廣東粵港澳大灣區(qū)六校聯(lián)盟2023屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案解析

廣東六校聯(lián)盟2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)命題人：中山紀(jì)念中學(xué)許文審題人；中山紀(jì)念中學(xué)趙玉勤本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆威簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)，考場號(hào)，座位號(hào)填寫在答題卡上.并用2B鉛筆將對應(yīng)的信息點(diǎn)涂黑，不按要求填涂的，答卷無效.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，只需將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，1.若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求出集合，列舉法寫出集合，由交集的定義求即可.【詳解】由，得，所以,又所以故選B．2.若且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】若，滿足，此時(shí)，排除充分性，若，滿足，此時(shí)，排除必要性，故選：D3.已知函數(shù)，滿足對任意，都有成立，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分段函數(shù)單調(diào)遞減，則每一段分段圖象均單調(diào)遞減，且整體也是單調(diào)遞減.【詳解】由對任意，都有成立可得，在上單調(diào)遞減，所以，解得，故選:C.4.已知是定義在上的偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意，作出函數(shù)簡圖，數(shù)形結(jié)合列指數(shù)不等式，并求解.【詳解】是定義在上的偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，且，作出函數(shù)的簡圖，如圖所示，則時(shí)，，或，所以可得不等式的解集為.故選：B5.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換與同角三角函數(shù)關(guān)系，一步步化簡為只含的式子再代入即可解出答案.【詳解】，，，，，，，，，，故選：C.6.已知函數(shù)，其圖象相鄰的最高點(diǎn)之間的距離為，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，且為奇函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.在上單調(diào)遞增 D.在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象相鄰的最高點(diǎn)之間的距離為，得到，易得.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，可得，再根據(jù)是奇函數(shù)，得到，然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象相鄰的最高點(diǎn)之間的距離為，所以其最小正周期為，則.所以.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，可得的圖象，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，令，所以.又，所以.故.當(dāng)時(shí)，，故的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故的圖象關(guān)于直線對稱，不關(guān)于點(diǎn)對稱，故B錯(cuò)誤；在上，，單調(diào)遞增，故C正確；在上，，單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及其圖象變換，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.7.中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式，它表示在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信通帶寬W、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì)，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，帶寬W在原來的基礎(chǔ)上增加20%，信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（）(附：A.23% B.37% C.48% D.55%【答案】C【解析】【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，由香農(nóng)公式分別計(jì)算信噪比為1000和5000時(shí)C的比值即可求解.【詳解】解：依題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴的增長率約為.故選：C8.定義在上的函數(shù)滿足.若的圖象關(guān)于直線對稱，則下列選項(xiàng)中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，令，可求得，再根據(jù)函數(shù)的對稱性可得及，再令，可求得，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以，所以，又的圖象關(guān)于直線對稱，所以，且，則，所以，所以，無法求出.故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)得0分9.下列不等式中成立的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)指對冪函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量即可比較，結(jié)合選項(xiàng)即可得結(jié)果．【詳解】解：函數(shù)，在上單調(diào)遞增，∴，故A錯(cuò)誤；函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，函數(shù)，在上單調(diào)遞增，，，故B正確；函數(shù)單調(diào)遞減，，故C正確；，故D錯(cuò)誤，故選：BC．10.已知，，則（）A.的最大值是 B.的最小值是C. D.【答案】BC【解析】【分析】求得，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用基本不等式可判斷B選項(xiàng)的正誤；構(gòu)造函數(shù)，其中，利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)的正誤；構(gòu)造函數(shù)，其中，利用函數(shù)單調(diào)性可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】，，所以，，，所以，.對于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值是，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，，令，其中，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，，即，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，，，即，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解答比較函數(shù)值大小問題，常見的思路有兩個(gè)：（1）判斷各個(gè)數(shù)值所在的區(qū)間；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答.數(shù)值比較多的比較大小問題也也可以利用兩種方法的綜合應(yīng)用.11.（多選題）聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù)．純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音．若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對稱 B.在上是增函數(shù)C.的最大值為 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】利用對稱性定義推理判斷A；由與在上單調(diào)性判斷B；借助導(dǎo)數(shù)求出在周期長的區(qū)間上的最大值判斷C；由在周期長的區(qū)間上的最大最小值判斷D作答.【詳解】對于A，因，則的圖象關(guān)于對稱，不關(guān)于對稱，A錯(cuò)誤；對于B，因與在上都是增函數(shù)，則在上是增函數(shù)，B正確；對于C，因，即是奇函數(shù)，又與的最小正周期分別為與，則的正周期為，當(dāng)時(shí)，，令，得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上遞增，在上遞減，因此，在上的最大值為，由是奇函數(shù)得在上的最大值為，由的正周期為，則在R上的最大值為，C正確；對于D，由選項(xiàng)C得，，，，又，則，所以當(dāng)時(shí)，，D正確．故選：BCD12.設(shè)函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的正整數(shù)k可能是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】AB【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，再構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)推得在上存在零點(diǎn)，進(jìn)而求得，故得，從而可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上恒成立，令，則，，再令，則，故在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，所以在上存在零點(diǎn)，且，所以當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增；故，因?yàn)椋?，所以由?故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)______【答案】1【解析】【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)可知，再由不恒為0，可得的值.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以由得，，即，故，因?yàn)?，所以不恒?，故.故答案為：1.14.寫出一個(gè)定義域?yàn)橹涤驗(yàn)榈暮瘮?shù)_______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題為開放型題目，答案有多個(gè)，但定義域?yàn)?，值域?yàn)榈暮瘮?shù)容易聯(lián)想到定義域?yàn)?，值域?yàn)槿呛瘮?shù)，而值域可以通過加絕對值來處理，由此可以得到答案.【詳解】令，則易知其定義域?yàn)?，而由得，即的值域?yàn)椋蕽M足題意.顯然也滿足題意，即答案不唯一，這里以為代表.故答案為：.15.已知，，直線與曲線相切，則的最小值為___________.【答案】8【解析】【分析】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出，進(jìn)而得到關(guān)系，再由均值不等式可得出答案.【詳解】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則解得所以，即則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào).故答案為：816.已知函數(shù)，直線l的方程為，過函數(shù)上任意一點(diǎn)P作與l夾角為的直線，交l于點(diǎn)A，則的最小值為_______.【答案】【解析】【分析】利用已知將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到直線l的距離為d，即可得出當(dāng)過點(diǎn)P的的切線與直線l平行時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最小，再通過求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于直線l的斜率，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再通過點(diǎn)到直線的距離得出d，即可代入與d的關(guān)系式得出答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，點(diǎn)P作與l夾角為，，即，要使最小，只需d最小即可，則當(dāng)過點(diǎn)P的的切線與直線l平行時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最小，即d最小，設(shè)，求導(dǎo)得，即時(shí)d最小，此時(shí)，，則，則，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，第17題10分，第題各12分，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)函數(shù).（1）解關(guān)于x的不等式；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）對a分類討論：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí).分別求出對應(yīng)的解集；（2）利用分離參數(shù)法得到，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出a的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.【小問2詳解】因?yàn)?，所以由可化為：，因（?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立），所以.所以a的取值范圍為.18.如圖，在四邊形中，（1）求角的值；（2）若，，求四邊形的面積【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡得，再判斷得，結(jié)合，即可求解得；（2）由余弦定理求解得，再由正弦定理以及，可得，從而解得，然后計(jì)算和面積和即可.【小問1詳解】，因?yàn)?，得，或，解得或，因?yàn)椋?，【小?詳解】在中，，在中，，，，，得，，所以四邊形的面積為19.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值（2）若有唯一極值點(diǎn)，求關(guān)于的不等式的解集.【答案】（1）極大值為，極小值為.（2）【解析】【分析】(1)直接利用導(dǎo)函數(shù)求極值即可；(2)首先結(jié)合已知條件得到，然后求解不等式即可.【小問1詳解】由題意可知，定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，則或；，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值為，極小值為.小問2詳解】由題意可知，有唯一的正解，從而，結(jié)合極值點(diǎn)定義可知，二次函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，從而由韋達(dá)定理可知，，即，從而，因?yàn)?，從而，故關(guān)于的不等式的解集為.20.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，滿足.（1）證明（2）求所有正整數(shù)k，m的值，使得和同時(shí)成立【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由結(jié)合已知條件得，，進(jìn)而得到，再利用正弦定理邊化角即可求解；（2）由得，,再利用正余弦定理化簡得，結(jié)合條件得，即，再分析求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，即，由正弦定理得，其中為的外接圓半徑，所以.【小問2詳解】由，可知，則由正、余弦定理得到，化簡得，因?yàn)?，，所以，即，因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以由可知為2的正整數(shù)因式1或2，故，所以，即，所以.21.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)）在某一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖象列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表xx30000（1）求出的解析式，并寫出上表中的x1；（2）將的圖象向右移個(gè)單位得到的圖象，若總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)列出方程組求解即可求解；（2）根據(jù)圖象變換先求出的表達(dá)式，然后令，，則原問題轉(zhuǎn)化為在有解，令，，然后分和兩種情況討論，求出的最大值即可求解.【小問1詳解】解：由題意，，解得，所以，；【小問2詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到的圖象，所以，所以若總存在，使得成立即為總存在，使得成立，設(shè)，則，且在有解，令，，當(dāng)，即時(shí)，，所以；當(dāng)，即時(shí)，，所以，與相矛盾，舍去.綜上，.22.已知函數(shù)，其中（1）若，證明f（x）在上存在唯一的零點(diǎn).（2）若，設(shè)為在上的零點(diǎn)，證明：在上有唯一的零點(diǎn)，且【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】(1)依題意轉(zhuǎn)化為有唯一解即可;(2)利用等量替換，放縮轉(zhuǎn)化為即可證明.【小問1詳解】令,即,即,令因?yàn)?所以恒成立,所以在單調(diào)遞增,且,,即，由零點(diǎn)存在性定理知時(shí),存在唯一零點(diǎn),所以時(shí)方程有唯