2022年黑龍江大慶市三站中學(xué)八年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年八上數(shù)學(xué)期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．2211年3月11日，里氏1．2級的日本大地震導(dǎo)致當(dāng)天地球的自轉(zhuǎn)時(shí)間較少了2．22222216秒，將2．22222216用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．2．的值是（）A．16 B．2 C． D．3．已知y2+my+1是完全平方式，則m的值是（）A．2 B．±2 C．1 D．±14．已知一次函數(shù)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，且，則函數(shù)的圖象大致是A． B． C． D．5．把式子2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）分解因式，結(jié)果是（）A．（a﹣2）（2x+y） B．（2﹣a）（2x+y）C．（a﹣2）（2x﹣y） D．（2﹣a）（2x﹣y）6．如圖，已知，點(diǎn)，，，…在射線上，點(diǎn)，，，…在射線上，，，，…均為等邊三角形，若，則的邊長為（）A．8 B．16 C．24 D．327．如圖，點(diǎn)P是∠AOB平分線I上一點(diǎn)，PD⊥OB，垂足為D，若PD＝3，則點(diǎn)P到邊OA的距離是（）A． B．2 C．3 D．48．如圖，將一根長13厘米的筷子置于底面直徑為6厘米，高為8厘米的圓柱形杯子中，則筷子露在杯子外面的長度至少為（）厘米．A．1 B．2 C．3 D．49．將點(diǎn)向左平移3個(gè)長度單位，再向上平移2個(gè)長度單位得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．10．計(jì)算(-3)mA．3m-1 B．(-3)m-1 C．-二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=28°，則∠C=______．12．若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則_______.13．若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x應(yīng)滿足的條件是______．14．若代數(shù)式的值為零，則x的取值應(yīng)為_____．15．△ABC與△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=．現(xiàn)將△DEF與△ABC按如圖所示的方式疊放在一起，使△ABC保持不動，△DEF運(yùn)動，且滿足點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)動（不與B，C重合），邊DE始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與AC交于點(diǎn)M．在△DEF運(yùn)動過程中，若△AEM能構(gòu)成等腰三角形，則BE的長為______．16．四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝72°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN的周長最小時(shí)，∠AMN+∠ANM的度數(shù)為_______17．若長方形的面積為a2+a，長為a+ab，則寬為_____．18．如圖，在一根長90cm的燈管上，纏滿了彩色絲帶，已知可近似地將燈管看作圓柱體，且底面周長為4cm，彩色絲帶均勻地纏繞了30圈，則彩色絲帶的總長度為__．三、解答題(共66分)19．（10分）嶗山區(qū)某班全體同學(xué)參加了為一名因工受傷女教師捐款的活動，該班同學(xué)捐款情況的部分統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：（1）求該班的總?cè)藬?shù)；（2）將條形圖補(bǔ)充完整，并寫出捐款金額的眾數(shù)；（3）該班平均每人捐款多少元？20．（6分）如圖，在等邊△ABC的外側(cè)作直線AP，點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AD，BD，其中BD交直線AP于點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合）．（1）若∠CAP＝20°．①求∠AEB＝°；②連結(jié)CE，直接寫出AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系．（2）若∠CAP＝α（0°＜α＜120°）．①∠AEB的度數(shù)是否發(fā)生變化，若發(fā)生變化，請求出∠AEB度數(shù)；②AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并證明你的結(jié)論．21．（6分）求證：有兩個(gè)角和其中一個(gè)角的角平分線對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．22．（8分）如圖，是等邊三角形，為上兩點(diǎn)，且，延長至點(diǎn)，使，連接．（1）如圖1，當(dāng)兩點(diǎn)重合時(shí)，求證：；（2）延長與交于點(diǎn)．①如圖2，求證：；②如圖3，連接，若，則的面積為______________．23．（8分）如圖，已知在中，，，，是上的一點(diǎn)，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線方向以每秒個(gè)單位的速度向右運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為．連結(jié)．（1）當(dāng)秒時(shí)，求的長度(結(jié)果保留根號)；（2）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；（3）過點(diǎn)做于點(diǎn)．在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，當(dāng)為何值時(shí)，能使？24．（8分）（1）計(jì)算（2）運(yùn)用乘法公式計(jì)算（3）因式分解：（4）因式分解：25．（10分）如圖，，分別是，中點(diǎn)，，垂足為，，垂足為，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明．26．（10分）如圖1，點(diǎn)M為直線AB上一動點(diǎn)，△PAB，△PMN都是等邊三角形，連接BN，(1)M點(diǎn)如圖1的位置時(shí)，如果AM=5,求BN的長；(2)M點(diǎn)在如圖2位置時(shí)，線段AB、BM、BN三者之間的數(shù)量關(guān)系__________________；(3)M點(diǎn)在如圖3位置時(shí)，當(dāng)BM=AB時(shí)，證明：MN⊥AB．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×12n的形式，其中1≤|a|＜12，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【詳解】，故選A.【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×12n的形式，其中1≤|a|＜12，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．2、B【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義求值即可．【詳解】=1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根，屬于基礎(chǔ)題型．3、B【分析】完全平方公式:a1±1ab+b1的特點(diǎn)是首平方，尾平方，首尾底數(shù)積的兩倍在中央，這里首末兩項(xiàng)是y和1的平方，那么中間項(xiàng)為加上或減去y和1的乘積的1倍．【詳解】∵（y±1）1=y1±1y+1，∴在y1+my+1中，my=±1y，解得m=±1．故選B.【點(diǎn)睛】本題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的1倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式．注意積的1倍的符號，避免漏解．4、A【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得到k＜0，而kb＜0，則b＞0，所以一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、四象限，與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，據(jù)此即可求得答案.【詳解】∵一次函數(shù)y=kx+b，y隨著x的增大而減小，∴k＜0，∴一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、四象限；∵kb＜0，∴b＞0，∴圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，∴一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象：一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）是一條直線，當(dāng)k＞0，圖象經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0，圖象經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小；圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b）．5、A【分析】根據(jù)提公因式法因式分解即可.【詳解】2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）＝2x（a﹣2）＋y（a﹣2）＝（a﹣2）（2x+y）．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查的是因式分解，掌握用提公因式法因式分解是解決此題的關(guān)鍵.6、D【分析】先根據(jù)等邊三角形的各邊相等且各角為60°得：∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，再利用外角定理求∠OB1A1=30°，則∠MON=∠OB1A1，由等角對等邊得：B1A1=OA1=2，得出△A1B1A2的邊長為2，再依次同理得出：△A2B2A3的邊長為4，△A4B4A5的邊長為：24=16，則△A5B5A6的邊長為：25=1．【詳解】解：∵△A1B1A2為等邊三角形，

∴∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，

∵∠MON=30°，

∴∠OB1A1=60°-30°=30°，

∴∠MON=∠OB1A1，

∴B1A1=OA1=2，

∴△A1B1A2的邊長為2，

同理得：∠OB2A2=30°，

∴OA2=A2B2=OA1+A1A2=2+2=4，

∴△A2B2A3的邊長為4，

同理可得：△A3B3A4的邊長為：23=8，

△A4B4A5的邊長為：24=16，

則△A5B5A6的邊長為：25=1，

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和外角定理，難度不大，需要運(yùn)用類比的思想，依次求出各等邊三角形的邊長，并總結(jié)規(guī)律，才能得出結(jié)論．7、C【分析】作PE⊥OA于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答．【詳解】作PE⊥OA于E，∵點(diǎn)P是∠AOB平分線OC上一點(diǎn)，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD=3，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．8、C【分析】首先應(yīng)根據(jù)勾股定理求得圓柱形水杯的最大線段的長度，即＝10，故筷子露在杯子外面的長度至少為多少可求出．【詳解】解：如圖所示，筷子，圓柱的高，圓柱的直徑正好構(gòu)成直角三角形，∴勾股定理求得圓柱形水杯的最大線段的長度，即＝10（cm），∴筷子露在杯子外面的長度至少為13﹣10＝3cm，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用.9、C【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的平移與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可得到答案．【詳解】∵點(diǎn)向左平移3個(gè)長度單位，再向上平移2個(gè)長度單位得到點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是(-5，-1),故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的平移與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，掌握點(diǎn)的平移與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．10、C【解析】直接提取公因式（-3）m-1，進(jìn)而分解因式即可．【詳解】（-3）m+2×（-3）m-1=（-3）m-1（-3+2）=-（-3）m-1．故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確分解因式是解題關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、38°【解析】首先發(fā)現(xiàn)此圖中有兩個(gè)等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等找到角之間的關(guān)系．結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算．【詳解】∵AB=AD=DC，∠BAD=28°∴∠B=∠ADB=（180°-28°）÷2=76°．∴∠C=∠CAD=76°÷2=38°．故答案為38°．【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；求得∠ADC=76°是正確解答本題的關(guān)鍵．12、【分析】利用關(guān)于y軸對稱“縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”求得m、n，進(jìn)而得出答案．【詳解】∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，∴，，解得：，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的概念，正確記憶橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．13、x≥【分析】由二次根式有意義的條件得：2x﹣1≥0，然后解不等式即可．【詳解】解：由題意得：2x﹣1≥0，解得：x≥，故答案為：x≥．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件,即掌握二次根式有意義的條件為被開方數(shù)不為0是解答本題的關(guān)鍵．14、1．【分析】分式的值為2的條件是：（1）分子=2；（1）分母≠2．兩個(gè)條件需同時(shí)具備，缺一不可．【詳解】解：若代數(shù)式的值為零，則（x﹣1）=2或（x﹣1）=2，即x=1或1，∵|x|﹣1≠2，x≠1，∴x的取值應(yīng)為1，故代數(shù)式的值為零，則x的取值應(yīng)為1．【點(diǎn)睛】由于該類型的題易忽略分母不為2這個(gè)條件，所以常以這個(gè)知識點(diǎn)來命題．15、2﹣或【分析】分若AE＝AM則∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME則∠MAE＝∠AEM＝45°三種情況討論解答即可；【詳解】解：①若AE＝AM則∠AME＝∠AEM＝45°∵∠C＝45°∴∠AME＝∠C又∵∠AME＞∠C∴這種情況不成立；②若AE＝EM∵∠B＝∠AEM＝45°∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135°∴∠BAE＝∠MEC在△ABE和△ECM中，，∴△ABE≌△ECM（AAS），∴CE＝AB＝，∵AC＝BC＝AB＝2，∴BE＝2﹣；③若MA＝ME則∠MAE＝∠AEM＝45°∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＝45°∴AE平分∠BAC∵AB＝AC，∴BE＝BC＝．故答案為2﹣或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想是解答本題的關(guān)鍵．16、144°【分析】根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點(diǎn)的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，進(jìn)而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【詳解】解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值．∵四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝72°∴∠DAB=108°，∴∠AA′M+∠A″=72°，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×72°=144°，故填：144°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．17、【分析】運(yùn)用長方形的寬等于面積除以長進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：∵長方形的面積為a2+a，長為a+ab，∴寬為：（a2+a）÷（a+ab）＝＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查整式除法和因式分解，其中對面積和長因式分解是解答本題的關(guān)鍵.18、150cm【解析】試題解析：如圖，彩色絲帶的總長度為=150cm.

三、解答題(共66分)19、（1）50；（2）補(bǔ)圖見解析，眾數(shù)是1；（3）13.1【分析】（1）用捐款15元的人數(shù)除以對應(yīng)的百分比即可．（2）用總?cè)藬?shù)減去A，C，D，E的人數(shù)就是B的人數(shù)，據(jù)數(shù)補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖并找出眾數(shù)．（3）用總錢數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可．【詳解】（1）該班總?cè)藬?shù)是14÷28%＝50（人）．（2）捐款1元的人數(shù)為：50﹣9﹣14﹣7﹣4＝16（人）補(bǔ)充圖形，眾數(shù)是1．（3）（5×9+1×16+15×14+20×7+25×4）＝×655＝13.1（元）．答：該班平均每人捐款13.1元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，平均數(shù)和眾數(shù)，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．20、（1）①1；②CE+AE＝BE；（2）①1°；②結(jié)論不變：CE+AE＝BE，證明見解析【分析】（1）①證明AB＝AD，推出∠ABD＝∠D＝40°，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題．②結(jié)論：CE+AE＝BE．在BE上取點(diǎn)M使ME＝AE，證明△BAM≌△CAE（SAS），推出BM＝EC可得結(jié)論．（2）①結(jié)論：∠AEB的度數(shù)不變，∠AEB＝1°．證明方法類似（1）．②結(jié)論不變：CE+AE＝BE．證明方法同（1）．【詳解】解：（1）①在等邊△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝1°，由對稱可知：AC＝AD，∠PAC＝∠PAD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠D，∵∠PAC＝20°，∴∠PAD＝20°，∴∠BAD＝∠BAC+∠PAC+∠PAD＝100°，∴∠D＝（180°﹣∠BAD）＝40°，∴∠AEB＝∠D+∠PAD＝1°．故答案為：1．②結(jié)論：CE+AE＝BE．理由：在BE上取點(diǎn)M使ME＝AE，∵EM＝EA，∠AEM＝1°，∴△AEM是等邊三角形，∴AM＝AE，∠MAE＝∠BAC＝1°，∴∠MAB＝∠CAE，∵AB＝AC，∴△BAM≌△CAE（SAS），∴BM＝EC，∴CE+AE＝BM+EM＝BE．（2）①結(jié)論：∠AEB的度數(shù)不變，∠AEB＝1°．理由：在等邊△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝1°由對稱可知：AC＝AD，∠EAC＝∠EAD，∵∠EAC＝∠DAE＝α，∵AD＝AC＝AB，∴∠D＝（180°﹣∠BAC﹣2α）＝1°﹣α，∴∠AEB＝1﹣α+α＝1°．②結(jié)論不變：CE+AE＝BE．理由：在BE上取點(diǎn)M使ME＝AE，∵EM＝EA，∠AEM＝1°，∴△AEM是等邊三角形，∴AM＝AE，∠MAE＝∠BAC＝1°，∴∠MAB＝∠CAE，∵AB＝AC，∴△BAM≌△CAE（SAS），∴BM＝EC，∴CE+AE＝BM+EM＝BE．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．21、見解析【分析】將原命題寫出已知和求證，然后進(jìn)行證明，根據(jù)角平分線定義可得∠ABD=∠A′B′D′=∠ABC，然后證明△ABD≌△A′B′D′可得AB=A′B′，再證明△ABC≌△A′B′C′即可．【詳解】已知：△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A'，∠ABC=∠A'B′C′，∠ABC、∠A'B′C′的角平分線BD=B′D′，

求證：△ABC≌△A′B′C′．

證明：∵∠ABC=∠A'B′C′且∠ABC、∠A'B′C′的角平分線分別為BD和B′D′，

∴∠ABD=∠A′B′D′=∠ABC，∵在△ABD和△A′B′D′中，

∴△ABD≌△A′B′D′（AAS），

∴AB=A′B′，

在△ABC和△A′B′C′中，

∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．22、（1）見解析；（1）①見解析；②1．【分析】（1）當(dāng)D、E兩點(diǎn)重合時(shí)，則AD=CD，然后由等邊三角形的性質(zhì)可得∠CBD的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可得∠F的度數(shù)，于是可得∠CBD與∠F的關(guān)系，進(jìn)而可得結(jié)論；（1）①過點(diǎn)E作EH∥BC交AB于點(diǎn)H，連接BE，如圖4，則易得△AHE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知條件可得EH=CF，∠BHE=∠ECF=110°，BH=EC，于是可根據(jù)SAS證明△BHE≌△ECF，可得∠EBH=∠FEC，易證△BAE≌△BCD，可得∠ABE=∠CBD，從而有∠FEC=∠CBD，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠BGE=∠BCD，進(jìn)而可得結(jié)論；②易得∠BEG=90°，于是可知△BEF是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)易求得BE和BF的長，過點(diǎn)E作EM⊥BF于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CN⊥EF于點(diǎn)N，如圖5，則△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性質(zhì)可依次求出BM、MC、CF、FN、CN、GN的長，進(jìn)而可得△GCN也是等腰直角三角形，于是有∠BCG=90°，故所求的△BCG的面積=，而BC和CG可得，問題即得解決．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，當(dāng)D、E兩點(diǎn)重合時(shí)，則AD=CD，∴，∵，∴∠F=∠CDF，∵∠F+∠CDF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBD=∠F，∴；（1）①∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，過點(diǎn)E作EH∥BC交AB于點(diǎn)H，連接BE，如圖4，則∠AHE=∠ABC=60°，∠AEH=∠ACB=60°，∴△AHE是等邊三角形，∴AH=AE=HE，∴BH=EC，∵，CD=CF，∴EH=CF，又∵∠BHE=∠ECF=110°，∴△BHE≌△ECF（SAS），∴∠EBH=∠FEC，EB=EF，∵BA=BC，∠A=∠ACB=60°，AE=CD，∴△BAE≌△BCD（SAS），∴∠ABE=∠CBD，∴∠FEC=∠CBD，∵∠EDG=∠BDC，∴∠BGE=∠BCD=60°；②∵∠BGE=60°，∠EBD=30°，∴∠BEG=90°，∵EB=EF，∴∠F=∠EBF=45°，∵∠EBG=30°，BG=4，∴EG=1，BE=1，∴BF=，，過點(diǎn)E作EM⊥BF于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CN⊥EF于點(diǎn)N，如圖5，則△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，∴，∵∠ACB=60°，∴∠MEC=30°，∴，∴，，∴，∴，∴，∴∠GCF=90°=∠GCB，∴，∴△BCG的面積=．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形與等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識，涉及的知識點(diǎn)多、難度較大，正確添加輔助線、熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解①題的關(guān)鍵，靈活應(yīng)用等腰直角三角形的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性質(zhì)解②題的關(guān)鍵．23、（1）2；（2）4或16或2；（3）2或1．【分析】（1）根據(jù)題意得BP=2t，從而求出PC的長，然后利用勾股定理即可求出AP的長；（2）先利用勾股定理求出AB的長，然后根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論，分別列出方程即可求出t的值；（3）根據(jù)點(diǎn)P的位置分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形，根據(jù)勾股定理求出AE，分別利用角平分線的性質(zhì)和判定求出AP，利用勾股定理列出方程，即可求出t的值．【詳解】（1）根據(jù)題意，得BP=2t，∴PC=16－2t=16－2×3=10，∵AC=8，在Rt△APC中，根據(jù)勾股定理，得AP===2．答：AP的長為2．（2）在Rt△ABC中，AC=8，BC=16，根據(jù)勾股定理，得AB===8若BA=BP，則2t=8，解得：t=4；若AB=AP，∴此時(shí)AC垂直平分BP則BP=32，2t=32，解得：t=16；若PA=PB=2t，CP=16－2t∵PA2=CP2＋AC2則(2t)2=(16－2t)2＋82，解得：t=2．答：當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t的值為4、16、2．（3）若P在C點(diǎn)的左側(cè)，連接PDCP=16－2t∵DE=DC=3，AC=8，，DC⊥PC∴PD平分∠EPC，AD=AC－DC=2根據(jù)勾股定理可得AE=，∴∠EPD=∠CPD∴∠EDP=90°－∠EPD=90°－∠CPD=∠CDP∴DP平分∠EDC∴PE=CP=16－2t∴AP=AE＋EP=20－2t∵PA2=CP2＋AC2則(20－2t)2=(16－2t)2＋82，解得：t=2；若P在C點(diǎn)的右側(cè)，連接PDCP=2t－16∵DE=DC=3，AC=8，，DC⊥PC∴PD平分∠EPC，AD=AC－DC=2根據(jù)勾股定理可得AE=∴∠EPD=∠CPD∴∠EDP=90°－∠EPD=90°－∠CPD=∠CDP∴DP平分∠EDC∴PE=CP=2t－16∴AP=AE＋EP=2t－12∵PA2=CP2＋AC2則(2t－12)2=(2t－16)2＋82，解得：t=1；答：當(dāng)t為2或1時(shí)，能使DE=CD．【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理的應(yīng)用、等腰三角形的定義、角平分線的性質(zhì)和判定，掌握利用勾股定理解直角三角形、根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論和角平分線的性質(zhì)和判定是解決此題的關(guān)鍵．