甘肅省定西市2023年高考壓軸卷數學試卷含解析

1、2023年高考數學模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知定義在上的奇函數滿足：（其中），且在區(qū)間上是減函數，令，則，的大小關系（用不等號連接）為（ ）ABCD2已知，若對任意，關于x的不等式（e為自然對數的底數）至少有2個正整數解，

2、則實數a的取值范圍是（ ）ABCD3若函數函數只有1個零點，則的取值范圍是（ ）ABCD4若的展開式中的系數為150，則（ ）A20B15C10D255已知，則的大小關系為ABCD6已知雙曲線的右焦點為，過的直線交雙曲線的漸近線于兩點，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為（ ）ABCD7已知等比數列的前項和為，若，且公比為2，則與的關系正確的是（ ）ABCD8已知a，b是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件9展開項中的常數項為A1B11C-19D5110若復數（）是純虛數，則復數在復平

3、面內對應的點位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限11已知復數，（為虛數單位），若為純虛數，則（）AB2CD12雙曲線的漸近線方程為( )ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13數學家狄里克雷對數論，數學分析和數學物理有突出貢獻，是解析數論的創(chuàng)始人之一.函數，稱為狄里克雷函數.則關于有以下結論:的值域為;其中正確的結論是_(寫出所有正確的結論的序號)14在平面直角坐標系xOy中，若圓C1：x2（y1）2r2（r0）上存在點P，且點P關于直線xy0的對稱點Q在圓C2：（x2）2（y1）21上，則r的取值范圍是_15在中，內角的對邊分別是，若，則_.16的角所對的邊

4、分別為，且，若，則的值為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖所示，在三棱錐中，點為中點（1）求證：平面平面；（2）若點為中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值18（12分）設函數.（1）若恒成立，求整數的最大值；（2）求證：.19（12分）設函數f(x)=x24xsinx4cosx （1）討論函數f(x)在，上的單調性；（2）證明：函數f(x)在R上有且僅有兩個零點20（12分）如圖所示，在四棱錐中，平面，底面ABCD滿足ADBC，E為AD的中點，AC與BE的交點為O.（1）設H是線段BE上的動點，證明：三棱錐的體積是定值；（2）求四棱錐的體積；

5、（3）求直線BC與平面PBD所成角的余弦值21（12分）2018年9月，臺風“山竹”在我國多個省市登陸，造成直接經濟損失達52億元.某青年志愿者組織調查了某地區(qū)的50個農戶在該次臺風中造成的直接經濟損失，將收集的數據分成五組：，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試根據頻率分布直方圖估計該地區(qū)每個農戶的平均損失（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）臺風后該青年志愿者與當地政府向社會發(fā)出倡議，為該地區(qū)的農戶捐款幫扶，現從這50戶并且損失超過4000元的農戶中隨機抽取2戶進行重點幫扶，設抽出損失超過8000元的農戶數為，求的分布列和數學期望.22（10分）在銳角中，分別是角

6、的對邊，且（1）求角的大?。唬?）求函數的值域參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】因為，所以，即周期為，因為為奇函數，所以可作一個周期-2e,2e示意圖，如圖在（，）單調遞增，因為，因此，選點睛：函數對稱性代數表示（1）函數為奇函數 ，函數為偶函數（定義域關于原點對稱）；（2）函數關于點對稱，函數關于直線對稱，（3）函數周期為T,則2B【解析】構造函數（），求導可得在上單調遞增,則 ,問題轉化為,即至少有2個正整數解,構造函數,通過導數研究單調性,由可知，要使得至少有2個正整數解,只需即可,代入可求得結果.【

7、詳解】構造函數（），則（），所以在上單調遞增，所以，故問題轉化為至少存在兩個正整數x，使得成立，設，則，當時，單調遞增；當時，單調遞增.，整理得.故選:B.【點睛】本題考查導數在判斷函數單調性中的應用,考查不等式成立問題中求解參數問題,考查學生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.3C【解析】轉化有1個零點為與的圖象有1個交點，求導研究臨界狀態(tài)相切時的斜率，數形結合即得解.【詳解】有1個零點等價于與的圖象有1個交點記，則過原點作的切線，設切點為，則切線方程為，又切線過原點，即，將，代入解得所以切線斜率為，所以或故選：C【點睛】本題考查了導數在函數零點問題中的應用，考查了學生數形結合，轉化劃歸

8、，數學運算的能力，屬于較難題.4C【解析】通過二項式展開式的通項分析得到，即得解.【詳解】由已知得，故當時，于是有，則.故選：C【點睛】本題主要考查二項式展開式的通項和系數問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.5D【解析】分析：由題意結合對數的性質，對數函數的單調性和指數的性質整理計算即可確定a,b,c的大小關系.詳解：由題意可知：，即，即，即，綜上可得：.本題選擇D選項.點睛：對于指數冪的大小的比較，我們通常都是運用指數函數的單調性，但很多時候，因冪的底數或指數不相同，不能直接利用函數的單調性進行比較這就必須掌握一些特殊方法在進行指數冪的大小比較時，若底數不同，則首先考慮將其轉化成同底

9、數，然后再根據指數函數的單調性進行判斷對于不同底而同指數的指數冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準確6B【解析】先求出直線l的方程為y（xc），與yx聯立，可得A，B的縱坐標，利用，求出a，b的關系，即可求出該雙曲線的離心率【詳解】雙曲線1（ab0）的漸近線方程為yx，直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，kl，直線l的方程為y（xc），與yx聯立，可得y或y，2，ab，c2b，e故選B【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質，考查向量知識，考查學生的計算能力，屬于中檔題7C【解析】在等比數列中，由即可表示之間的關系.【詳解】由題可知，等比數列中，且公比為2，故故選：C【點睛】本題考查等比數

10、列求和公式的應用，屬于基礎題.8C【解析】根據線面平行的性質定理和判定定理判斷與的關系即可得到答案.【詳解】若，根據線面平行的性質定理，可得；若，根據線面平行的判定定理，可得.故選：C.【點睛】本題主要考查了線面平行的性質定理和判定定理，屬于基礎題.9B【解析】展開式中的每一項是由每個括號中各出一項組成的，所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項為常數項，有3種情況：（1）5個括號都出1，即；（2）兩個括號出，兩個括號出，一個括號出1，即；（3）一個括號出，一個括號出，三個括號出1，即；所以展開項中的常數項為，故選B.【點睛】本題考查二項式定理知識的生成過程，考查定理的本質，即展開式中每一項是

11、由每個括號各出一項相乘組合而成的.10B【解析】化簡復數，由它是純虛數，求得，從而確定對應的點的坐標【詳解】是純虛數，則，對應點為，在第二象限故選：B【點睛】本題考查復數的除法運算，考查復數的概念與幾何意義本題屬于基礎題11C【解析】把代入，利用復數代數形式的除法運算化簡，由實部為0且虛部不為0求解即可【詳解】，為純虛數，解得故選C【點睛】本題考查復數代數形式的除法運算，考查復數的基本概念，是基礎題12A【解析】將雙曲線方程化為標準方程為，其漸近線方程為，化簡整理即得漸近線方程.【詳解】雙曲線得，則其漸近線方程為，整理得.故選：A【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單性質的應用.

12、二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】根據新定義，結合實數的性質即可判斷，由定義求得比小的有理數個數，即可確定.【詳解】對于，由定義可知，當為有理數時；當為無理數時，則值域為，所以錯誤；對于，因為有理數的相反數還是有理數，無理數的相反數還是無理數，所以滿足，所以正確；對于，因為，當為無理數時，可以是有理數，也可以是無理數，所以錯誤；對于，由定義可知，所以錯誤；綜上可知，正確的為.故答案為：.【點睛】本題考查了新定義函數的綜合應用，正確理解題意是解決此類問題的關鍵，屬于中檔題.14【解析】設圓C1上存在點P（x0，y0），則Q（y0，x0），分別滿足兩個圓的方程，列出方程組

13、，轉化成兩個新圓有公共點求參數范圍.【詳解】設圓C1上存在點P（x0，y0）滿足題意，點P關于直線xy0的對稱點Q（y0，x0），則，故只需圓x2（y1）2r2與圓（x1）2（y2）21有交點即可，所以|r1|r1，解得.故答案為：【點睛】此題考查圓與圓的位置關系，其中涉及點關于直線對稱點問題，兩個圓有公共點的判定方式.15【解析】由，根據正弦定理“邊化角”，可得，根據余弦定理，結合已知聯立方程組，即可求得角.【詳解】根據正弦定理：可得根據余弦定理：由已知可得：故可聯立方程：解得：.由故答案為：.【點睛】本題主要考查了求三角形的一個內角，解題關鍵是掌握由正弦定理“邊化角”的方法和余弦定理公式，

14、考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.16【解析】先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把轉化為與邊有關的等式，結合可求的值.【詳解】因為，故，因為，所以.由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿足，所以即.因為，解得或（舍）.故答案為：.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用，注意結合求解目標對所得的方程組變形整合后整體求解，本題屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）答案見解析（2）【解析】（1）通過證明平面，證得，證得，由此證得平面，進而證得平面平面.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出平面與平面所成銳二面角的余弦值

15、.【詳解】（1）因為，所以平面，因為平面，所以因為，點為中點，所以因為，所以平面因為平面，所以平面平面（2）以點為坐標原點，直線分別為軸，軸，過點與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，設平面的一個法向量，則即取，則，所以，設平面的一個法向量，則即取，則，所以，設平面與平面所成銳二面角為，則所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為【點睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18（1）整數的最大值為；（2）見解析.【解析】（1）將不等式變形為，構造函數，利用導數研究函數的單調性并確定其最值，從而得到正整數的最大值；（2）根據（1）的結論得

16、到，利用不等式的基本性質可證得結論.【詳解】（1）由得，令，令，對恒成立，所以，函數在上單調遞增，故存在使得，即，從而當時，有，所以，函數在上單調遞增；當時，有，所以，函數在上單調遞減.所以，因此，整數的最大值為；（2）由（1）知恒成立，令則，上述等式全部相加得，所以，因此，【點睛】本題考查導數在函數單調性、最值中的應用，以及放縮法證明不等式的技巧，屬于難題19見解析【解析】（1）f(x)=2x4xcosx4sinx+4sinx=， 由f(x)=1，x，得x=1或或當x變化時，f(x)和f(x)的變化情況如下表：x1f(x)1+11+f(x)單調遞減極小值單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所

17、以f(x)在區(qū)間，上單調遞減，在區(qū)間，上單調遞增（2）由（1）得極大值為f(1)=4；極小值為f()=f()f(1)1，所以f(x)在，上各有一個零點 顯然x(，2)時，4xsinx1，x24cosx1，所以f(x)1；x2，+)時，f(x)x24x462464=81， 所以f(x)在(，+)上沒有零點因為f(x)=(x)24(x)sin(x)4cos(x)=x24xsinx4cosx=f(x)，所以f(x)為偶函數，從而x1，即f(x)在(，)上也沒有零點故f(x)僅在，上各有一個零點，即f(x)在R上有且僅有兩個零點20（1）證明見解析 （2） （3）【解析】（1）因為底面ABCD為梯形，

18、且，所以四邊形BCDE為平行四邊形，則BECD，又平面，平面，所以平面， 又因為H為線段BE上的動點，的面積是定值，從而三棱錐的體積是定值. （2）因為平面，所以，結合BECD，所以，又因為，且E為AD的中點，所以四邊形ABCE為正方形，所以，結合，則平面，連接，則， 因為平面，所以，因為，所以是等腰直角三角形，O為斜邊AC上的中點，所以，且，所以平面，所以PO是四棱錐的高，又因為梯形ABCD的面積為，在中，所以.（3）以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，則B（，0，0），C（0，0），D（，0），P（0，0，），則，設平面PBD的法向量為，則即則，令，得到， 設BC與平面PBD所成的角為，則，所以，所以直線BC與平面PBD所成角的余弦值為21（1）3360元；（2）見解析【解析】（1）根據頻率分布直方圖計算每個農戶的平均損失；（2）根據頻率分布直方圖計算隨機變量X的可能取值，再求X的分布列和數學期望值【詳解】（1）記每個農戶的平均損失為元，則 ；（2）由頻率分布直方圖，可得損失超過1000元的農戶共有（0.00009+0.00003+0.00003）20005015（戶），損失超過8000元的農戶共有0.000032000503（戶），隨機抽取2戶，則X的可能取值為0，1，2；計算P（X0），P（X1），P（X2），所以X的分布列為；