福福建省泉州市2023年高考數(shù)學四模試卷含解析

1、2023年高考數(shù)學模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1設集合，則（ ）ABCD2正項等比數(shù)列中，且與的等差中項為4，則的公比是 ( )A1B2CD3歷史上有不少數(shù)學家都對圓周率作過研究，第一個用科學方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他用圓內(nèi)接和外

2、切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法，而中國數(shù)學家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值，他的方法被后人稱為割圓術近代無窮乘積式、無窮連分數(shù)、無窮級數(shù)等各種值的表達式紛紛出現(xiàn)，使得值的計算精度也迅速增加華理斯在1655年求出一個公式：，根據(jù)該公式繪制出了估計圓周率的近似值的程序框圖，如下圖所示，執(zhí)行該程序框圖，已知輸出的，若判斷框內(nèi)填入的條件為，則正整數(shù)的最小值是ABCD4已知復數(shù)，滿足，則（ ）A1BCD55的展開式中的項的系數(shù)為（ ）A120B80C60D406如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（ ）ABCD87已

3、知函數(shù)，則（ ）A2B3C4D58已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前 項和，則（ ）ABCD9M、N是曲線y=sinx與曲線y=cosx的兩個不同的交點,則|MN|的最小值為()ABCD210已知復數(shù)（為虛數(shù)單位，），則在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限11函數(shù)在上的大致圖象是（ ）ABCD12若函數(shù)函數(shù)只有1個零點，則的取值范圍是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在中，、的坐標分別為，且滿足，為坐標原點，若點的坐標為，則的取值范圍為_.14若的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式中各項的系數(shù)和是_15的展開式中的常數(shù)項

4、為_.16若一個正四面體的棱長為1，四個頂點在同一個球面上，則此球的表面積為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)當時，求函數(shù)的極值；若存在與函數(shù)，的圖象都相切的直線，求實數(shù)的取值范圍18（12分）已知函數(shù)的導函數(shù)的兩個零點為和（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若的極小值為，求在區(qū)間上的最大值19（12分）已知橢圓：，不與坐標軸垂直的直線與橢圓交于，兩點.（）若線段的中點坐標為，求直線的方程；（）若直線過點，點滿足（，分別為直線，的斜率），求的值.20（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，為的中點，為棱上的一點.（1）證明：面面；（2）當為中點

5、時，求二面角余弦值.21（12分）已知，函數(shù)，（是自然對數(shù)的底數(shù)）.（）討論函數(shù)極值點的個數(shù)；（）若，且命題“，”是假命題，求實數(shù)的取值范圍.22（10分）已知動點到定點的距離比到軸的距離多.（1）求動點的軌跡的方程；（2）設，是軌跡在上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當，變化且時，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】解對數(shù)不等式求得集合，由此求得兩個集合的交集.【詳解】由，解得，故.依題意，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查對數(shù)不等式的解法，考查集合交

6、集的概念和運算，屬于基礎題.2D【解析】設等比數(shù)列的公比為q，運用等比數(shù)列的性質和通項公式，以及等差數(shù)列的中項性質，解方程可得公比q【詳解】由題意，正項等比數(shù)列中，可得，即，與的等差中項為4，即，設公比為q，則，則負的舍去，故選D【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的中項性質和等比數(shù)列的通項公式的應用，其中解答中熟記等比數(shù)列通項公式，合理利用等比數(shù)列的性質是解答的關鍵，著重考查了方程思想和運算能力，屬于基礎題3B【解析】初始：，第一次循環(huán)：，繼續(xù)循環(huán)；第二次循環(huán)：，此時，滿足條件，結束循環(huán)，所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是，所以正整數(shù)的最小值是3，故選B4A【解析】首先根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算求出，求

7、出的模即可【詳解】解：，故選：A【點睛】本題考查了復數(shù)求模問題，考查復數(shù)的除法運算，屬于基礎題5A【解析】化簡得到，再利用二項式定理展開得到答案.【詳解】展開式中的項為.故選：【點睛】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.6A【解析】由三視圖還原出原幾何體，得出幾何體的結構特征，然后計算體積【詳解】由三視圖知原幾何體是一個四棱錐，四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2，直觀圖如圖所示，故選：A【點睛】本題考查三視圖，考查棱錐的體積公式，掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵7A【解析】根據(jù)分段函數(shù)直接計算得到答案.【詳解】因為所以.故選：.【點睛】本題考查了分段函數(shù)計算，意在考查學生的計算能力

8、.8B【解析】利用等差數(shù)列的性質求出的值，然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項的性質可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質可得，.故選：B.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本性質的應用，同時也考查了等差數(shù)列求和，考查計算能力，屬于基礎題.9C【解析】兩函數(shù)的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=,|x1-x2|=,|y1-y2|=|sinx1-cosx2|=+=,|MN|=.故選C.10B【解析】分別比較復數(shù)的實部、虛部與0的大小關系，可判斷出在復平面內(nèi)對應的點所在的象限.【詳解】因為時，所以，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限.故選：B.【點睛】

9、本題考查復數(shù)的幾何意義，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.11D【解析】討論的取值范圍，然后對函數(shù)進行求導，利用導數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當時，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，則，根據(jù)三角函數(shù)的性質，當時，故切線的斜率變小，當時，故切線的斜率變大，可排除A、B；當時，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令 ，當時，故切線的斜率變大，當時，故切線的斜率變小，可排除C，故選：D【點睛】本題考查了識別函數(shù)的圖像，考查了導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系以及導數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.12C【解析】轉化有1個零點為與的圖象有1個交點，求導研究臨界狀態(tài)相切時的斜率，數(shù)形結合即得解.【詳解】有1個零點等價于與的圖象有1個

10、交點記，則過原點作的切線，設切點為，則切線方程為，又切線過原點，即，將，代入解得所以切線斜率為，所以或故選：C【點睛】本題考查了導數(shù)在函數(shù)零點問題中的應用，考查了學生數(shù)形結合，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由正弦定理可得點在曲線上，設，則，將代入可得，利用二次函數(shù)的性質可得范圍.【詳解】解：由正弦定理得，則點在曲線上，設，則，又，因為，則，即的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線的定義，考查向量數(shù)量積的坐標運算，考查學生計算能力，有一定的綜合性，但難度不大.14【解析】由題意得出展開式中共有11項，；再令求得展開式中

11、各項的系數(shù)和【詳解】由的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，所以展開式中共有11項，所以；令，可求得展開式中各項的系數(shù)和是：故答案為：1【點睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式的運用，考查二項式展開式各項系數(shù)和的求法，屬于基礎題.15160【解析】先求的展開式中通項，令的指數(shù)為3即可求解結論.【詳解】解：因為的展開式的通項公式為：；令，可得；的展開式中的常數(shù)項為：.故答案為：160.【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質，關鍵是熟記二項展開式的通項，屬于基礎題16【解析】將四面體補成一個正方體，通過正方體的對角線與球的半徑的關系，得到球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，將正

12、四面體補形成一個正方體，則正四面體的外接球與正方體的外接球表示同一個球，因為正四面體的棱長為1，所以正方體的棱長為，設球的半徑為，因為球的直徑是正方體的對角線， 即，解得，所以球的表面積為.【點睛】本題主要考查了有關求得組合體的結構特征，以及球的表面積的計算，其中巧妙構造正方體，利用正方體的外接球的直徑等于正方體的對角線長，得到球的半徑是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力，以及運算與求解能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）當時，函數(shù)取得極小值為，無極大值；（2）【解析】試題分析：（1），通過求導分析，得函數(shù)取得極小值為，無極大值；（2），所

13、以，通過求導討論，得到的取值范圍是試題解析：（1）函數(shù)的定義域為當時，所以 所以當時，當時，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得極小值為，無極大值； （2）設函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同，則 所以 所以，代入得： 設，則不妨設則當時，當時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增， 代入可得：設，則對恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又所以當時，即當時, 又當時 因此當時，函數(shù)必有零點；即當時，必存在使得成立；即存在使得函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同又由得：所以單調(diào)遞減，因此所以實數(shù)的取值范圍是18（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和；（2）最大值是【解析】（1）求得，由題意可

14、知和是函數(shù)的兩個零點，根據(jù)函數(shù)的符號變化可得出的符號變化，進而可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）由（1）中的結論知，函數(shù)的極小值為，進而得出，解出、的值，然后利用導數(shù)可求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【詳解】（1），令，因為，所以的零點就是的零點，且與符號相同又因為，所以當時，即；當或時，即.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和； （2）由（1）知，是的極小值點，所以有，解得， ，所以因為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和.所以為函數(shù)的極大值，故在區(qū)間上的最大值取和中的最大者，而，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值是【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值，考查計算能力，屬于中等題.

15、19（）（）【解析】（）根據(jù)點差法，即可求得直線的斜率，則方程即可求得；（）設出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理，根據(jù)，即可求得參數(shù)的值.【詳解】（1）設，則兩式相減，可得.（*）因為線段的中點坐標為，所以，.代入（*）式，得.所以直線的斜率.所以直線的方程為，即.（）設直線：（），聯(lián)立整理得.所以，解得.所以，.所以，所以.所以.因為，所以.【點睛】本題考查中點弦問題的點差法求解，以及利用代數(shù)與幾何關系求直線方程，涉及韋達定理的應用，屬中檔題.20（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）要證明面面，只需證明面即可；（2）以為坐標原點，以，分別為，軸建系，分別計算出面法向量，面的法向量，再

16、利用公式計算即可.【詳解】證明：（1）因為底面為正方形，所以又因為，滿足，所以又，面，面，所以面.又因為面，所以，面面.（2）由（1）知，兩兩垂直，以為坐標原點，以，分別為，軸建系如圖所示，則，,，則，.所以，設面法向量為，則由得，令得，即；同理，設面的法向量為，則由得，令得，即，所以，設二面角的大小為，則所以二面角余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求二面角，考查學生的運算求解能力，此類問題關鍵是準確寫出點的坐標，是一道中檔題.21（1）當時，沒有極值點，當時，有一個極小值點.（2）【解析】試題分析 ：（1），分，討論，當時，對，當時，解得，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。所以

17、，當時，沒有極值點，當時，有一個極小值點.（2）原命題為假命題，則逆否命題為真命題。即不等式在區(qū)間內(nèi)有解。設 ，所以 ，設 ，則，且是增函數(shù)，所以 。所以分和k1討論。試題解析：（）因為，所以，當時，對，所以在是減函數(shù)，此時函數(shù)不存在極值，所以函數(shù)沒有極值點；當時，令，解得，若，則，所以在上是減函數(shù)，若，則，所以在上是增函數(shù)，當時，取得極小值為，函數(shù)有且僅有一個極小值點，所以當時，沒有極值點，當時，有一個極小值點.（）命題“，”是假命題，則“，”是真命題，即不等式在區(qū)間內(nèi)有解.若，則設 ，所以 ，設 ，則，且是增函數(shù)，所以 當時，所以在上是增函數(shù)，即，所以在上是增函數(shù)，所以，即在上恒成立.當時，因為在是增函數(shù)，因為， ，所以在上存在唯一零點，當時，在上單調(diào)遞減，從而，即，所以在上單調(diào)遞減，所以當時，即.所以不等式在區(qū)間內(nèi)有解綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.22（1）或；（2）