專題23＋空間中的平行與垂直證明技巧（文）

1、PAGE28專題23空間中的平行與垂直證明技巧一【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（1）熟練掌握線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)，會把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題（2）學(xué)會應(yīng)用“化歸思想”進行“線線問題、線面問題、面面問題”的互相轉(zhuǎn)化（3）能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題（4）熟練掌握空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；運用公理、定理證明或判定空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題不論何種“垂直”都能化歸到“線線垂直”二【知識點及方法歸納】1直線與平面平行的判定1判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線，那么這條直線和這個平面平行，即ab，a，ba2如果兩個平面平行，那么一個平面內(nèi)的直

2、線與另一個平面平行，則a2直線與平面平行的性質(zhì)如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交；那么這條直線就和平面平行，即a，a，b，3直線與平面垂直的判定1定義如果一條直線和平面內(nèi)任意一條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直2判定定理1如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面用符號語言表示為：若m，n，mnB，lm，ln，則l3如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面用符號語言表示為：若ab，a，則b4面面垂直的性質(zhì)定理如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面5兩平面平行的性質(zhì)定理如果兩個平

3、面平行，那么與其中一個平面垂直的直線也與另一個平面垂直6如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線也垂直于第三個平面4兩平面平行的判斷方法1依定義采用反證法2依判定定理通過說明一平面內(nèi)有兩相交直線與另一平面平行來判斷兩平面平行3依據(jù)垂直于同一直線的兩平面平行來判定4依據(jù)平行于同一平面的兩平面平行來判定5平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化程序線線平行線面平行面面平行從上易知三者之間可以進行任意轉(zhuǎn)化，因此要判定某一平行的過程就是從一平行出發(fā)不斷轉(zhuǎn)化的過程在解題時要把握這一點，靈活確定轉(zhuǎn)化思路和方向三【解題方法總結(jié)】1證明直線與平面平行和直線與平面垂直常運用判定定理，即轉(zhuǎn)化為線線的平行與垂直關(guān)系來證明2直線與平

4、面平行的判定方法：1aa定義法，2eqblcrcavs4alco1ab,a,ba，這里表示平面，a，b表示直線3證明線面垂直的方法主要有：以下A為點，m，n，l，a，b表示直線，表示平面1利用線面垂直的定義：a與內(nèi)任何直線垂直a；2利用判定定理：eqblcrcavs4alco1m，n，mnA,lm，lnl；3利用第二判定定理：ab，a，則b；4利用面面平行的性質(zhì)定理：，a，則a5利用面面垂直的性質(zhì)定理：，l，a，al，則a4面面垂直的證明方法：1利用定義：和所成的二面角為直二面角；2利用判定定理：若a，a，則5性質(zhì)定理的恰當(dāng)應(yīng)用：1若，l，a，al，則a，用來證明線面垂直，也用來確定點到平面的

5、垂線段2若，點不一定垂直n，可能m,n的夾角為鈍角或者銳角，故錯誤；B選項，若，則a不一定垂直b，可能a,b夾角為鈍角或銳角，故錯誤；C選項，若m平行n，則a與b可能異面，故錯誤；D選項，若m和n相交，可能a在b的上方，此時異面，a與b也可能相交，故正確。故選D?！军c睛】本道題考查了空間直線與直線的位置關(guān)系，關(guān)鍵發(fā)揮空間想象能力，逐一排除答案，即可，難度中等。練習(xí)1三棱錐A一BCD的六條棱所在直線成異面直線的有（）A3對B4對C5對D6對【答案】A【解析】如圖：三棱錐中六條棱所在直線成異面直線的有AB與CD，AC與BD，AD與BC共3對故選A【點睛】本題主要考查了三棱錐的六條棱所在直線存在多少

6、對異面直線，結(jié)合異面直線的定義即可判斷出結(jié)果，較為簡單練習(xí)2在正方體中，分別是線段的中點，以下結(jié)論：丄；與異面；丄面；其中正確的是（）ABCD【答案】C【解析】連接，由中位線定理可判斷；由線面垂直的性質(zhì)可判斷；由線面垂直的判斷定理可判斷【詳解】連接，由為的中位線可得，故錯誤；由平面，可得，即有，故正確；由，可得平面，即有面，故正確，故選C【點睛】本題主要考查正方體的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定定理，屬于難題解答空間幾何體中垂直關(guān)系時，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時要正確運用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進行推理；證明直線和平面垂直的常用方法有：（1

7、）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質(zhì)；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個平面垂直時，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面練習(xí)3如圖，在正四棱錐SABCD中，E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，動點，梯形EFGH的面積為，則平行線EH、FG間的距離為A8cmB6cmC4cmD9cm【答案】A【解析】首先根據(jù)相似三角形可求出和的長，結(jié)合梯形面積公式即可得結(jié)果【詳解】由題知，設(shè)平行線、之間距離為，則，故選A【點睛】本題主要考查了空間中兩條直線的平行關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)，梯形的面積等，屬于基礎(chǔ)題練習(xí)1如圖，在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為D

8、D1的中點，F(xiàn)、G分別為C1D1、BC1上一點，C1F=1，且FG平面ACE，則BG=（）AB4CD【答案】C【點睛】本題考查線面平行的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及正方體的幾何結(jié)構(gòu)，屬于基礎(chǔ)題練習(xí)2如圖，正方體的棱長為1，分別是棱的中點，過的平面與棱分別交于點設(shè)，四邊形一定是菱形；平面；四邊形的面積在區(qū)間上具有單調(diào)性；四棱錐的體積為定值以上結(jié)論正確的個數(shù)是A4B3C2D1【答案】B【解析】因為對面互相平行，所以四邊形一定是平行四邊形；因為EF垂直平面BDD1B1,所以EF垂直GH，所以四邊形一定是菱形；因為AC練習(xí)1a，b，c為三條不重合的直線，為三個不重合的平面，給出的下列命題中，正確的個數(shù)為ab；a

9、b；A1B2C3D4【答案】B【解析】由平行公理4知ab正確ab或a與b相交或異面均可，故不正確；或，相交，不正確；，由面面平行的性質(zhì)知正確故選：B【點睛】本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及平面與平面平行的判定，同時考查了對定理的理解，屬于綜合題練習(xí)2幾何體ABCDA1B1C1D1是棱長為a的正方體，M、N分別是下底面棱A1B1、B1C1的中點，、N三點的平面交上底面于N平面A1B1C1D1MN平面ABCD，又N平面ABCD，MN、N分別是A1B1、B1C1的中點MNA1C1AC，PQAC，又，ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體，從而，故選B【點睛】本題考查平面與平面平行的性質(zhì)

10、，是立體幾何中面面平行的基本題型，本題要求靈活運用定理進行證明（十）例10如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，則下列結(jié)論正確的是（）APBADB平面PAB平面PBCC直線BC平面PAED直線CD平面PAC【答案】D【解析】因為AD與PB在平面ABC內(nèi)的射影AB不垂直，所以A答案不正確過點A作PB的垂線，垂足為H，若平面PAB平面PBC，則AH平面PBC，所以AHBC又PABC，所以BC平面PAB，則BCAB，這與底面是正六邊形不符，所以B答案不正確若直線BC平面PAE，則BCAE，但BC與AE相交，所以C答案不正確故選D【點睛】本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練

11、掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：1證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；2證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；3證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直練習(xí)1如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，那么，在這個空間圖形中必有AAG平面EFHBAH平面EFHCHF平面AEFDHG平面AEF【答案】B【解析】分析折疊前與折疊后位置關(guān)系、幾何量的變與不變，可得HA、HE、HF三者相互垂直，根據(jù)線面垂直

12、的判定定理，進而可判斷【詳解】分析折疊前與折疊后位置關(guān)系、幾何量的變與不變，可得HA、HE、HF三者相互垂直，AH平面EFH，B正確；過A只有一條直線與平面EFH垂直，A不正確；AGEF，EFAH，EF平面HAG，平面HAGAEF，過H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)，C不正確；HG不垂直于AG，HG平面AEF不正確，D不正確故選：B【點睛】本題了考查直線與平面垂直的判定，一般利用線線線面面面，垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化判斷，屬于中檔題練習(xí)2如圖，四棱柱中，分別是、的中點，下列結(jié)論中，正確的是（）AB平面C平面D平面【答案】D【解析】連接交于，由于四邊形是平行四邊形，對角線平分，故是的中點因

13、為是的中點，所以是三角形的中位線，故，【點睛】本小題主要考查直線和平面的位置關(guān)系，考查棱柱的側(cè)面是平行四邊形這一幾何性質(zhì)，還考查了三角形的中位線以及線面平行的證明兩條直線平行，在直觀圖中，這兩條直線是平行的，通過直觀感知，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得出正確的選項屬于基礎(chǔ)題（十一）面面垂直例11如圖，在三棱錐中，平面平面為等邊三角形，其中分別為的中點，則三棱錐的體積為（）ABCD【答案】D【點睛】本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查體積的計算，正確運用平面與平面垂直的性質(zhì)定理是關(guān)鍵，是中檔題練習(xí)1如圖所示，四棱錐的底面方正方形，側(cè)面為等邊三角形，且側(cè)面底面，點在底面正方形內(nèi)運動，且滿足

14、，則點在正方形的軌跡一定是（）ABCD【答案】B【解析】先確定軌跡是2個平面的交線，PC的中垂面和正方形ABCD的交線，再確定交線的準(zhǔn)確位置，即找到交線上的2個固定點【詳解】，點在的中垂面上，點在正方形內(nèi)的軌跡一定是平面和正方形的交線為正方形，側(cè)面為等邊三角形，取的中點，有取的中點，易知，又，平面，即平面與平面重合點在正方形內(nèi)的軌跡一定是線段故選B【點睛】本題考查面面垂直的性質(zhì)，軌跡的確定方法練習(xí)2如下圖，梯形中，,將沿對角線折起設(shè)折起后點的位置為，并且平面平面給出下面四個命題：；三棱錐的體積為；平面；平面平面其中正確命題的序號是（）ABCD【答案】B【解析】利用折疊前四邊形中的性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系

15、，可證出，然后結(jié)合平面平面，可得平面，從而可判斷；三棱錐的體積為，可判斷；因為平面，從而證明，再證明平面，然后利用線面垂直證明面面垂直【詳解】，平面平面，且平面平面，平面，平面，故不成立，故錯誤；棱錐的體積為，故錯誤；由知平面，故正確；由知平面，又平面，又，且、平面，,平面，又平面,平面平面，故正確故選：B【點睛】本題通過折疊性問題，考查了面面垂直的性質(zhì)，面面垂直的判定，考查了體積的計算，關(guān)鍵是利用好直線與平面、平面與平面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，也要注意利用折疊前后四邊形中的性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系（十二）平行垂直綜合例12如圖，四邊形ABCD是圓柱OO的軸截面，點P在圓柱OO的底面圓周上，圓柱OO的底面圓的半

16、徑OA=1，側(cè)面積為2，AOP=60（1）求證：PB平面APD；（2）是否存在點G在PD上，使得AGBD；并說明理由（3）求三棱錐D-AGB的體積【解析】（1）由為圓的直徑，可得，再由平面，得，然后利用線面垂直的判定可得平面；（2）存在，當(dāng)點是中點時，由側(cè)面積公式求得，進一步得到，由是的中點，可得，再由（1）得，由線面垂直的判定可得平面，則；（3）直接利用等積法求三棱錐的體積【詳解】（1）證明：AB為圓O的直徑，PBPA，AD平面PAB，PBAD，又PAAD=A，PB平面APD；（2）解：存在當(dāng)點G是PD中點時，AGBD事實上，由題意可知，21AD=2，解得AD=1由AOP=60，可得AOP為

17、等邊三角形，得到AP=OA=1在RtPAD中，AD=AP，G是PD的中點，則AGPD由（1）得PBAG，PDPB=P，AG平面PBD，則AGBD；（3），在RtAPB中，AB=2，AP=1，PB=，【點睛】本題考查空間中直線與直線，直線與平面間位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題練習(xí)1如圖，幾何體EF-ABCD中，四邊形CDEF是正方形，四邊形ABCD為直角梯形，ABCD，ADDC，ACB是腰長為2的等腰直角三角形，平面CDEF平面ABCD（1）求證：BCAF；（2）求幾何體EF-ABCD的體積【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】（1）推導(dǎo)出F

18、CCD，F(xiàn)CBC，ACBC，由此BC平面ACF，從而BCAF（2）推導(dǎo)出ACBC2，AB4，從而ADBCsinABC22，由V幾何體EFABCDV幾何體ACDEFV幾何體FACB，能求出幾何體EFABCD的體積【詳解】（1）因為平面CDEF平面ABCD，平面CDEF平面ABCD=CD，又四邊形CDEF是正方形，所以FCCD，F(xiàn)C平面CDEF，所以FC平面ABCD，所以FCBC因為ACB是腰長為2的等腰直角三角形，所以ACBC又ACCF=C，所以BC平面ACF所以BCAF（2）因為ABC是腰長為2的等腰直角三角形，所以AC=BC=2，AB=4，所以AD=BCsinABC=2=2，CD=AB=BC

19、cosABC=4-2cos45=2，DE=EF=CF=2，由勾股定理得AE=2，因為DE平面ABCD，所以DEAD又ADDC，DEDC=D，所以AD平面CDEF所以V幾何體EF-ABCD=V幾何體A-CDEFV幾何體F-ACB=【點睛】本題考查線線垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題練習(xí)2如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，分別為中點，且，（1）平面；（2）若為線段上一點，且平面，求的值；（3）求四棱錐的體積【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）【解析】（1）連結(jié)，利用勾股定理逆定理可證明，又易證，可證明平面（2）連接，

20、根據(jù)，平面可得，進而，利用為中點可得結(jié)論（3）OA是棱錐的高，求底面直角梯形的面積即可代入體積公式計算【詳解】（1）證明：連結(jié)，為的中點，且，又，是中點，由已知，且是平面內(nèi)兩條相交直線平面（2）連接，由已知底面為直角梯形，則四邊形為平行四邊形所以因為平面，平面，平面平面，所以所以因為為中點，所以為中點，所以，又因為點為的中點所以（3）由（1）平面得為四棱錐的高，且又因為是直角梯形，所以直角梯形的面積為則四棱錐的體積【點睛】本題主要考查了線面垂直、平行的判定和性質(zhì)，棱錐的體積，屬于中檔題練習(xí)3如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形點E是棱PC的中點，平面ABE與棱PD交于點F（1）求

21、證：ABEF；（2）若PA=AD，且平面PAD平面ABCD，求證：AF平面PCD【解析】（1）證明：底面ABCD是正方形，ABCD,又AB平面PCD，CD平面PCD，AB平面PCD,又A，B，E，F(xiàn)四點共面，且平面ABEF平面PCD=EF，ABEF;（2）證明：在正方形ABCD中，CDAD,又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，CD平面ABCD,CD平面PADCD平面PAD,又AF平面PAD,CDAF,由（1）可知，ABEF，又ABCD，C,D,E,F在同一平面內(nèi)，CDEF,點E是棱PC中點，點F是棱PD中點,在PAD中，PA=AD，AFPD,又PDCD=D，PD、CD平面PCD,AF平面PCD【點睛】本題主要考查了線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的證明，屬于基礎(chǔ)題練習(xí)4如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1C1C側(cè)面ABB1A1，AC=AA1=AB，AA1C1=60，ABAA1，H為棱CC1的中點，D為BB1的中點（1）求證：A1D平面AB1H；（2）若AB=，求三棱柱ABCA1B1C1的體積【解析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到AHA1D，再由條件得到A1DAB1，于是根據(jù)線面垂直的判定得到結(jié)論成立；（2）方法一：取A1C1的中點G，連接AG，證明AG為三棱柱ABC