jié)論；當(dāng)0、E、F三點(diǎn)共線時，點(diǎn)F到點(diǎn)0的距離最大，即可得出結(jié)論；分兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程求解即可.試題解析：解：(1)當(dāng)t=0時.TAB=CD=8,F為CD中點(diǎn)，.DF=4,.F(3，4)；(2)當(dāng)t=4時，0A=4.在RtAABO中，AB=8,ZAOB=90,ZABO=30,1ZABO=30,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，0E=-AB=4,B0=4-3，.點(diǎn)B下滑的距離為F二點(diǎn)共線時,點(diǎn)F到點(diǎn)0的距離最大，.F二點(diǎn)共線時,點(diǎn)F到點(diǎn)0的距離最大，.FO=OE+EF=7.(3

5、)當(dāng)0、E、C4圖1(4)在RtAADF中，F(xiàn)D2+AD2=AF2,.AF=FD2+AD2=5,設(shè)A0=t時，OF與x軸相切，點(diǎn)A為切點(diǎn)，.FA丄0A,Z0AB+ZFAB=90.:ZFAD+ZFAB=90,ABao.ZBA0=ZFAD.TZB0A=ZD=90,.RtAFAE-RtAAB0,.=FAFE.S罟,設(shè)A0=t2時，OF與y軸相切，B為切點(diǎn)，同理可得，t2J5、一24、32綜上所述：當(dāng)以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時，t的值為丁或丁-點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，中點(diǎn)的意義，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解（2）的關(guān)鍵是得出Z

6、ABO=30，解（3）的關(guān)鍵是判斷出當(dāng)0、E、F三點(diǎn)共線時，點(diǎn)F到點(diǎn)0的距離最大，解（4）的關(guān)鍵是判斷出RtAFAEsRtAABD，是一道中等難度的中考?？碱}.3.已知A（2,0），B（6,0），CB丄x軸于點(diǎn)B,連接AC畫圖操作：（1）在y正半軸上求作點(diǎn)P,使得/APB=ZACB（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）（2）在（2）在（1）的條件下,若若tanZAPB求點(diǎn)p的坐標(biāo)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時，ZAPB最大拓展延伸：使得ZAPB使得ZAPB最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo)2），（0，4）（0，2、爲(wèi)）（3）空）5【解析】試題分析：（1）以AC為直徑畫圓交y軸于P,連接PA、PB,ZPAB即為所求；（2）由題意AC的中

7、點(diǎn)K（4，4）,以K為圓心AK為半徑畫圓，交y軸于P和P,易知P（0，2），P（0，6）；當(dāng)OK與y軸相切時，ZAPB的值最大，（3）如圖3中，當(dāng)經(jīng)過AB的園與直線相切時，ZAPB最大.想辦法求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可解決問題；試題解析：解：（1）ZAPB如圖所示；B1（2）如圖2中,（2）如圖2中,vZAPB=ZACB,tanZACB=tanZAPB=.vA(2,0),BBC(6,0),.AB=4,BC=8,C(6,8),.AC的中點(diǎn)K(4,4),以K為圓心AK為半徑畫圓，交y軸于P和P,易知P(0,2),P(0,6).當(dāng)OK與y軸相切時，ZAPB的值最大，此時AK=PK=4,AC=8,bc=AC2A

8、B2=4臂3,C(6,4、豆),K(4,2、込),P(0,2J3)故答案為：(0,2朽).（3）如圖3中，當(dāng)經(jīng)過AB的園與直線相切時，ZAPB最大.V直線y=4x+4交x軸于M(-3,0),交y軸于N(0,4).vMP是切線，MP2=MAMB,MP=3島，作ONOMNM43512躬PKOA于KVONPK，PK=MK=MPK=MK=近，PK=丁mk=座，ok=座-3,p(座-3,空)5555點(diǎn)睛：本題考查了一次函數(shù)綜合題、直線與圓的位置關(guān)系、平行線的性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線解決問題，學(xué)會構(gòu)造輔助圓解決最大角問題，屬于中考壓軸題.4.如圖

9、，AB是O0的直徑，D、D為O0上兩點(diǎn)，CF丄AB于點(diǎn)F,CE丄AD交AD的延長線于點(diǎn)E,且CE=CF.求證：CE是OO的切線；連接CD、CB，若AD=CD=a，求四邊形ABCD面積.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】連接OC,AC，可先證明AC平分/BAE，結(jié)合圓的性質(zhì)可證明OCIIAE，可得ZOCB=90,可證得結(jié)論；可先證得四邊形AOCD為平行四邊形，再證明厶OCB為等邊三角形，可求得CF、AB,利用梯形的面積公式可求得答案.【詳解】(1)證明：連接OC,AC.TCF丄AB,CE丄AD,且CE=CF.上CAEZCAB.OC=OA,ZCAB=ZOCA.ZCAE=ZOCA.OC

10、IIAE.乙OCE+ZAEC=180,TZAEC=90,ZOCE=90即OC丄CE,TOC是OO的半徑，點(diǎn)C為半徑外端，.CE是OO的切線.(2)解：TAD=CD,.ZDAC=ZDCA=ZCAB,.DCIIAB,TZCAE=ZOCA,OCIIAD,.四邊形AOCD是平行四邊形，.OC=AD=a,AB=2a,TZCAE=ZCAB,.CD=CB=a,.CB=OC=OB,.OCB是等邊三角形，TOC o 1-5 h z在RtACFB中，CF=：:, HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 1卻.S四邊形ABCD=(DC+AB)CF=:4【點(diǎn)睛】本題主要考查切

11、線的判定，掌握切線的兩種判定方法是解題的關(guān)鍵，即有切點(diǎn)時連接圓心和切點(diǎn)，然后證明垂直，沒有切點(diǎn)時，過圓心作垂直，證明圓心到直線的距離等于半徑.5.如圖，ABC內(nèi)接于OO,ZBAC的平分線交OO于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E(BEEC)，且BD=2訂.過點(diǎn)D作DFIIBC，交AB的延長線于點(diǎn)F.求證：DF為OO的切線；【答案】(1)詳見解析；(2)9爲(wèi)-2n.【解析】【分析】(1)連結(jié)OD,根據(jù)垂徑定理得到OD丄BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD丄DF,根據(jù)切線的判定定理證明；(2)連結(jié)0B,連結(jié)0D交BC于P,作BH丄DF于H,證明OBD為等邊三角形，得到厶ODB=60,oB=BD=2J3，根據(jù)勾股定理求出

12、PE，證明ABE-AFD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE，根據(jù)陰影部分的面積=BDF的面積-弓形BD的面積計(jì)算.【詳解】證明：(1)連結(jié)0D,TAD平分/BAC交O0于D,ZBAD=ZCAD,二BD=CD，.0D丄BC,TBCIIDF,.OD丄DF,.DF為OO的切線；(2)連結(jié)OB,連結(jié)OD交BC于P,作BH丄DF于H,TZBAC=60,AD平分ZBAC,ZBAD=30,ZBOD=2ZBAD=60,.OBD為等邊三角形，ZODB=60,OB=BD=2p3,ZBDF=30,TBCIIDF,ZDBP=30,在RtADBP中，PD=2BD=J3,PB=l3PD=3,在RtADEP中，TPD=,DE=

13、f7,.PE=E7)2(3=2,TOP丄BC,BP=CP=3,.CE=3-2=1,TZDBE=ZCAE,ZBED=ZAEC,BDE-ACE,AE：BE=CE：DE,即AE：5=1：、；7.ae=久77TBEIIDF,ABE-AFD,BE_AEBE_AEDFAD5即DF=巫7解得DF=12,1l在RtABDH中，BH=-BD*3,厶陰影部分的面積=厶BDF的面積-弓形BD的面積=BDF的面積-（扇形BOD的面積-BOD的面積）=2x12-60需空號%5仝-2n【點(diǎn)睛】考查的是切線的判定，扇形面積計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定定理，扇形面積公

14、式是解題的關(guān)鍵.6.如圖，BCD的邊AD是厶ABC外接圓OO的切線，切點(diǎn)為A,連接AO并延長交BC于點(diǎn)E,交O0于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作直線CP交AO的延長線于點(diǎn)P,且/BCP=ZACD.（1）求證：PC是OO的切線；（2）若/B=67.5,BC=2，求線段PC,PF與弧CF所圍成的陰影部分的面積S.4?！敬鸢浮浚?）見解析；（2）1-4【解析】【分析】（1）過C點(diǎn)作直徑CM,連接MB,根據(jù)CM為直徑，可得ZM+ZBCM=90,再根據(jù)ABIIDC可得ZACD=ZBAC,由圓周角定理可得ZBAC=ZM,ZBCP=ZACD，從而可推導(dǎo)得出ZPCM=90,根據(jù)切線的判定即可得；（2）連接OB,由AD是OO的

15、切線，可得ZPAD=90,再由BCIIAD,可得AP丄BC,從而1得BE=CE=-BC=1,繼而可得到ZABC=ZACB=67.5,從而得到ZBAC=45,由圓周角定理可得ZBOC=90,從而可得ZBOE=ZCOE=ZOCE=45,根據(jù)已知條件可推導(dǎo)得出OE=CE=1,PC=OC=：0E2+CE2=、：，根據(jù)三角形面積以及扇形面積即可求得陰影部分的面積.【詳解】(1)過C點(diǎn)作直徑CM,連接MB,CM為直徑，AZMBC=90,即上M+ZBCM=90,T四邊形ABCD是平行四邊形，AABIIDC,ADIIBC,AZACD=ZBAC,TZBAC=ZM,ZBCP=ZACD,AZM=ZBCP,AZBCP

16、+ZBCM=90,即ZPCM=90,ACM丄PC,APC與OO相切；(2)連接OB,TAD是OO的切線，切點(diǎn)為A,AOA丄AD,即ZPAD=90,1TBCIIAD,ZAEB=ZPAD=90,AAPIBC.ABE=CE=BC=1,AAB=AC,AZABC=ZACB=67.5,AZBAC=180ZABC-ZACB=45,AZBOC=2ZBAC=90,TOB=OC,AP丄BC,AZBOE=ZCOE=ZOCE=45,TZPCM=90,AZCPO=ZCOE=ZOCE=45,-OE=CE=1,pc=oc=；Oe2+CE2=42POCPOC【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、扇形面積等

17、，綜合性較強(qiáng)，準(zhǔn)確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.7.如圖，已知ABC,AB=J2,BC=3,ZB=45，點(diǎn)D在邊BC上，聯(lián)結(jié)AD,以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑畫圓，與邊AC交于點(diǎn)E,點(diǎn)F在圓A上，且AF丄AD.設(shè)BD為x,點(diǎn)D、F之間的距離為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；如果E是df的中點(diǎn)，求BD:CD的值；聯(lián)結(jié)CF,如果四邊形ADCF是梯形，求BD的長.uACuAC【答案】y=：44x+2x2(0 x3);5；BD的長是1或52【解析】【分析】過點(diǎn)A作AH丄BC,垂足為點(diǎn)H.構(gòu)造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD的長度.聯(lián)結(jié)DF，點(diǎn)D、F之間的距離y即為DF的長度，在RtAAD

18、F中，利用銳角三角形函數(shù)的定義求得DF的長度，易得函數(shù)關(guān)系式.由勾股定理求得：AC*AH2+DH2.設(shè)DF與AE相交于點(diǎn)Q，通過解RtADCQ和DQ1RtAAHC推知cq=-.故設(shè)DQ=k，CQ=2k，AQ=DQ=k，所以再次利用勾股定理推知DC的長度，結(jié)合圖形求得線段BD的長度，易得答案.(3)如果四邊形ADCF是梯形，則需要分類討論：當(dāng)AFIIDC、當(dāng)ADIIFC.根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合圖形解答.【詳解】BD為XBD為X，DH=|x-1AB-cosB=1.在RtAADH中，ZAHD=90。，.AD=JAH2+DH22-2x+x2.聯(lián)結(jié)DF,點(diǎn)D、F之間的距離y即為DF的長度.點(diǎn)F

19、在圓A上，且AF丄AD，AD二AF，ZADF=45。.ADI在RtAADF中，ZDAF=90。，.DF=-4x+2x2.cosZADFy=：4-4x+2x2.(x3)；(2)TE是DF的中點(diǎn)，AE丄DF，AE平分DF.tanZDCQ=DQCQBc=3，HC=3-1=2AC=,!AHtanZDCQ=DQCQ設(shè)DF與AE相交于點(diǎn)Q,在RtADCQ中，ZDQC=90,在RtA在RtAAHC中,ZAHC=90，皿心=HC=2ZDCQ=ZACH,D2=1CQ2設(shè)DQ=k,CQ=2k,AQ=DQ=k,TOC o 1-5 h z3k=5,k=,DC=：DQ2+CQ2= HYPERLINK l bookmar

20、k68 o Current Document 344BD=BC-DC=,BD:CD=35如果四邊形ADCF是梯形則當(dāng)AFllDC時，ZAFD=ZFDC=45.ZADF=45,AD丄BC，即點(diǎn)d與點(diǎn)H重合BD=1.當(dāng)ADllFC時，ZADF=ZCFD=45.ZB=45,ZB=ZCFD.ZB+ZBAD=ZADF+ZFDC,ZBAD=ZFDC.AABD-ADFCABADDF=DCBC-BD(:2-2x+xBC-BD(:2-2x+x2=3-x,AD2=BC-BD.即整理得x2-x一1=0，解得x=空(負(fù)數(shù)舍去).215綜上所述，如果四邊形ADCF是梯形，BD的長是1或-+2【點(diǎn)睛】此題屬于圓的綜合題,

21、涉及了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)值以及勾股定理等知識,綜合性較強(qiáng),解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容,對學(xué)生的綜合能力要求較高,一定要注意將所學(xué)知識貫穿起來8如圖，四邊形ABCD是O0的內(nèi)接四邊形，AC為直徑，BD=AD，DE丄BC,垂足為E判斷直線ED與O0的位置關(guān)系，并說明理由；若CE=1,AC=4,求陰影部分的面積.【答案】(1)ED與OO相切理由見解析；(2)S陰影=3兀彰3.【解析】【分析】連結(jié)0D,如圖，根據(jù)圓周角定理，由BD=AD得到/BAD=ZACD,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得/DCE=ZBAD，所以/ACD=ZDCE；利用內(nèi)錯角相等證明ODIIBC,而D

22、E丄BC,則OD丄DE,于是根據(jù)切線的判定定理可得DE為OO的切線；作OH丄BC于H,易得四邊形ODEH為矩形，所以O(shè)D=EH=2,則CH=HE-CE=1,于是有/HOC=30,得到/COD=60，然后根據(jù)扇形面積公式、等邊三角形的面積公式和陰影部分的面積=$扇形OCD-SC。進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】直線ED與OO相切.理由如下：連結(jié)0D,如圖，TBD=AD,AZBAD=ZACD.ZDCE=ZBAD,AZACD=ZDCE.IOC=OD,AZOCD=ZODC，而ZOCD=ZDCE,AZDCE=ZODC,AODIBC.TDE丄BC,AOD丄DE,ADE為OO的切線；作OH丄BC于H,則四邊形ODEH

23、為矩形,AOD=EH.TCE=1,AC=4,AOC=OD=2,ACH=HE-CE=2-1=1.在RtAOHC中，TOC=2,CH=1,扇形OCDOCD360ZOHC=90,ZHOC=30,AZCOD=60,A陰影部分的面積=$一S扇形OCDOCD360【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可.也考查了扇形面積的計(jì)算.9.如圖，AB是半圓O0的直徑，點(diǎn)C是半圓O0上的點(diǎn)，連接AC,BC,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是射線0E上一點(diǎn).如圖1,連接FA，F(xiàn)C,若/AFC=2ZBAC,求

24、證：FA丄AB；如圖2,過點(diǎn)C作CD丄AB于點(diǎn)D,點(diǎn)G是線段CD上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，連接FA,FG,FG與AC相交于點(diǎn)P,且AF=FG.試猜想/AFG和/B的數(shù)量關(guān)系，并證明；連接0G,若OE=BD,ZGOE=90,OO的半徑為2,求EP的長.【答案】(1)見解析；(2)結(jié)論：ZGFA=2ZABC.理由見解析；PE=【解析】【分析】證明ZOFA=ZBAC,由ZEAO+ZEOA=90,推出ZOFA+ZAOE=90,推出ZFAO=90即可解決問題.結(jié)論：ZGFA=2ZABC.連接FC.由FC=FG=FA，以F為圓心FC為半徑作OF.因?yàn)锳GAG，推出ZGFA=2ZACG,再證明ZACG=ZAB

25、C.圖2-1中，連接AG,作FH丄AG于H.想辦法證明ZGFA=120，求出EF,OF,OG即可解決問題.【詳解】(1)證明：連接0C.OA=OC,EC=EA,OF丄AC,FC=FA,乙OFA=ZOFC,TZCFA=2乙BAC,.ZOFA=ZBAC,TZOEA=90,ZEAO+ZEOA=90,ZOFA+ZAOE=90,.ZFAO=90,.AFAB.(2)解：結(jié)論：ZGFA=2ZABC.理由：連接FC.TOF垂直平分線段AC,FG=FA,TFG=FA,.FC=FG=FA，以F為圓心FC為半徑作OF.TAGAG,ZGFA=2ZACG,TAB是OO的直徑，ZACB=90,TCD丄AB,.ZABC+ZBCA=90,TZBCD+ZACD=90,.ZABC=ZACG,ZGFA=2ZABC.如圖2-1中，連接AG,作FH丄AG于H.郵-1TBD=OE,ZCDB=ZAEO=90,ZB=ZAOE,.CDB竺AEO(AAS),.CD=AE,TEC=EA,.AC=2CD.ZBAC=30,ZABC=60,ZGFA=120,TOA=OB=2,.OE=1