最新數(shù)值分析試卷及其答案3

1、精品文檔2x1x20 x30 x43x12x23x30 x437分 1.列主元 Gauss消元法3x27x34x4100 x10 x10 x22x35x42210032100321003解：12303123 032分037 4101分03741003741003309220025200252002522100321003210030374101分0374100374100012100251分00251分22220012100013000252224x12x211分所以就有1x3x407分 2.應(yīng)用牛頓法于方程 f x1a0，導(dǎo)出求a的迭代公式，并用此公式求115的值x2解：因?yàn)?f x 1a，

2、所以 x*a為方程 f x 的單根。又因?yàn)閒x2a，2分x 2x 31axk3所以可知牛頓迭代公式為 xk 1xkf xx2xkaxk13f xxk2a2a3axkxk . 2分2ax3令 a115,則有 xk1xk 345xk2，230令 x010，則 x110.65217391， x210.73208918， x310.72280522， x410.72380529 2分故 115 10.723805. 1分7分 3.求一個(gè)次數(shù)不超過(guò)4次的代數(shù)多項(xiàng)式 P4x4，使得 4 04 00， 4141 1，421解：先求出滿(mǎn)足303 00，3 13 11的三次 Hermite 插值多項(xiàng)式。3 xh

3、0 x f 0h1 x f 1 g0 x f0 g1x f1，由于f 0f0，f， 分0 f 11 1 2故 3 xh1 xg1 x ， l1 xxx0 x，x00, x11 ,x1x0h1 x1 2l 1 x1 x x1 l12 x3 2 x x 2 , g1 xx x1 l12 xx 1 x2 , 2分所以3 x3 2x x2x 1 x 2x2 2 x設(shè)4 x3 xx 2 x 1 2 , 且 4 04 03 030 0，精品文檔4 131 14 13 1又因?yàn)?2 1，A1 ,4xx 22 x1 x 2x1 21 x 2x 3 23分444精品文檔14分 4.給定的函數(shù)值如下： f 01,

4、 f23, f 34, f52,1 寫(xiě)出 fx 的三次拉格朗日插值多項(xiàng)式 L3 x ;2 寫(xiě)出 fx 的三次牛頓插值多項(xiàng)式N 3 x解：xx x1 x x2 xx3x 2 x 3 x 51分1 l 0 x0 x1 x0 x2 x0 x302030530 x 2 x 3 x 5 1 l1xx x0 x x2 x x3x 0 x 3 x 51x0 x1x2 x1x32 0 2 3 x2 5x x 3 x 5 1分 x16l 2xx x0 x x1 x x3x 2 x 0 x 51x x2 x5 1分x2x1 x2x0 x2 x33230356l 3xx x1 x x2 x x0 x 2 x 3 x

5、 012x31分x3x1 x3x2 x3x0525350 x x30故 Lagrange 插值多項(xiàng)式為 L3 xf x0l 0 xf x1 l1x fx2l 2xfx3 l 3 x1 x 2 x 3 x 51 x x 3 x 52 x x 2 x 51 x x 2 x 3 2分3023152 由圖中所給出數(shù)據(jù)構(gòu)造差商表f x0 , x1312; f x1, x2431; f x2 , x3243203253f x0 , x1 , x2121 ; f x1, x2 , x3314 ;303523411f x0 , x1 , x2 , x333505分5N 3 xf x0f x0 , x1 x x

6、0f x0 , x1 , x2 x x0 x x1f x0 , x1 , x2 , x3 x x1 x x2 x x01 2 x1 x x 21 x x 2 x 3 3分35分已知迭代函數(shù)g x11，試討論xn 1g xn在所給的區(qū)間上的收斂 性,5 5., x0,x 22對(duì)于收斂函數(shù)的迭代求 其收斂階解：x1，12g 01即g x x1；分2252211def1分gxL1, xx2 240,22x00, 1 , xn 1g xn 收斂方程 xg x 在 0, 1有唯一跟1分22精品文檔精品文檔分xx ,在，上求關(guān)于2x4的最佳平方逼近。8 6. f11span 1, xa0 a1 x 2a2

7、 x4 ,定義內(nèi)積1解：設(shè)最佳平方逼近多項(xiàng)式為 S xf , gfgdx1,12, 1, xx2 dx2 , 1, x 4x4 dx2 ,x2 , x 22 , x 2 , x 412x6 dx1111315517x4 , x412,f ,1110 x8 dxx dxxdxxdx 1,19101f , x 2x x2 dxx3 dxx3 dx1 , f , x4x x4 dxx5 dxx5 dx1 5分1101101012101322235a01222a11 ,故方程組的解為 a015 ， a1105 ， a2105 2分357a221286412822215793故所求 fx 的最佳平方逼近

8、多項(xiàng)式為 S x15105 x 2105 x4 1分12864128分設(shè)，確定它的近似值x*有幾位有效數(shù)字67. x20.0315720.03解：x*0.2003102 ，分 ，x*0.00157 1020.5 102，分m 2 2 x2ml2,得 l4, 故x*20.03具有 4位有效數(shù)字 2分精品文檔精品文檔6分 8.給定積分 Ifbfx dx，構(gòu)造計(jì)算積分 If 的2點(diǎn) Gauss公式a解：由于區(qū)間，上的 點(diǎn)公式為133分 作變換f x dxf133xa bb a t，則 xa, b 時(shí)， t1,1 ,而 f xf abb a t2分22a b b a tb a dt22故 I ff x

9、 dxfb a f a b b a 3b1a12222223b aa b b a 3b aa b b afa b b a3 2分f223f2326226精品文檔精品文檔h7分 9.確定 f x dxA 1 f h A0 f 0 A1 f h 求積公式中的待定參數(shù)，使其h代數(shù)精度盡量高，并指名所構(gòu)造出的求積公式 所具有的代數(shù)精度A1 A0 A12h解：分別用 f x1, x, x2 代入公式中有hA 1hA103分A 1h 2A1 h 22 h33解得：A1A1h , A04h，故原求積公式至少具有兩次代數(shù)精度， 1分33再用 f xx3 代入公式有 A 1 fh A0 f 0A1 f hhh

10、34 h 0h h3 1分333hx dxh3 dx 0,故求積公式成立。但當(dāng)f xx4 時(shí)，帶入則fxhhh4 dx2 h5 ,右邊2 h5，左邊2分左邊x右邊，故所求求積公式具有三次代數(shù)精度h537分 10.分別用復(fù)合梯形公式的和辛普森公式計(jì)算1xdx, n80 4x2101h71 復(fù)合梯形公式： n8， h1分 ,T8f 02fxif 1882i 1h 02 0.03112840.06153850.0905660.11764710.14234880.16438360.18360660.220.1114024 3分1h772 用辛普森公式計(jì)算n 8， hS8f 04fx2fxif 1861

11、i0i2i 10.1115718 3分精品文檔精品文檔1aa9分 11.證明矩陣 A a1a 對(duì)于aa1證：當(dāng)1a1時(shí)，A1 1 0,A222故 A正定 3分1a1是正定的，而雅克比迭代只對(duì)1a1 是收斂的22221a1aa1 a2 , A3a 1aa 1 2 2a 1 0a1aa10aaa a雅克比迭代矩陣為：BJa0a , 2分 ,IBaaa 2 2aaa0aa解得 12a, 32a 2分 ,故由收斂條件知BJ2a1, 解得 a121a12分即當(dāng)時(shí)，雅克比迭代收斂227分 12.證明1x dx138 f05 f3是高斯求積公式f5 f1955證：當(dāng) fx1時(shí)，fx dx2，右邊15 f38

12、 f 05 f32，左邊右邊 1分11955當(dāng) f xx 5時(shí) ,x 5dx0, 右左邊右邊 1分11955同理可證，當(dāng) fxx, x 2， x3 , x 4時(shí)，左邊右邊2分 ，但當(dāng) f xx6 時(shí)，6612,右邊153806536 ，左邊右邊 2分左邊x6 dx1795525故所給公式具有5次代數(shù)精度，但由于求積節(jié)點(diǎn)只有3個(gè)，故所給求積公式為1分3點(diǎn) Gauss公式精品文檔精品文檔分用改進(jìn)歐拉方法求解初 值問(wèn)題 y x 2x y取步長(zhǎng)h0.1,計(jì)算到x 0.3613.y 00,解：改進(jìn)歐拉方法yn 1ynhf xn 1 , ynhf xn , yn分，nn22將 f

13、x, yx2xy代入，得yn 11 hh 2ynh1 h xn 1 xn分221 xn 1 xn 1 , 1將 y00，h0.1帶入計(jì)算公式，得， f 0.10.005500, f 0.20.021927500,f 0.3分0.0501443883分用歐拉方法求解初值問(wèn)題 yx 2100y2取步長(zhǎng)h 0.1,計(jì)算到x0.3保留到小數(shù)點(diǎn)后四位4 14.y 00,歐拉公式為yn 1 yn hf xn , ynynh x2100y2分, n 0,1,2 1代入y0，計(jì)算結(jié)果為f 0.1y1 0.0000, f 0.2y20.0010,0f 0.3y3分0.0050 3分取0.2,用四階經(jīng)典的龍格 庫(kù)塔法求解下列初值問(wèn) 題 y x yy 01yn 1ynh K12K 22K 3K 4 ,6K 1f xn , yn ,解：經(jīng)