高一數(shù)學(xué)知識點匯總講解大全

高中數(shù)學(xué)知識點匯總（高一）....................................................................................................................1一、集合和命題............................................................................................................................................2二、不等式....................................................................................................................................................4三、函數(shù)的基本性質(zhì)....................................................................................................................................6四、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)..........................................................................................................12（一）冪函數(shù)..............................................................................................................................................12（二）指數(shù)指數(shù)函數(shù)...............................................................................................................................13（三）反函數(shù)的概念及其性質(zhì)..................................................................................................................14（四）對數(shù)對數(shù)函數(shù)...............................................................................................................................15五、三角比..................................................................................................................................................17六、三角函數(shù)..............................................................................................................................................24一、集合：（1）集合的元素的性質(zhì)：確定性、互異性和無序性；（2）元素與集合的關(guān)系：①a屬于集合；aAA②a不屬于集合．a(chǎn)AA（3）常用的數(shù)集：N自然數(shù)集；N*正整數(shù)集；整數(shù)集；ZQ有理數(shù)集；實數(shù)集；空集；復(fù)數(shù)集；RCZQR；；．ZQR（4）集合的表示方法：有限集列舉法集合；無限集描述法例如：①列舉法：{z,h,a,,g}；②描述法：{xx．（5）集合之間的關(guān)系：AB①AB集合是集合的子集；特別地，AA；AC．ABBCAB②或AB集合與集合相等；ABAB③AB集合是集合的真子集．AB例：NZQRC；NZQRC．④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（6）集合的運算：①交集：AB{xxx}集合A與集合B的交集；②并集：AB{xxx}集合A與集合B的并集；③補集：設(shè)U為全集，集合A是U的子集，則由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做集合A在全集U中的補集，記作CA．U④得摩根定律：C(AB)CACB；C(AB)CACBUUUUUU（7）集合的子集個數(shù)：若集合有n(nN)個元素，那么該集合有2個子集；21個真子集；21個非空子集；Annn2n2個非空真子集．二、四種命題的形式：（1）命題：能判斷真假的語句．（2）四種命題：如果用和分別表示原命題的條件和結(jié)論，用和分別表示和的否定，那么四種命題形式就是：若，則；若，則．原命題逆命題原命題否命題逆否命題關(guān)系同真同假關(guān)系原命題逆否命題逆命題否命題（3）充分條件，必要條件，充要條件：①若，那么叫做的充分條件，叫做的必要條件；②若且，即，那么既是的充分條件，又是的必要條件，也就是說，是的充分必要條件，簡稱充要條件．③欲證明條件是結(jié)論的充分必要條件，可分兩步來證：第一步：證明充分性：條件結(jié)論；第二步：證明必要性：結(jié)論條件．（4）子集與推出關(guān)系：設(shè)A、B是非空集合，A{x}，B{y}，則AB與等價．結(jié)論：小范圍大范圍；例如：小明是上海人小明是中國人．小范圍是大范圍的充分非必要條件；大范圍是小范圍的必要非充分條件．一、不等式的性質(zhì)：1、ab,bcac；2、；abacbc115、0；6、ab00；abcd7、ab0ab(nN)；8、ab0ab(nN,n．nn*nn*二、一元一次不等式：a0b0b0解集xbxbRaa三、一元二次不等式：2222的根的判別式2axaxaxaxaxbxc0(a0)bxc0(a0)bxc0(a0)bxc0(a0)bxc0(a0)12120RR120012R12[x,x]{x}120四、含有絕對值不等式的性質(zhì)：（1）ababab；（2）aaaaaa．12n12n五、分式不等式：（1）axb0(axb)(cxd)0；（2）axb0(axb)(cxd)0．cxd六、含絕對值的不等式：cxdxaa0a0x0axaxaxaxa或xaRR七、指數(shù)不等式：（1）af(x)a(af(x)(x)；（2）aa(0af(x)(x)．(x)f(x)(x)八、對數(shù)不等式：()0x（1）logf(x)log(x)(a；f(x)x()aa(x)0（2）logf(x)log(x)(0af．f(x)(x)aa九、不等式的證明：（1）常用的基本不等式：①ab2ab(a、bR，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“”號)；22ab②ab(a、bR，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”號)；ab2a2b2ab2補充公式：ab．1122ab③abcabc(a、b、cR，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取“”號)；333abc④⑤abc(a、b、cR，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取“”號)；33aaaaaanaan(為大于1的自然數(shù)，,,,，當(dāng)且僅當(dāng)aR12nn1212nnaaa時取“”號)；12n（2）證明不等式的常用方法：①比較法；②分析法；③綜合法．一、函數(shù)的概念：（1）若自變量x因變量y，則y就是的函數(shù)，記作(；fxyfxxDx的取值范圍D函數(shù)的定義域；y的取值范圍函數(shù)的值域．求定義域一般需要注意：1①y，f(x)0；②yf(x)，()0；fxnf(x)③y(f(x))0，f(x)0；④ylogf(x)，f(x)0；a⑤ylogN，()0且()1．fxfxf(x)（2）判斷是否函數(shù)圖像的方法：任取平行于y軸的直線，與圖像最多只有一個公共點；（3）判斷兩個函數(shù)是否同一個函數(shù)的方法：①定義域是否相同；②對應(yīng)法則是否相同．二、函數(shù)的基本性質(zhì)：（1）奇偶性：yf(x),xD①“定義域D關(guān)于0Df(x)f(x)“f(x)f(x)”②、③都不成立奇偶性奇偶函數(shù)圖像性質(zhì)關(guān)于y軸對稱關(guān)于O(0,0)對稱注意：定義域包括0的奇函數(shù)必過原點O．（2）單調(diào)性和最值：IDxxI(xxD，，任取,區(qū)間1212121212xxxx12121212任取xD,存在xD,f(x)f(x)000最大值yf(x)任取xD,存在xD,f(x)f(x)000注意：①復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]②如果函數(shù)()在某個區(qū)間上是增（減）函數(shù)，那么函數(shù)()在區(qū)間上是單調(diào)函yfxyfxII數(shù)，區(qū)間叫做函數(shù)()的單調(diào)區(qū)間．yfxI（3）零點：若yf(xxD，且f(c)0，則xc叫做函數(shù)yf(x)的零點．cDyf零點定理：(x),x[a,b]存在(,)xab0yf(xx[a,b]是單調(diào)函數(shù)，f(a)fb)0(x)0f0且f(a)fb)0[a,b]上有且僅有x(a,b)f(x)0．00（4函數(shù)向左平移k向右平移k備注yf(x)yf(xk)yf(xk)yhf(x)yhf(x)k,h0（5）對稱性：①軸對稱的兩個函數(shù)：xm對稱軸函數(shù)x軸yf(x)yf(x)xf(y)xf(y)yf(2mx)2nyf(x)②中心對稱的兩個函數(shù)：yf(x)(,n)2nyf(2mx)③軸對稱的函數(shù)：函數(shù)y軸f(x)f(x)xmf(x)f(2mx)條件ab注意：()()()關(guān)于x對稱；faxfbxfx2f(ax)f(ax)()關(guān)于xa對稱；fxf(x)f(x)④中心對稱的函數(shù)：函數(shù)()關(guān)于0對稱，即()是偶函數(shù)．fxxfx對稱中心條件f(x)2nf(2mx)abc注意：()()()關(guān)于點(,)對稱；faxfbxcf(ax)fbx)0f(ax)f(ax)bfx22ab()關(guān)于點(fx,0)對稱；2()關(guān)于點(,)對稱；fxabf(x)f(x)0（6）凹凸性：()關(guān)于點對稱，即()是奇函數(shù)．fxfxxxf(x)f(x)設(shè)函數(shù)yf(xxD，如果對任意x,xD，且xx，都有f，則稱2121221212函數(shù)yf(x)在D上是凹函數(shù)；例如：yx2．進(jìn)一步，如果對任意x,x,xD，都有fxxxf(x)f(x)f(x)，則稱函n1212n12nnn數(shù)yf(x)在D上是凹函數(shù)；該不等式也稱琴生不等式或詹森不等式；xxf(x)f(x)設(shè)函數(shù)yf(xxD，如果對任意x,xD，且xx，都有f，則稱2121221212函數(shù)yf(x)在D上是凸函數(shù)．例如：yx．進(jìn)一步，如果對任意x,x,xD，都有fxxxf(x)f(x)f(x)，則稱函n1212n12nnn數(shù)yf(x)在D上是凸函數(shù)；該不等式也稱琴生不等式或詹森不等式．（7）翻折：yf(x)將()在y軸右邊的圖像不變，并將其翻折到y(tǒng)軸左邊，并覆蓋．yfxyf(x)將yf(x)在x軸上邊的圖像不變，并將其翻折到x軸下邊，并覆蓋．第一步：將()在y軸右邊的圖像不變，并將其翻折到左邊，并覆蓋；yfxyf(x)yf(x)第二步：將x軸上邊的圖像不變，并將其翻折到x軸下邊，并覆蓋．將yf(x)在x軸上邊的圖像保持不變，并將x軸下邊的圖像翻折到x軸上邊，不覆蓋．（8）周期性：若yf(xxR，T0，xR，恒有f(xT)f(x)，則稱為這個函數(shù)的周期．T注意：若是yf(x)的周期，那么kT(kZ,k也是這個函數(shù)的周期；T周期函數(shù)的周期有無窮多個，但不一定有最小正周期．①f(xa)f(xb)，abf(x)是周期函數(shù)，且其中一個周期Tab；（陰影部分下略）②f(x)f(xp)，p0T2p；③f(xa)f(xb)，abT2ab；11④f(x)或f(x)，p0T2p；f(xp)f(xp)⑤f(x)1f(xp)或f(x)1f(xp)f(xp)1f(xp)1，p0T2p；1f(xp)或f(x)f(xp)1，p0T4p；f(xp)1⑥f(x)1f(xp)⑦f(x)關(guān)于直線xa，xb，ab都對稱T2ab；⑧f(x)關(guān)于兩點(a,c)，b,c)，ab都成中心對稱T2ab；⑨f(x)關(guān)于點(a,c)，a0成中心對稱，且關(guān)于直線xb，ab對稱T4ab；⑩若f(x)f(xa)f(x2a)f(xna)（m為常數(shù)，nN*f(x)是以(na為周期的周期函數(shù)；若f(x)f(xa)f(x2a)f(xna)m（m為常數(shù)，nf(x)是以2(na為周期的周期函數(shù)．三、V函數(shù)：形如yaxmh(a的函數(shù)，稱作V函數(shù)．yaxm,a0yaxm,a0分類Rxm在(,m]上單調(diào)遞減；在[,)上單調(diào)遞增．在(,m]上單調(diào)遞增；在[,)上單調(diào)遞減．單調(diào)性注意當(dāng)m0時，該函數(shù)為偶函數(shù)四、分式函數(shù)：定義aaxaxa分類yx,a0（耐克函數(shù)）yx,a0x圖像定義域值域aaR漸近線x在(,a]，[a,)上單調(diào)遞增；在[a,0)，(0,a]上單調(diào)遞減．單調(diào)性五、曼哈頓距離：在平面上，M(x,y)，N(x,y)，則稱dxxyy為MN的曼哈頓距離．11221212六、某類帶有絕對值的函數(shù)：1、對于函數(shù)yxm，在xm時取最小值；2、對于函數(shù)yxmxn，mn，在x[,n]時取最小值；3、對于函數(shù)yxmxnxp，mnp，在xn時取最小值；4、對于函數(shù)yxmxnxpxq，mnpq，在x[n,p]時取最小值；5、推廣到y(tǒng)xxxxxx，xxx，在x[x,x]時取最小值；122n122n1nnyxxxxxx，xxx，在xx時取最小值．122n112n21n思考：對于函數(shù)yx12x3x2，在x_________時取最小值．（1）冪函數(shù)的定義：形如yx(aR)的函數(shù)稱作冪函數(shù)，定義域因a而異．a(chǎn)（2）當(dāng)時，冪函數(shù)yx(aR)在區(qū)間[0,)上的圖像分三類，如圖所示．a(chǎn)a（3）作冪函數(shù)yx(a0的草圖，可分兩步：a①根據(jù)a的大小，作出該函數(shù)在區(qū)間[0,)上的圖像；②根據(jù)該函數(shù)的定義域及其奇偶性，補全該函數(shù)在(,0]上的圖像．（4）判斷冪函數(shù)yx(aR)的a的大小比較：a方法一：yx(aR)與直線xm(m1)的交點越靠上，a越大；a方法二：yx(aR)與直線xmm1)的交點越靠下，a越大a（5）關(guān)于形如ycxdaxb(c)的變形冪函數(shù)的作圖：dax、y；ccb②選取特殊點：任取該函數(shù)圖像上一點，建議取(0,)；d（二）指數(shù)&1、指數(shù)運算法則：aax①aa；②(a)a；③(ab)ab；④()，其中(,、)．a(chǎn)xyabxyRxyxyxxxxbbx2、指數(shù)函數(shù)圖像及其性質(zhì)：/(yaa(0yaaxxR非奇非偶函數(shù)x軸在(,)上單調(diào)遞增；在(,)上單調(diào)遞減；①指數(shù)函數(shù)ya的函數(shù)值恒大于零；x②指數(shù)函數(shù)ya的圖像經(jīng)過點(；x③當(dāng)x0時，y1；當(dāng)x0時，0y1．③當(dāng)x0時，0y1；當(dāng)x0時，y1．3、判斷指數(shù)函數(shù)ya中參數(shù)a的大小：x方法一：ya與直線xm(m0)的交點越靠上，a越大；x方法二：ya與直線xm(m0)的交點越靠下，a越大．x1、反函數(shù)的概念：對于函數(shù)()，設(shè)它的定義域為，值域為，如果對于中任意一個值y，在中總有唯yfxDAAD一確定的x值與它對應(yīng)，且滿足()，這樣得到的x關(guān)于y的函數(shù)叫做()的反函數(shù)，記作yfxyfxxf2“換”①將()看作方程，解出()；(y)．在習(xí)慣上，自變量常用x表示，而函數(shù)用y表示，所以把它改寫為yf(x)(xA)．11yfxxfy②將、y互換，得到y(tǒng)f(x)；x13、反函數(shù)的條件：定義域與值域中的元素一一對應(yīng)．4、反函數(shù)的性質(zhì)：①原函數(shù)yf(x)過點(,n)，則反函數(shù)yf(x)過點(n,m)；1②原函數(shù)yf(x)與反函數(shù)yf(x)關(guān)于yx對稱，且單調(diào)性相同；1③奇函數(shù)的反函數(shù)必為奇函數(shù)．5、原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系：/yf1x定義域值域DAAD（四）對數(shù)&1、指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系：abNabNlogNb對數(shù)真數(shù)a2、對數(shù)的運算法則：①log10，loga1，aN；②常用對數(shù)lgNlogN，自然對數(shù)lnNlogN；logNaaaeMN③log(MN)logMlogN，loglogMlogN，logMnlogM；naaaaaaaalogN1m④logN，b，logblogb，bb，．a(chǎn)logbblogaamclogbaNNbannacaaaab3、對數(shù)函數(shù)圖像及其性質(zhì)：ylogx(aylogx(0a/aaR非奇非偶函數(shù)y在(0,)上單調(diào)遞增；①對數(shù)函數(shù)ylogx的圖像在y軸的右方；a②對數(shù)函數(shù)ylogx的圖像經(jīng)過點；a③當(dāng)x1時，y0；當(dāng)0x1時，y0．③當(dāng)x1時，y0；當(dāng)0x1時，y0．4、判斷對數(shù)函數(shù)ylogx,x0中參數(shù)的大?。篴a方法一：ylogx,x0與直線(的交點越靠右，越大；ymmaa方法二：ylogx,x0與直線(的交點越靠左，越大．ymmaa1、角的定義：（1）終邊相同的角：①與2,表示終邊相同的角度；kZk②終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；③與,kkZ（2）特殊位置的角的集合的表示：在x軸正半軸上在x軸負(fù)半軸上在x軸上2,kZ},kZ},在y軸正半軸上在y軸負(fù)半軸上在y軸上{k2{k,2{k,2k,kZ}22k2k,kZ}22k2k,kZ}22k2k,kZ}2在第四象限內(nèi)2（3）弧度制與角度制互化：180①rad180；②rad；③rad．180（4）扇形有關(guān)公式：l①；r②弧長公式：；lr11③扇形面積公式：Slrr222（5）集合中常見角的合并：2kxxkx2kkxx2kx2k22xk22k4x,kZx2k4xk4x2k4kx4424x2kxk4x2k（6）三角比公式及其在各象限的正負(fù)情況：以角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，在的終邊上任取一個異于原點的點P(x,y)，點到原點的距離記為，則Pr（7）特殊角的三角比：643210101001010331無03（8的取值范圍是）kkZ①角和角的終邊：角和角的終邊關(guān)于軸對稱關(guān)于原點對稱sinsincoscostantansinsinsinsincoscostantancoscostantan②的終邊與的終邊的關(guān)系．2的終邊在第一象限(2,2)(,)；kkkk224的終邊在第二象限(2,2)(,k)；kkk2242的終邊在第三象限(2,2)(,)；kkkk2224的終邊在第四象限(2,2k)(k,k)．k224③sin與cos的大小關(guān)系：sincos(2k,2k)的終邊在直線yx右邊（xy044sincos(2k,2k)的終邊在直線yx左邊（xy044sincosk2k}的終邊在直線yx上（xy044④與的大小關(guān)系：xyxy00sincos(k,k)的終邊在或；44xy0xy03xy0xy0xy0sincos(k,k)的終邊在或；44xy0sincos{k,k}，的終邊在yx．kZ442、三角比公式：（1第一組誘導(dǎo)公式：（周期性）第二組誘導(dǎo)公式：第三組誘導(dǎo)公式：（奇偶性）（中心對稱性）sin(2)sinsin()sin)sincos(2)costan(2)tancot(2)cotcos()costan()tancot()cot)cos)tan)cot第四組誘導(dǎo)公式：（軸對稱）第五組誘導(dǎo)公式：（互余性）第六組誘導(dǎo)公式：sin()cossin()cos22)sincos()sincos()sin)cos22)tantan()cottan()cot22)cotcot()tancot()tan22（2）同角三角比的關(guān)系：倒數(shù)關(guān)系：商數(shù)關(guān)系：平方關(guān)系：sincos1sinsincsc1cossec1tancot1(cos0)22tancoscossin1tansec22cot(sin0)1cotcsc22（3）兩角和差的正弦公式：)sin；兩角和差的余弦公式：)sin；兩角和差的正切公式：)．1（4）二倍角的正弦公式：sin2sincos；二倍角的余弦公式：cos2sin12sin2cos1；22222tan二倍角的正切公式：tan；1tan2降次公式：萬能置換公式：1cos2sin222tan1cos2sinsin21tan21cos2cos2221cos21tan2cos；cos222221tan21sinsincos1cos2222tantantan21cos21tan21sinsincos22sin1cossin半角公式：tan；21cos（5）輔助角公式：①版本一：bsinba22asinbcossin()，其中0,．a(chǎn)b22acosa2b2②版本二：basinbcossin(),0,0,tan．a(chǎn)b，其中ab222a3、正余弦函數(shù)的五點法作圖：以yx)為例，令依次為0,,,,2，求出對應(yīng)的x與y值，描點(x,y)作圖．x224、正弦定理和余弦定理：abc（1）正弦定理：2R(R為外接圓半徑)；sinAsinBsinC其中常見的結(jié)論有：①a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；②sinAa，sinBb，sinCc；2R2R2R③sinA:sinB:sinCa:b:c；aRsinBsinCabc④S2RsinAsinBsinC；sinsin；S．SbRAC24R△ABCcRsinAsinBb2c2a222cosAbc2cosbcAa2b2c2acb222（2）余弦定理：版本一：bac2accosB；版本二：cos；2222B2acc2a2b2abcosCba2ccosC2ababcosCccosB（3coscos．bcAaCcacosBbcosA5、與三角形有關(guān)的三角比：（1）三角形的面積：1①Sdh；2111②SabsinCbcsinAacsinB；222llall③Sbc，l為△ABC的周長．2222（2）在△ABC中，①sinsincoscoscotcot；abABABABAB②若△ABC是銳角三角形，則sincos；ABsin(AB)sinCcos(AB)cosCtan(AB)tanC③sin()sin；cos()cos；tan()tan；BCABCABCAsin(AC)sinBcos(AC)cosBtan(AC)tanBABCABCsincostancot22AC222ACBB④sincos；tancot；222AB2ABCCsincostancot222ABBsincos；ACsincos；Asincos222222；B⑤ACBCCsincossincossincos222222ABABsinsincoscos2222ACACABCABCsinsincoscossinsinsincoscoscos；2222C2222222BCBsinsincoscos222ABCsinAsinBsinC4coscoscos222ABC⑥coscoscos14sinsinsin；ABC222ABsinAsinBsinC4sinsincosC222sin2Asin2BsinC4sinAsinBsinC；cos2Acos2Bcos2C4cosAcosBcosC1338sinAsinBsinC(0,]3323sinAsinBsinC(0,]⑦；sinsinsincoscoscos．ABCABCcosAcosBcosC(1,]1coscoscos(1,]2ABC8其中，第一組可以利用琴生不等式來證明；第二組可以結(jié)合第一組及基本不等式證明．（3）在△ABC中，角、、C成等差數(shù)列B．AB32S（4）△ABC的內(nèi)切圓半徑為r．a(chǎn)bc6、仰角、俯角、方位角：略71sincos))]21cossin))]21（1）積化和差公式：；coscos))]21sinsin))]2sinsin2sinsinsin2coscoscos2coscos22sin22（2）和差化積公式：．cos22coscos2sinsin221、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)、圖像：y定義域值域奇偶性周期性R2[R最小正周期最小正周期TT[2k,2k]；[2,2]；kk單調(diào)性22(k,k)22[2,2]．kk22當(dāng)x2時，y1；1最值2當(dāng)x2時，y1；當(dāng)2時，y1；x2圖像例1：求函數(shù)y5sin(2x)x的系數(shù)為負(fù)數(shù)時，單調(diào)性相反）3解析：周期T，由函數(shù)yx的遞增區(qū)間[2k,2k]，可得2222k2x2k，即kxk，2321212于是，函數(shù)y5sin(2x)7的遞增區(qū)間為[k,k]．31212同理可得函數(shù)y5sin(2x)7遞減區(qū)間為[k,k]．31212當(dāng)2x2k，即xk時，函數(shù)y5sin(2x)取最大值5；32123當(dāng)2x2k，即xk時，函數(shù)y5sin(2x)取最大值5．12323例2：求函數(shù)y5sin(2x)7,x[0,]的單調(diào)區(qū)間和最值．32解析：由x[0,]，可得2x[,]．3332然后畫出2x的終邊圖，然后就可以得出3當(dāng)2x[,]，即x[0,]時，函數(shù)y5sin(2x)7單調(diào)遞增；332123當(dāng)2x[,]，即x[,]時，函數(shù)y5sin(2x)7單調(diào)遞減．3231223同時，當(dāng)2x，即x時，函數(shù)y5sin(2x)7取最大值12；32123532當(dāng)2x，即x時，函數(shù)y5sin(2x)7取最小值7；3323注意：當(dāng)x的系數(shù)為負(fù)數(shù)時，單調(diào)性的分析正好相反．2、函數(shù)yAx)h&yAx)h&yAx)h，其中A0：（1）復(fù)合三角函數(shù)的基本性質(zhì)：yAx)hyA)xh)xhyA其中A0,0其中A0,0yh其中A0,0A{xxk,kZ}211fT2Tx相位初相（2）函數(shù))與函數(shù)的圖像的關(guān)系如下：yAxhyx①相位變換：當(dāng)0時，ysinxysin(x)；向左平移個單位當(dāng)0時，ysinxysin(x)；向右平移個單位②周期變換：1當(dāng)1時，yx)所有縮的倍不yx)；1當(dāng)01時，yx)所有伸的倍yx)；③振幅變換：當(dāng)1時，ysin(x)yAsin(x)；A所有各點的縱坐標(biāo)伸長到原來的倍（橫坐