福建省福州市瑯岐2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷含解析

1、2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，則方程的最小實(shí)根的值為（ ）ABCD2已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)、，O

2、為坐標(biāo)原點(diǎn)若雙曲線的離心率為2，三角形AOB的面積為，則p=（ ）A1BC2D33已知是定義是上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)， ，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）A3B5C7D94已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則公比的值為（）AB或CD5已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限6觀察下列各式：，根據(jù)以上規(guī)律，則（ ）ABCD7已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象恒在軸的上方，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD8根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門派四位專家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為

3、（）ABCD9已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)），若關(guān)于x的不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的最大值為（ ）ABCD10將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案種數(shù)是( )A18種B36種C54種D72種11已知復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則（ ）ABCD12是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，、分別為、的中點(diǎn)，沿把折起，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置，連接、，當(dāng)四棱錐的外接球的表面積最小時(shí)，四棱錐的體積為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13某中學(xué)高一年級(jí)有學(xué)生1200人，高二年級(jí)有學(xué)生900人，高三年級(jí)有學(xué)生1500人，現(xiàn)按年級(jí)用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取

4、一個(gè)容量為720的樣本進(jìn)行某項(xiàng)研究，則應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取_人14已知雙曲線的一條漸近線為，且經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.15若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為_16若向量滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）證明：18（12分）已知點(diǎn)、分別在軸、軸上運(yùn)動(dòng)，（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)且斜率存在的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求的取值范圍19（12分）從拋物線C：（）外一點(diǎn)作該拋物線的兩條切線PA、PB（切點(diǎn)分別為A、B），分別與x軸相交于C、D，若AB與y軸相交于點(diǎn)Q，

5、點(diǎn)在拋物線C上，且（F為拋物線的焦點(diǎn)）.（1）求拋物線C的方程；（2）求證：四邊形是平行四邊形.四邊形能否為矩形？若能，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由.20（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）說明曲線是哪一種曲線，并將曲線的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，又直線上有兩點(diǎn)和，且，又點(diǎn)的極角為，點(diǎn)的極角為銳角.求：點(diǎn)的極角；面積的取值范圍.21（12分）如圖所示，已知平面，為等邊三角形，為邊上的中點(diǎn)，且.()求證：面；()求證：平面平面；()求該幾何體的體積2

6、2（10分）購買一輛某品牌新能源汽車，在行駛?cè)旰?，政府將給予適當(dāng)金額的購車補(bǔ)貼.某調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)擬購買該品牌汽車的消費(fèi)者，就購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，其樣本頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計(jì)擬購買該品牌汽車的消費(fèi)群體對(duì)購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）將頻率視為概率，從擬購買該品牌汽車的消費(fèi)群體中隨機(jī)抽取人，記對(duì)購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值高于萬元的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）統(tǒng)計(jì)最近個(gè)月該品牌汽車的市場(chǎng)銷售量，得其頻數(shù)分布表如下：月份銷售量（萬輛）試預(yù)計(jì)該品牌汽車在年月份的銷售量約為多少萬輛？附：對(duì)于一組樣本數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率

7、和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1C【解析】先確定解析式求出的函數(shù)值，然后判斷出方程的最小實(shí)根的范圍結(jié)合此時(shí)的，通過計(jì)算即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，所以，故當(dāng)時(shí)，所以，而，所以，又當(dāng)時(shí)，的極大值為1，所以當(dāng)時(shí)，的極大值為，設(shè)方程的最小實(shí)根為，則，即，此時(shí)令，得，所以最小實(shí)根為411.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問題，涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識(shí)，本題有一定的難度及高度，是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.2C【解析】試題分析：拋物線的準(zhǔn)線為，雙曲線的離心率為2，

8、則，漸近線方程為，求出交點(diǎn)，則；選C考點(diǎn)：1.雙曲線的漸近線和離心率；2.拋物線的準(zhǔn)線方程；3D【解析】根據(jù)是定義是上的奇函數(shù)，滿足，可得函數(shù)的周期為3，再由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知可得 ，利用周期性可得函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【詳解】是定義是上的奇函數(shù)，滿足， ，可得，函數(shù)的周期為3，當(dāng)時(shí)， ，令，則，解得或1，又函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，在區(qū)間上，有由，取，得 ，得，又函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，方程=0在區(qū)間上的解有 共9個(gè)，故選D【點(diǎn)睛】本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查抽象函數(shù)周期性的應(yīng)用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬于中檔題4C【解析】由可得，故可求的值.【詳解】因?yàn)?，所以，故，?/p>

9、為正項(xiàng)等比數(shù)列，故，所以，故選C.【點(diǎn)睛】一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時(shí)，則有，其中為常數(shù)且；（3） 為等比數(shù)列（ ）且公比為.5B【解析】分別比較復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與0的大小關(guān)系，可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6B【解析】每個(gè)式子的值依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，然后歸納出數(shù)列的遞推關(guān)系后再計(jì)算【詳解】以及數(shù)列的應(yīng)用根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)數(shù)字，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，可得數(shù)列滿足，則，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理，解題關(guān)鍵是通

10、過數(shù)列的項(xiàng)歸納出遞推關(guān)系，從而可確定數(shù)列的一些項(xiàng)7B【解析】函數(shù)的圖象恒在軸的上方，在上恒成立.即，即函數(shù)的圖象在直線上方，先求出兩者相切時(shí)的值，然后根據(jù)變化時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)，從而得的范圍【詳解】由題在上恒成立.即，的圖象永遠(yuǎn)在的上方，設(shè)與的切點(diǎn)，則，解得，易知越小，圖象越靠上，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象與不等式恒成立的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，首先函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，然后不等式恒成立再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象，最后由極限位置直線與函數(shù)圖象相切得出參數(shù)的值，然后得出參數(shù)范圍8A【解析】每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家，基本事件總數(shù)，甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出甲

11、，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家基本事件總數(shù)：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.9A【解析】若不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解，則的圖象在圖象的上方只有一個(gè)正整數(shù)值，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，分別畫出與的圖象，結(jié)合圖象可得.【詳解】解：，設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，函數(shù)恒過點(diǎn)，分別畫出與的圖象，如圖所示，若不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解，則的圖象在圖象的上方只有一個(gè)正整數(shù)值，且

12、，即，且，故實(shí)數(shù)m的最大值為，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查考查了不等式恒有一正整數(shù)解問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.10B【解析】把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.【詳解】把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則不同的分配方案有種.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合，屬于基礎(chǔ)題.11C【解析】求出，直接由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù).【詳解】.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.12D【解析】首先由題意得，當(dāng)梯形的外接圓圓心為四棱錐的外

13、接球球心時(shí)，外接球的半徑最小，通過圖形發(fā)現(xiàn)，的中點(diǎn)即為梯形的外接圓圓心，也即四棱錐的外接球球心，則可得到，進(jìn)而可根據(jù)四棱錐的體積公式求出體積.【詳解】如圖，四邊形為等腰梯形，則其必有外接圓，設(shè)為梯形的外接圓圓心，當(dāng)也為四棱錐的外接球球心時(shí)，外接球的半徑最小，也就使得外接球的表面積最小，過作的垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)必在上，、分別為、的中點(diǎn)，則必有，即為直角三角形.對(duì)于等腰梯形，如圖：因?yàn)槭堑冗吶切?，、分別為、的中點(diǎn)，必有，所以點(diǎn)為等腰梯形的外接圓圓心，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖，所以四棱錐底面的高為，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查四棱錐的外接球及體積問題，關(guān)鍵是要找到外接球球心的位置，這個(gè)是一個(gè)難

14、點(diǎn)，考查了學(xué)生空間想象能力和分析能力，是一道難度較大的題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。131【解析】先求得高三學(xué)生占的比例，再利用分層抽樣的定義和方法，即可求解.【詳解】由題意，高三學(xué)生占的比例為，所以應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法，其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14【解析】設(shè)以直線為漸近線的雙曲線的方程為，再由雙曲線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，能求出雙曲線方程【詳解】解：設(shè)以直線為漸近線的雙曲線的方程為，雙曲線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，雙曲線方程為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線方

15、程的求法，考查拋物線、雙曲線簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題15【解析】由約束條件先畫出可行域，然后求目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】由約束條件先畫出可行域，如圖所示，由，即，當(dāng)平行線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取到最小值，由可得，此時(shí)，所以的最小值為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的知識(shí)，解題的一般步驟為先畫出可行域，然后改寫目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合圖形求出最值，需要掌握解題方法.16【解析】根據(jù)題意計(jì)算，解得答案.【詳解】，故，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（），（）見解析【解析】（1）由，分和兩種情況，即可求得

16、數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由題，得，利用等比數(shù)列求和公式，即可得到本題答案.【詳解】（）解：由題，得當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，整理，得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，；（）證明：由（）知，故故得證【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)的關(guān)系式求通項(xiàng)公式以及利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和并證明不等式，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和推理證明能力.18（1）（2）【解析】(1)設(shè)坐標(biāo)后根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到軌跡方程.(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，用坐標(biāo)表示出，得到，所以，代入韋達(dá)定理即可求解.【詳解】（1）設(shè)，則，設(shè)，由得又由于，化簡(jiǎn)得的軌跡的方程為（2）設(shè)直線的方程為，與的方程聯(lián)立，消去得，設(shè)，則，由已知，則，故直線，令，則

17、，由于，所以，的取值范圍為【點(diǎn)睛】此題考查軌跡問題，橢圓和直線相交，注意坐標(biāo)表示向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化的處理技巧，屬于較難題目.19（1）；（2）證明見解析；能，.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，求出，即可求拋物線C的方程；（2）設(shè)，寫出切線的方程，解方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo). 設(shè)點(diǎn)，直線AB的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理得到點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得線段相互平分，即證四邊形是平行四邊形；若四邊形為矩形，則，求出，即得點(diǎn)Q的坐標(biāo).【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即拋物線C的方程是. （2）證明：由得，.設(shè)， 則直線PA的方程為（），則直線PB的方程為（），由（）和（）解得：，所以.設(shè)點(diǎn)，則直線AB的方程為.

18、由得，則，所以，所以線段PQ被x軸平分，即被線段CD平分.在中，令解得，所以，同理得，所以線段CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，又因?yàn)橹本€PQ的方程為，所以線段CD的中點(diǎn)在直線PQ上，即線段CD被線段PQ平分.因此，四邊形是平行四邊形.由知，四邊形是平行四邊形.若四邊形是矩形，則，即，解得，故當(dāng)點(diǎn)Q為，即為拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，四邊形是矩形.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，屬于難題.20（1）曲線為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.的極坐標(biāo)方程為（2）【解析】（1）求得曲線伸縮變換后所得的參數(shù)方程，消參后求得的普通方程，判斷出對(duì)應(yīng)的曲線，并將的普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.（2）將的極角代入直線的

19、極坐標(biāo)方程，由此求得點(diǎn)的極徑，判斷出為等腰三角形，求得直線的普通方程，由此求得，進(jìn)而求得，從而求得點(diǎn)的極角.解法一：利用曲線的參數(shù)方程，求得曲線上的點(diǎn)到直線的距離的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)求得的最小值和最大值，由此求得面積的取值范圍.解法二：根據(jù)曲線表示的曲線，利用圓的幾何性質(zhì)求得圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值，進(jìn)而求得面積的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），因?yàn)閯t曲線的參數(shù)方程所以的普通方程為.所以曲線為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.所以的極坐標(biāo)方程為，即.（2）點(diǎn)的極角為，代入直線的極坐標(biāo)方程得點(diǎn)極徑為，且，所以為等腰三角形，又直線的普通方程為，又點(diǎn)的極角為銳角，

20、所以，所以，所以點(diǎn)的極角為.解法1：直線的普通方程為.曲線上的點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)，即（）時(shí)，取到最小值為.當(dāng)，即（）時(shí)，取到最大值為.所以面積的最大值為；所以面積的最小值為；故面積的取值范圍.解法2：直線的普通方程為.因?yàn)閳A的半徑為2，且圓心到直線的距離，因?yàn)?，所以圓與直線相離.所以圓上的點(diǎn)到直線的距離最大值為，最小值為.所以面積的最大值為；所以面積的最小值為；故面積的取值范圍.【點(diǎn)睛】本小題考查坐標(biāo)變換，極徑與極角；直線，圓的極坐標(biāo)方程，圓的參數(shù)方程，直線的極坐標(biāo)方程與普通方程，點(diǎn)到直線的距離等.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，包括運(yùn)算原理的理解與應(yīng)用、運(yùn)算方法的選擇與優(yōu)化、運(yùn)算結(jié)果的檢驗(yàn)與改進(jìn)等.也兼考了數(shù)學(xué)抽