基本不等式教學(xué)設(shè)計-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版必修5

3.4.1基本不等式教材分析本節(jié)是人教A版數(shù)學(xué)必修5第三章3.4.1節(jié)內(nèi)容。本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了不等關(guān)系與不等式、不等式的基本性質(zhì)以及實數(shù)大小比較等內(nèi)容后進(jìn)一步學(xué)習(xí)的關(guān)于不等式的又一基本知識，既是前面所學(xué)不等式知識的一個綜合應(yīng)用、拓展升華，也是后面學(xué)習(xí)選修教材“推理與證明”及“不等式選講”的必備知識和基礎(chǔ)。因此，基本不等式是不等式學(xué)習(xí)中重點內(nèi)容和關(guān)鍵節(jié)點，具有承上啟下的作用。學(xué)情分析從知識和經(jīng)驗來看，學(xué)生在此之前已經(jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了不等式的概念，性質(zhì)和一些簡單不等式的證明，對不等式的證明方法已經(jīng)有了一定的了解。另外，學(xué)生在此之前還學(xué)習(xí)了配方法，作差法及數(shù)形結(jié)合方法等數(shù)學(xué)思想方法，這些方法為基本不等式的探究與證明提供了方法上的保障。從能力來看，學(xué)生進(jìn)過多年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，已經(jīng)具備了一定的觀察能力、推理能力和思維轉(zhuǎn)換能力，只要教師啟發(fā)得當(dāng)，學(xué)生應(yīng)該是能通過觀察、分析。思考發(fā)現(xiàn)及證明基本不等式的。三、教學(xué)目標(biāo)1.理解并掌握基本不等式的證明及其應(yīng)用；2.培養(yǎng)學(xué)生主動運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，解決問題和應(yīng)用問題的能力。四、教學(xué)重點與難點重點：基本不等式的證明與應(yīng)用難點：基本不等式的證明五、教學(xué)簡錄（一）創(chuàng)設(shè)情境，課題引入中央電視臺焦點訪談的一個截圖，像一個風(fēng)車，這個圖有來歷，它是2002年在中國北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)根據(jù)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”設(shè)計的，趙爽弦圖。整體上看是一個正方形，內(nèi)部結(jié)構(gòu)上看是四個全等的直角三角形，里面再加個正方形，趙爽弦圖是我國古代數(shù)學(xué)家智慧結(jié)晶，里面蘊(yùn)含著很多等量關(guān)系和不等量關(guān)系。師：不知道大家有沒有印象，大家在初中的時候就見識過趙爽弦圖，而且利用趙爽弦圖可以非常便捷得證明直角三角形中的勾股定理，比如說設(shè)圖中直角三角形邊長為a,b,c，大家拿出紙和筆出來，你可以利用趙爽弦圖證明勾股定理嗎？把你的過程在草稿紙上，通過釘釘群發(fā)出來，把你的結(jié)果分享下，大家先試一分鐘。學(xué)生在釘釘群里分享證明過程。師：從面積的角度考慮，，推出，如果把代入上式，得到，這三項的幾何解釋為大正方形的面積，4個直角三角形的面積，里面小正方形的面積，因為是一個完全平方，完全平方是一個非負(fù)數(shù)，把甩掉，那么等量關(guān)系就破壞掉了，得到不等量關(guān)系，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。從趙爽弦圖里得到了不等量關(guān)系，它的幾何解釋為大正方形的面積大于等于4個三角形的面積之和，當(dāng)取等號。利用幾何畫板，b不變，調(diào)整a，讓學(xué)生觀察面積變化，可以觀察到當(dāng)時，小正方形面積為0了，所以可以確定當(dāng)時，等號成立。從趙爽弦圖當(dāng)中面積得到一個不等式，對于這個不等式會有一系列變形，而且這些變形在以后的數(shù)學(xué)中占有很大的地位，今天我們要研究的就是由趙爽弦圖得到的不等量關(guān)系，來進(jìn)一步研究，即基本不等式。（二）探究新知問題：請用代數(shù)方法證明：，.師：比較大小用作差：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，需要，而完全平方a,b任何實數(shù)都成立，剛才我們是通過幾何圖形才行，而代數(shù)證明a,b任何實數(shù)都成立，所以可以給不等式作一個修正，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，我們將它稱為重要不等式。重要不等式結(jié)構(gòu)特征：左邊兩個數(shù)的平方和，右邊兩個數(shù)乘積的兩倍，用文字表述為兩數(shù)平方和大于等于兩數(shù)積的兩倍，例1：（1）已知矩形的面積為36，求對角線的最小值。學(xué)生在釘釘群里分享書寫過程，教師以一個學(xué)生為例，指出共同問題。生：，，，最小值為.師：只是說明不會小于，能取到嗎？萬一取不到呢？所以能直接得到最小值為嗎？這里需要做一個補(bǔ)充，這幾乎是所有同學(xué)的一個通病，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，用重要不等式得到，只是說明不會小于，然后還要通過重要不等式當(dāng)中等號成立的條件找到a,b說明可以取到，由這兩部分才能說明最小值為，幾乎所有同學(xué)都只完成了第一部分，找到了下限，忽視了第二部分，等號能否取到，能取到，就是最小值，不能取到一切白費(fèi)。（2）已知實數(shù)x,y滿足方程，求的最大值.學(xué)生連麥回答，沒有學(xué)生主動連麥，教師分析學(xué)生發(fā)到釘釘群答案。生：，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即.師：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，即或時取等號，能把解出來，盡量把解出來，計算過程復(fù)雜解不出來，也要判斷出是否有解。等號取到條件往往寫在最后，注意題中的，此題要注意.重要不等式反應(yīng)的是平方和與積之間的關(guān)系，那么能不能得到和與積之間關(guān)系呢？設(shè)，，則，（為0簡單，不考慮進(jìn)去），（兩數(shù)和與積的關(guān)系，與重要不等式區(qū)別，）當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.（注意取等號條件）這是一個非常重要的不等式，稱為基本不等式。基本不等式：當(dāng)且僅當(dāng)時，“”成立兩數(shù)和的平均數(shù)兩數(shù)積算術(shù)平方根兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)重要不等式有幾何背景，用趙爽弦圖來解釋重要不等式，那么基本不等式是否可以用幾何模型來解釋呢？幾何解釋已知，，過點作的垂線與以為直徑的半圓交于點，求和的長.學(xué)生連麥回答.生：連接，，由射影定理知：因為（直角三角形斜邊大于直角邊），所以當(dāng)時相等。師：利用幾何畫板，移動點，學(xué)生觀察大小關(guān)系。通過此幾何模型很好的解釋了基本不等式，兩正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于等于它的幾何平均數(shù)。（三）例題講解例2：（1）已知矩形面積為，求矩形周長的最小值并證明何時取到最小。設(shè)矩形的長為，寬為學(xué)生拍照在頂頂群分享答案，教師簡單分析多個學(xué)生的答案，強(qiáng)調(diào)取等號的條件要特別說明。（2）已知矩形周長為，求矩形面積的最大并何時取到最大。教師板演解題過程，注意書寫規(guī)范、工整.解：設(shè)，，則由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以.總結(jié)：這兩道題初步見識了基本不等式的一些功能，主要在求最大值和最小值時一定要強(qiáng)調(diào)兩面性，一得到它的上限和下限，二要確認(rèn)等號取到，基本不等式和重要不等式在運(yùn)用過程中，還有很多問題要講，下節(jié)課對其進(jìn)行巧妙運(yùn)用。（四）課堂小結(jié)理解兩個基本不等式的結(jié)構(gòu)特征及其幾何解釋類型重要不等式基本不等式不等關(guān)系使用范圍等號成立條件當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立結(jié)構(gòu)關(guān)系兩數(shù)平方和與兩數(shù)積算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)2.會用這兩個不等式解決一些簡單應(yīng)用問題. 六、點評與教學(xué)反思1.本節(jié)課是線上教學(xué)，單老師采用釘釘直播，在上課的過程中通過學(xué)生上傳照片，連麥的方式與學(xué)生進(jìn)行互動。關(guān)于板書問題，單老師利用希沃白板，很好的解決了問題。單老師課堂直播課堂節(jié)奏把握的非常好，很值得學(xué)習(xí)。除了課堂互動外，我們是否可以考慮在課前布置簡單任務(wù)單或者設(shè)計導(dǎo)學(xué)案，讓學(xué)生進(jìn)行預(yù)習(xí)，對課堂的教學(xué)應(yīng)該會很有幫助。2.單老師利用趙爽弦圖，直觀引入課題，利用數(shù)形結(jié)合思想，“從形到數(shù)”探究基本不等式的生成過程；“由數(shù)到形”探究基本不等式的幾何解釋，發(fā)展學(xué)生的辯證思維。學(xué)生的思維培養(yǎng)是一個循序漸進(jìn)的過程，單老師從弦圖引出重要不等式，又從重要不等式引出基本不等式，又對基本不等式進(jìn)行集合解釋，循序漸進(jìn)，非常自然。3.單老師通過例1的兩道例題，來強(qiáng)調(diào)了為何要取等號?；静坏仁降倪\(yùn)用，學(xué)生很容易忽略掉取等號條件。單老師通過例題清晰解釋了為何要取等號，而且多次強(qiáng)調(diào)，加深了學(xué)生的印象，很好的突破此節(jié)難點。4.從重要不等式引出基本不等式，又對基本不等式進(jìn)行幾何解釋，學(xué)生直接運(yùn)用了射影定理，說明單老師的學(xué)生基礎(chǔ)是很好的。幾何解釋是本節(jié)的一個難點之一，這里有個思考，若學(xué)生不知道射影定理，又該如何引入呢？5.例2是對基本不等式的簡單應(yīng)用，主要在求最值的運(yùn)用，在這里可以簡單說明基本不等式和積之間存在最值的關(guān)系，或者可以給學(xué)生課后探究，引發(fā)學(xué)生思考，對基本不等式進(jìn)一步理解。6.在解題的過程中，可以強(qiáng)調(diào)解題步驟：一正二定三相等，減少忽略其中步驟。本節(jié)課作為基本不等式的第一課時，主要是探究基本不等式的證明，因此本題涉及到的應(yīng)用比較少也比較簡單，單老師也說明了第二課時會另外探究。一節(jié)好的課有老師高超的教學(xué)設(shè)計，有學(xué)生充分的交流互動。單老師通過情境引入提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，以趙爽弦圖引入，讓學(xué)生感受到了我國數(shù)學(xué)的突出成就，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。數(shù)學(xué)活動是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的催化劑，單老師在課堂教學(xué)活動中