圓中常見的輔助線

1、.圓中常見輔助線的做法一遇到弦時解決有關(guān)弦的問題時1.常常添加弦心距,或作垂直于弦的半徑或直徑或再連結(jié)過弦的端點的半徑。作用：利用垂徑定理；利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系；利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形,根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。例：如圖,在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB交小圓于C、D二點.求證：AC = BD證明:過O作OEAB于EO為圓心,OEABAE = BE CE = DEAC = BD練習(xí)：如圖,AB為O的弦,P是AB上的一點,AB = 10cm,PA = 4cm.求O的半徑.2.有等弧或證弧等時常連等弧所對的弦或作等弧所對的圓心角.例：如圖,已知AB是O

2、的直徑,M、N分別是AO、BO的中點,CMAB,DNAB,求證：證明：一連結(jié)OC、ODM、N分別是AO、BO的中點OM =AO、ON = BOOA = OB OM = ONCMOA、DNOB、OC = ODRtCOMRtDONCOA = DOB二連結(jié)AC、OC、OD、BDM、N分別是AO、BO的中點AC = OC BD = ODOC = OD AC = BD 有弦中點時常連弦心距例：如圖,已知M、N分別是O 的弦AB、CD的中點,AB = CD,求證：AMN = CNM證明：連結(jié)OM、ONO為圓心,M、N分別是弦AB、CD的中點OMAB ONCDAB = CD OM = ONOMN = ONM

3、AMN = 90oOMN CNM = 90oONMAMN =CNM證明弦相等或已知弦相等時常作弦心距.例：如圖,已知O1與O2為等圓,P為O1、O2的中點,過P的直線分別交O1、O2于A、C、D、B.求證：AC = BD證明：過O1作O1MAB于M,過O2作O2NAB于N,則O1MO2NO1P = O2P O1M = O2N AC = BD二.有弧中點或證明是弧中點時,常有以下幾種引輔助線的方法：連結(jié)過弧中點的半徑連結(jié)等弧所對的弦連結(jié)等弧所對的圓心角例：如圖,已知D、E分別為半徑OA、OB的中點,C為弧AB的中點,求證：CD = CE證明：連結(jié)OCC為弧AB的中點AOC =BOCD、E分別為O

4、A、OB的中點,且AO = BOOD = OE = AO = BO又OC = OC ODCOEC CD = CE有直徑時常作直徑所對的圓周角,再利用直徑所對的圓周角為直角證題.例：如圖,AB為O的直徑,AC為弦,P為AC延長線上一點,且AC = PC,PB的延長線交O于D,求證：AC = DC證明：連結(jié)ADAB為O的直徑 ADP = 90oAC = PC AC = CD =AP例20XXXX市如圖2,P是O的弦CB延長線上一點,點A在O上,且。求證：PA是O的切線。 證明：作O的直徑AD,連BD,則 即 即PA為O的切線。四遇到90度的圓周角時常常連結(jié)兩條弦沒有公共點的另一端點。作用：利用圓周

5、角的性質(zhì),可得到直徑。練習(xí)：如圖,在RtABC中,BCA = 90o ,以BC為直徑的O交AB于E,D為AC中點,連結(jié)BD交O于F.求證：五.有等弧時常作輔助線有以下幾種：作等弧所對的弦作等弧所對的圓心角作等弧所對的圓周角練習(xí)：1.如圖,O的直徑AB垂直于弦CD,交點為E,F為DC延長線上一點,連結(jié)AF交O于M.求證：AMD =FMC2.如圖,ABC內(nèi)接于O,D、E在BC邊上,且BD = CE,1 =2,求證：AB = AC提示如圖六.有弦中點時,常構(gòu)造三角形中位線.例：已知,如圖,在O中,ABCD,OEBC于E,求證：OE =AD證明：作直徑CF,連結(jié)DF、BFCF為O的直徑CDFD又CDA

6、BABDFAD = BFOEBC O為圓心 CO = FOCE = BE OE =BFOE =AD七.圓上有四點時,常構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形.例：如圖,ABC內(nèi)接于O,直線AD平分FAC,交O于E,交BC的延長線于D,求證：ABAC = ADAE證明：連結(jié)BE1 =3 2 =13 =2四邊形ACBE為圓內(nèi)接四邊形ACD =EABEADCABAC = ADAE八.兩圓相交時,常連結(jié)兩圓的公共弦例：如圖,O1與O2相交于A、B,過A的直線分別交O1、O2于C、D,過B的直線分別交O1、O2于E、F.求證：CEDF證明：連結(jié)AB四邊形為圓內(nèi)接四邊形ABF =C 同理可證：ABE =DABF ABE = 1

7、80oCD = 180oCEDF九.在證明直線和圓相切時,常有以下兩種引輔助線方法：當(dāng)已知直線經(jīng)過圓上的一點,那么連結(jié)這點和圓心,得到輔助半徑,再證明所作半徑與這條直線垂直即可.如果不知直線與圓是否有交點時,那么過圓心作直線的垂線段,再證明垂線段的長度等于半徑的長即可.例1：如圖,P為O外一點,以O(shè)P為直徑作圓交O于A、B兩點,連結(jié)PA、PB.求證：PA、PB為O的切線證明：連結(jié)OA PO為直徑PAO = 90o OAPAOA為O的半徑PA為O的切線同理：PB也為O的切線例2：如圖,同心圓O,大圓的弦AB = CD,且AB是小圓的切線,切點為E,求證：CD是小圓的切線證明：連結(jié)OE,過O作OF

8、CD于FOE為半徑,AB為小圓的切線OEABOFCD, AB = CDOF = OECD為小圓的切線練習(xí)：如圖,等腰ABC,以腰AB為直徑作O交底邊BC于P,PEAC于E,求證：PE是O的切線十.當(dāng)已知條件中有切線時,常作過切點的半徑,利用切線的性質(zhì)定理證題.例：如圖,在RtABC中,C = 90o,AC = 12,BC = 9,D是AB上一點,以BD為直徑的O切AC于E,求AD長.解：連結(jié)OE,則OEACBCAC OEBC在RtABC中,AB =OE = OB =BD = 2OB =AD = ABDB = 15=答：AD的長為.練習(xí)：如圖,O的半徑OAOB,點P在OB的延長線上,連結(jié)AP交O

9、于D,過D作O的切線CE交OP于C,求證：PC = CD十一遇到兩相交切線時切線長常常連結(jié)切點和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點、連結(jié)兩切點。作用：據(jù)切線長及其它性質(zhì),可得到：角、線段的等量關(guān)系；垂直關(guān)系；全等、相似三角形。十二遇到三角形的內(nèi)切圓時連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點,或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段。作用：利用內(nèi)心的性質(zhì),可得：內(nèi)心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線；內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。在處理內(nèi)心的問題時,常需連結(jié)頂點與內(nèi)心,以便利用內(nèi)切圓的圓心是三角形內(nèi)角平分線交點這一性質(zhì)。十三遇到三角形的外接圓時,連結(jié)外心和各頂點作用：外心到三角形各頂點的距離相等。十四遇到兩圓外離時解決有關(guān)兩圓

10、的外、內(nèi)公切線的問題常常作出過切點的半徑、連心線、平移公切線,或平移連心線。作用：利用切線的性質(zhì)；利用解直角三角形的有關(guān)知識。十五遇到兩圓相交時 兩個相交圓不離公共弦常常作公共弦、兩圓連心線、連結(jié)交點和圓心等。作用： 利用連心線的性質(zhì)、解直角三角形有關(guān)知識；利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；利用兩圓公共的圓周的性質(zhì)；垂徑定理。1. 作相交兩圓的公共弦利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)或公共圓周角,溝通兩圓的角的關(guān)系。例1. 如圖1,O1和O2相交于A、B兩點,過A、B分別作直線CD、EF,且CD/EF,與兩圓相交于C、D、E、F。求證：CEDF。圖1分析：CE和DF分別是O1和O2的兩條弦,難以直接證明它們相等,但

11、通過連結(jié)AB,則可得圓內(nèi)接四邊形ABEC和ABFD,利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),則易證明。證明：連結(jié)AB因為又所以即CE/DF又CD/EF所以四邊形CEFD為平行四邊形 即CEDF2.作兩相交圓的連心線 利用過交點的半徑、公共弦、圓心距構(gòu)造直角三角形,解決有關(guān)的計算問題。例2. O1和O2相交于A、B兩點,兩圓的半徑分別為和,公共弦長為12。求的度數(shù)。圖2分析：公共弦AB可位于圓心O1、O2同側(cè)或異側(cè),要求的度數(shù),可利用角的和或差來求解。解：當(dāng)AB位于O1、O2異側(cè)時,如圖2。連結(jié)O1、O2,交AB于C,則。分別在和中,利用銳角三角函數(shù)可求得故當(dāng)AB位于O1、O2同側(cè)時,如圖3圖3則 綜上可知或例

12、2：已知,O1與O2交于A、B,O1的弦AC切O2于A,過B作直線交兩圓于D、E。求證：DCAE。分析:由口訣兩個相交圓不離公共弦,連結(jié)AB,可得D=CAB, 由切線知CAB=E,即D=E即得證。練習(xí)：如圖O1和O2都經(jīng)過A、B兩點。經(jīng)過點A的直線CD與 O1交于點C,與 O2交于點D；經(jīng)過點B的直線EF于 O1交于點E,與 O2交于點F。求證：CEDF.CDCDEMNGABO2O1F圖 8AD、BC分別為直徑的兩個圓相交于M、N兩點,過M、N的直線與梯形上、下底交于E、F。求證： MNAB。分析：因為MN是公共弦,若作輔助線O1O2,必有MNO1O2,再由O1O2是梯形的中位線,得O1O2/

13、AB,從而易證MNAB。證明 連結(jié)O1O2交EF于G = MNO1O2。 DO1=O1A,CO2=O2B = O1O2是梯形ABCD的中位線 = O1O2/AB =EFA=EGO1=Rt = MNAB說明,由兩圓相交連心線垂直于公共弦想到作連心線。遇到兩圓相切時 兩個相切圓不離公切線常常作連心線、公切線。作用：利用連心線性質(zhì)；弦切角性質(zhì)；切線性質(zhì)等。例3. 如圖4,O1和O2外切于點P,A是O1上的一點,直線AC切O2于C,交O1于B,直線AP交O2于D。求證PC平分。圖4分析：要證PC平分,即證而的邊分布在兩個圓中,難以直接證明。若過P作兩圓的公切線PT,與AC交于T易知由弦切角定理,得又是

14、的一個外角所以又從而有即PC平分例3:已知, O1和O2外切于A,直線BC切O1于B,切 O2于C。求證：ABAC人教版課本P87例4分析1：口訣兩個相切圓不離公切線,過A作兩圓的公切線,則1=2, 3=4,又1+2+3+4=180,則2+3=90即ABAC。分析2： 口訣兩圓三圓連心線,連結(jié)O1O2、O1B、O2C,則點A在O1O2上,易知O1BO2C,顯然1+2=90,故ABAC1.相切兩圓常添公切線作輔助線.例2 如圖2,已知O1、O2外切于點P,A是O1上一點,直線AC切O2于點C,交O1一點B,直線AP交O2于點D .求證:PC平分BPD;將O1與O2外切于點P改為O1、O2內(nèi)切于點

15、P,其它條件不變,中的結(jié)論是否仍然成立？畫出圖形并證明你的結(jié)論XX市中考題.ADQO2O1ADQO2O1CB圖2ADPO1CB圖3MP QPB=A, CPD=A+QCP,CPD=CPB, 即PC平分BPD上述結(jié)論仍然成立.如圖3,過點P作兩圓公切線PM,則MPB=A.BPC=MPCMPB=BCPA=CPA, PC平分BPD.說明:作公切線的公字聯(lián)系了小圓弦切角與大圓弦切角.2、遇到三個圓兩兩外切時 兩圓三圓連心線常常作每兩個圓的連心線。作用：可利用連心線性質(zhì)。3.兩圓三圓時常作連心線作為輔助線例3 如圖4,施工工地水平地面上有三根外徑都是1米的水泥管,兩兩外切堆放在一起,則最高點到地面距離是_

16、.解:連O1O2、O2O3、O3O1,過O1作AO1O2O3交O1于A,交O2O3于B圖4AO1O2O3BO1、O2、O3是等圓, 圖4AO1O2O3B說明:三圓兩兩相切時作連心線后注意挑選直角三角形解題.十七遇到四邊形對角互補或兩個三角形同底并在底的同向且有相等頂角時常常添加輔助圓。作用：以便利用圓的性質(zhì)。 過小圓圓心作大圓半徑的垂線有關(guān)公切線問題常過小圓的圓心作大圓半徑的垂線,構(gòu)造直角三角形。例5. 如圖6,O1與O2外切于點O,兩外公切線PCD和PBA切O1、O2于點C、D、B、A,且其夾角為,求兩圓的半徑。圖6分析：如圖6,連結(jié)O1O2、O1A、O2B,過點O2作,構(gòu)造,下面很容易求出

17、結(jié)果。十八相交兩圓中至少有一個圓經(jīng)過另一個圓的圓心,遇到這類問題,常用的輔助線是連結(jié)過交點的半徑PAQBO2O1.圖 10PAQBO2O1.圖 10A、B兩點,且O2在O1上,點P在O1上,點Q在O2上,若APB=40,求AQB的度數(shù)。分析 連結(jié)O2A、O2B,在O1中利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求得AO2B=140,在O2中,AQB=1/2AO2B=70。切點三角形是直角三角形的應(yīng)用.例4 如圖5,O1與O2外切于點C, O1與O2連心線與公切線交于P,外公切線與兩圓切點分別為A、B,且A=4,BC=5.PAQBO1PAQBO1O2C12圖5解：過C作兩圓公切線CQ,交AB于QQA=QC=QB=AB ACB=90AC=4