高中數(shù)學立體幾何知識點歸納總結

.高中數(shù)學立體幾何學問點歸納總結一、立體幾何學問點歸納

第一章 空間幾何體（一）空間幾何體的結構特點

（1）多面體——由如干個平面多邊形圍成的幾何體 .圍成多面體的各個多邊形叫叫做多面體的面,相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱,棱與棱的公共點叫做頂點； 旋轉(zhuǎn)體——把一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成的封閉幾何體；其 中,這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸；

（2）柱,錐,臺,球的結構特點1.棱柱

1.1棱柱——有兩個面相互平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行,由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱；F'E'D'底面C'側(cè)面A'B'1.2相關棱柱幾何體系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的側(cè)棱ED關系：斜棱柱FC①棱柱棱垂直于底面直棱柱底面是正多形正棱柱AB其他棱柱直平行六面體底面為矩形②四棱柱底面為平行四邊形平行六面體側(cè)棱垂直于底面長方體底面為正方形正四棱柱側(cè)棱與底面邊長相等正方體1.3棱柱的性質(zhì)：

①側(cè)棱都相等,側(cè)面是平行四邊形；

②兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；

③過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；

④直棱柱的側(cè)棱長與高相等,側(cè)面與對角面是矩形；1.4長方體的性質(zhì)：①長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的A1D1B1C1平方和；【如圖】AC2AB2AD2AA121D②（明白）長方體的一條對角線AC與過頂點A的三條ABC棱所成的角分別是,,,那么部分內(nèi)容來源于網(wǎng)絡,有侵權請聯(lián)系刪除！. 2coscos2 2cos1,sin2sin2sin22；,,,③（明白）長方體的一條對角線AC與過頂點A的相鄰三個面所成的角分別是就cos2 2coscos22,sin2sin2sin21. 1.5側(cè)面綻開圖：正n棱柱的側(cè)面綻開圖是由邊的矩形.n個全等矩形組成的以底面周長和側(cè)棱長為鄰1.6面積、體積公式：S直棱柱側(cè)ch2S底,V棱柱S底h（其中c為底面周長,hS直棱柱全ch為棱柱的高）2.圓柱2.1圓柱——以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其A'B'O'C'軸余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.母線軸截面2.2圓柱的性質(zhì)：上、下底及平行于底面的截面都是等圓；過軸的截面（軸截面）是全等的矩形.AOC側(cè)面2.3側(cè)面綻開圖：圓柱的側(cè)面綻開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形.B底面2.4面積、體積公式： 2

rh（其中r為底面半徑,h為圓柱高）S圓柱側(cè)=2rh；S圓柱全=2rh2r2,V圓柱=S底h=3.棱錐3.1棱錐——有一個面是多邊形,其余各側(cè)棱高S頂點側(cè)面面是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐；正棱錐——假如有一個棱錐的底面是正多邊形,并且頂點在底面的射影是底面的中心,這樣的棱錐叫做正棱錐；底面ADOBHC斜高3.2棱錐的性質(zhì)：①平行于底面的截面是與底面相像的正多邊形,相像比等于頂點到截面的距離與頂點究竟面的距離之比；②正棱錐各側(cè)棱相等,各側(cè)面是全等的等腰三角形；③正棱錐中六個元素,即側(cè)棱、高、斜高、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影、斜高在底面的射影、底面邊長一半,構成四個直角三角形；）（如上圖：SOB,SOH,SBH,OBH為直角三角形）3.3側(cè)面綻開圖：正n棱錐的側(cè)面綻開圖是有n個全等的等腰三角形組成的；3.4面積、體積公式： S正棱錐側(cè)=12周長,h側(cè)面斜高,h棱錐的高）ch,S正棱錐全=12chS底,V棱錐=13S底h.（其中c為底面部分內(nèi)容來源于網(wǎng)絡,有侵權請聯(lián)系刪除！.4.圓錐4.1圓錐——以直角三角形的始終角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐；4.2圓錐的性質(zhì)：

①平行于底面的截面都是圓,截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點究竟面的距離之比；②軸截面是等腰三角形；如右圖：SAB母線lrS頂點側(cè)面③如右圖：l2h2r2.h軸4.3圓錐的側(cè)面綻開圖：圓錐的側(cè)面綻開圖是以頂點為圓心,以母線長為半徑的扇形；4.4面積、體積公式：A軸截面BS圓錐側(cè)=rl,S圓錐全=rrl〕,V圓錐=1 2

rh（其中3Or為底面半徑,h為圓錐的高,l為母線長）S底面5.棱臺5.1棱臺——用一個平行于底面的平面去截棱錐,我們把截面與底面之間的部分稱為棱臺.上底面DD'B'C'NC側(cè)棱5.2正棱臺的性質(zhì)：高A'O'M側(cè)面①各側(cè)棱相等,各側(cè)面都是全等的等腰梯形；②正棱臺的兩個底面以及平行于底面的截面是下底面OB斜高正多邊形；頂點A③如右圖：四邊形OMNOOBBO都是直角梯形④棱臺常常補成棱錐討論.如右圖：SOM與SON,S`O`B`與SOB相像,留意考慮相像比.5.3棱臺的表面積、體積公式：S全＝S上底＋S下底＋S側(cè),V棱臺＝（＋1S3SS`Sh,（其中SS是上,下底面面積,h為棱臺的高）S6.圓臺6.1圓臺——用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,底面與截面之間的部分叫做圓臺.R2〔軸lARrO'上底面6.2圓臺的性質(zhì)：D①圓臺的上下底面,與底面平行的截面都是圓；h側(cè)面②圓臺的軸截面是等腰梯形；母線軸截面③圓臺常常補成圓錐來討論；如右圖：SOA與SOB相像,留意相像比的應用.B,OC下底面6.3圓臺的側(cè)面綻開圖是一個扇環(huán)；Rrl6.4圓臺的表面積、體積公式：S全＝r2部分內(nèi)容來源于網(wǎng)絡,有侵權請聯(lián)系刪除！.V圓臺＝（＋13SS`Sh＝（13r2rRR2〕h,（其中r,R為上下底面半徑,h為高）7.球

7.1球——以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體,簡稱球 .或空間中,與定點距離等于定長的點的集合叫做球面,球面所圍成的幾何體叫做球體,簡稱球；7.2球的性質(zhì)：

①球心與截面圓心的連線垂直于截面；②r 2Rd2（其中,球心到截面的距離為d、球心軸球面

半徑球的半徑為R、截面的半徑為r）7.3球與多面體的組合體：球與正四周體,球與長O方體,球與正方體等的內(nèi)接與外切.A'D'OB'C'A'OC'ARrdBO1DCABAc注：球的有關問題轉(zhuǎn)化為圓的問題解決.7.4球面積、體積公式：S球4R2,V球4 3R（其中R為球的半徑）3例：（06年福建卷）已知正方體的八個頂點都在球面上,且球的體積為32,就正方體的棱3長為_________

（二）空間幾何體的三視圖與直觀圖1.投影：區(qū)分中心投影與平行投影；平行投影分為正投影和斜投影；2.三視圖——是觀看者從三個不同位置觀看同一個空間幾何體而畫出的圖形；正視圖——光線從幾何體的前面對后面正投影,得到的投影圖；

側(cè)視圖——光線從幾何體的左面對右面正投影,得到的投影圖；正視圖——光線從幾何體的上面對下面正投影,得到的投影圖；注：（1）俯視圖畫在正視圖的下方,“長度”與正視圖相等；側(cè)視圖畫在正視圖的右邊,“高度”與正視圖相等,“寬度”與俯視圖；（簡記為“正、側(cè)一樣高,正、俯一樣長,俯、側(cè)一樣寬” .（2）正視圖,側(cè)視圖,俯視圖都是平面圖形,而不是直觀圖；3.直觀圖：

3.1直觀圖——是觀看著站在某一點觀看一個空間幾何體而畫出的圖形；直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形；3.2斜二測法：部分內(nèi)容來源于網(wǎng)絡,有侵權請聯(lián)系刪除！.step1：在已知圖形中取相互垂直的軸Ox、Oy,（即取xoy90）；135〕,它們確定的step2：畫直觀圖時,把它畫成對應的軸oxoy,取xoy'45〔or平面表示水平平面；step3：在坐標系 xoy中畫直觀圖時,已知圖形中平行于數(shù)軸的線段保持平行性不變,平行于x軸（或在x軸上）的線段保持長度不變,平行于y軸（或在y軸上）的線段長度減半；結論：一般地,采納斜二測法作出的直觀圖面積是原平面圖形面積的2倍..4解決兩種常見的題型時應留意：（1）由幾何體的三視圖畫直觀圖時,一般先考慮“俯視圖”（2）由幾何體的直觀圖畫三視圖時,能觀察的輪廓線和棱畫成實線,不能觀察的輪廓線和棱畫成虛線；其次章 點、直線、平面之間的位置關系（一） 平面的基本性質(zhì)1.平面——無限延展,無邊界1.1三個定理與三個推論公理1：假如一條直線上有兩點在一個平面內(nèi),那么直線在平面內(nèi)；用途：常用于證明直線在平面內(nèi) .圖形語言： 符號語言：公理2：不共線．．．的三點確定一個平面 . 圖形語言：推論1：直線與直線外的一點確定一個平面 .圖形語言：推論2：兩條相交直線確定一個平面 . 圖形語言：推論3：兩條平行直線確定一個平面 . 圖形語言：用途：用于確定平面；公理3：假如兩個平面有一個公共點,那么它們?nèi)杂泄颤c,這些公共點的集合是一條直線（兩個平面的交線）.用途：常用于證明線在面內(nèi),證明點在線上.圖形語言：符號語言：形語言,文字語言,符號語言的轉(zhuǎn)化：部分內(nèi)容來源于網(wǎng)絡,有侵權請聯(lián)系刪除！.（二）空間圖形的位置關系共面:a b=A,a//b1.空間直線的位置關系：異面:a與b異面1.1 平行線的傳遞公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行；符號表述：a//bb //c a //c1.2等角定理：假如一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,那么這兩個角 相等或互補；1.3異面直線：（1）定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線——異面直線；（2）判定定理：連平面內(nèi)的一點與平面外一點的直線與這個平面內(nèi)不過此點的直線是異面直線；部分內(nèi)容來源于網(wǎng)絡,有侵權請聯(lián)系刪除！.P圖形語言：Aa符號語言：PPA與異面a.b'AaAa1.4異面直線所成的角：（1）范疇：0,90；（2）作異面直線所成的角：平移法如右圖,在空間任取一點O,過O作a'//,ab'//b,就aba'所成的角為異面直線ab所成的角；特殊地,找異面直線所aO成的角時,常常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特.b殊點（如線段中點,端點等）上,形成異面直線所成的角l2.直線與平面的位置關系：ll//Al圖形語言：平行： //3.平面與平面的位置關系：相交斜交：=a垂直：（三）平行關系（包括線面平行,面面平行）1.線面平行：①定義：直線與平面無公共點//.（線線平行線面平行）【如圖】a//b②判定定理：aab③性質(zhì)定理：a//a//b（線面平行線線平行）【如圖】ab部分內(nèi)容來源于網(wǎng)絡,有侵權請聯(lián)系刪除！.④判定或證明線面平行的依據(jù)： （i）定義法（反證）：l l // （用于判定）；（ii）a//b//判定定理： a a// “線線平行 面面平行”（用于證明）；（iii） a//abb a“面面平行 線面平行”（用于證明）；（4）b a// （用于判定）；a2.線面斜交：lAAP①直線與平面所成的角（簡稱線面角）：如直線與平面斜交,就平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角；【如圖】PO于O,就AO是PA在平面內(nèi)的射影,就PAO就是直線PA與平面O所成的角；范疇：0,90,注：如l或l//,就直線l與平面所成的角為0；如l,就直線l與平面所成的角為90；3.面面平行：①定義：//；②判定定理：假如一個平面內(nèi)的兩條相交直