(完整版)數(shù)列通項公式及其求和公式

一、數(shù)列通項公式的求法已知數(shù)列的前n項和S，求通項a；nn數(shù)學歸納法：先猜后證；疊加法(迭加法):a—(a—a)+(a—a)+L+(a—a)+a；TOC\o"1-5"\h\znnn-1n-1n-2211aaaaaa疊乘法(迭乘法)：一^——?^-1?AA-2.aaaaaa1n-1n-2n-321【疊加法主要應(yīng)用于數(shù)列｛a｝滿足a—a+f(n)，其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可nn+1n把這個式子變成a-a—f(n)，代入各項，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過整理，n+1n可求出a，從而求出s】nn(4)構(gòu)造法(待定系數(shù)法)：形如a—ka+b、a—ka+bn(k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列；nn-1nn-1【用構(gòu)造法求數(shù)列的通項或前n項和：所謂構(gòu)造法就是先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項的特征，構(gòu)造出我們熟知的基本數(shù)列的通項的特征形式，從而求出數(shù)列的通項或前n項和.】(5)涉及遞推公式的問題，常借助于“迭代法”解決.【根據(jù)遞推公式求通項公式的常見類型】①a=a,a—a+f(n)型，其中f(n)是可以和數(shù)列，用累加法求通項公式，即1n+1na=fn-1+fn-2+?……(2+f(W-n11類型1：a—a+f(n)n+1n1思路(疊加法)a一a思路(疊加法)a一a—f(n一1)，依次類推有：ann-1n-1-an-2—f(n-2)、a-a—f(n-3)、…、n-2n-3a2-a1—f(1)將各式疊加并整理得a-a-刃f(n),n1i—1a2-a1—f(1)將各式疊加并整理得a-a-刃f(n),n1i—1—a+Sf(n)1i—1例題1：已知a1—1，a—a+n，求ann-1n解：Ta—a+nnn-1:、a一a—n，依次類推有：ann-1-an-1n-2—n-1、an-2-a—n-2、?…-a—2n-321???將各式疊加并整理得a-a-工n,n1i—21i—2nnn(n+1)n—n—2i—1類型2：a—pa+f(n)思路(轉(zhuǎn)化法)a—pa+思路(轉(zhuǎn)化法)a—pa+f(n-1)，遞推式兩邊同時除以pnn-1a得一a—n-pnpn-1pn主+f(n-1)，我們令那么問題就可以轉(zhuǎn)化為類型一進行求解了.例題：已知a—2，例題：已知a—2，a1n+1—4a+2n+1，求a解：Ta—4a+2n+1n+1na—4a+2?，nn-1aa則f—n-1+'1n，依此類推有b-b—r1「n-1、b-b—廠1An-2—、…、b-b—(1$n-1n-2<2丿n-2n-3<2丿21<2丿aT令一*—b，則b-b—4nnnn-1?°?各式疊加得b-b=￡n1丫丄f1]n—1-r1]丿.丄2丿<2丿n=2?°?各式疊加得b-b=￡n1丫丄f1]n—1-r1]丿.丄2丿<2丿n=2+工(2i=2??a=4n?b=4n?nn1-②a=a,a=a-f(n)型，其中f(n)是可以1n+1na=f(n-1)?f(n-2)f(2f(1片求積數(shù)列，累乘法求通項公式，即n類型3：a=f(n)an+1naa思路（疊乘法）：一L=f（n-1），依次類推有：faan-1n-2i二f(n-2)、a—nan-32=f(n一3)、…、將各式疊乘并整理得a=f(1)f⑵f⑶…f(n-2)-f(n-1),a1即a=f(l)f(2)?f(3)?…f(n-2)?f(n-l}ai例題：已知a—1，1n-1解：???a—ann+1n-1n-1a，n+1n-1an-1an+1n-1，依次類推有：a—an-2a—n—2—an-3a—二a2a1—-a31?:a二11?將各式疊乘并整理得fa1?將各式疊乘并整理得fa113'n-1nn+1n-2n-3nn-121?~~3n(n+1)+q型n+1n③a=a,a=pa1其中p、q是常數(shù)）可以采用待定系數(shù)法、換元法求通項公式，即a+q型n+1n③a=a,a=pa1其中p、q是常數(shù)）可以采用待定系數(shù)法、換元法求通項公式，即a-n+1纟=p(a1-pn1-p)，設(shè)b—a一nn1-p則b二pb.利用②的方法求出b進而求出an+1nnn類型4：a=pa+q（其中p、q是常數(shù)）n+1~n當p=1時，數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列；當p豐0,q=0時，數(shù)列｛a｝是等比數(shù)列;nn（q當p豐0且p豐1,q豐0時，可以將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為aH二pan+1p-1n,則數(shù)列]a+—?np-1J上丿是以qa+為首項，p為公比的等比數(shù)列.1p-1思路（構(gòu)造法）：設(shè)a+R=p（a+R）,即r（p一1）=q得rn+1Pn一Pn一1,Pn-1+1-p首項、p為公比的等比數(shù)列，則a+np-1例題：已知數(shù)列｛a｝滿足a=2a+3且a=1，求數(shù)列｛a｝的通項公式nnn-11n解：設(shè)a+r=2（a+r）,即r=3n+1n1???數(shù)列｛an+3｝是以a1+31???數(shù)列｛an+3｝是以a1+3=4為首項、2為公比的等比數(shù)列/.a+3=4?2n-1=2n+1，即a=2n+1—3n④a=a,a=pa+qn型，其中p、1n+1napa1aq是常數(shù)且q豐0,q豐1,卄=f4，設(shè)f=b，則bqn+1qqnq，=P?b+1n+1qnq即化為③.類型5:a+rqnn+1~n思路（構(gòu)造法）：aa=pa+rqn-1,設(shè)一*+R=九nn-1qn(a—n—15-1丿)|^q=p+R'則M-1)qn=rqn-1rr=—p-qIar那么Iar那么+Iqnp一qar是以f+—qp-qp為首項，尤為公比的等比數(shù)列q例題：已知a例題：已知a=1,a=-a+2n-1,nn-1a解：Ta解：T設(shè)寸+r=九2n|2九=-1則］r(九-1)2n=2n-1，解得'九=--21R=一―322n+1a-4是以1―3=6為首項，2為公比的等比數(shù)列，即亍—3=6,2n3123622?2na⑤a=n型，其中p、q是常數(shù)且a豐0，可以采用等式兩邊取倒數(shù).n+1pa+qnnc?a/c、類型6：a=匸(c豐0)n+1pa+dn11111思路（轉(zhuǎn)化法）：對遞推式兩邊取倒數(shù)得——an+1pa+dnc?an那么1d1p?+9cacnan+1令b=，這樣,an問題就可以進行求解了.例題：已知a—4，a1n+1n,2a+1n解：???對遞推式左右兩邊取倒數(shù)得——an+12ai-n—2an+11

即——a例題：已知a—4，a1n+1n,2a+1n解：???對遞推式左右兩邊取倒數(shù)得——an+12ai-n—2an+11

即——an+111?+1,2an11b則b=—b+1.設(shè)b+卩=ann+12nnn+1（b+卩），即卩2n=-2???數(shù)列｛bn-2｝是以4一2-717—4為首項、2為公比的等比數(shù)列，則b—2=—422n+12n+2—72n+1，2n+12n+2-7a?a+b/小,,小、類型7：a—n(c豐0、ad-be豐0)n+1e?a+dnax+b思路（特征根法）：遞推式對應(yīng)的特征方程為x=cx+d即CX2+（d—a）x—b=0.當特征方程有兩個相等實根x1二—x—5時，數(shù)列\(zhòng)—-—［即f2|a—5Jn>為等差數(shù)列，我們可設(shè)丿L—;+九（九為待定系數(shù)，可利用a、a求得）；當特征方程有兩個不等實根x、x時,a—da—d1212a—an+12cn2c2cIa—xIa一xa—x數(shù)列｝是以一為首項的等比數(shù)列，我們可設(shè)一1Ia—xIa一xa—xn212n2a—x—11、a—x丿

12?卩n-1（卩為待定系數(shù),可利用已知其值的項間接求得）；當特征方程的根為虛根時數(shù)列｛a｝通項的討論方法與上同理，此處n暫不作討論.1例題：已知a=二，4a+3―n—(n>2)，求aa+2nn—1解：?.解：?.?當n>2時，遞推式對應(yīng)的特征方程為x=4x+3即x2—2x—3=0，解彳得x=—1、x—3x+212Ia+1Ia—x2.數(shù)列｝是以—--1為首項的等比數(shù)列Ia—3Ia—x—2n12變式訓練變式訓練1:求sin21o+sin22。+sin23。+sin288。+sin289。的值3n-13n-1+l=(-1)?3n-1，從而3=3n-1+i，1[,n=123n-1I3n-1+1"n-2a+1???設(shè)「a-3n=(—1)屮n-1，由a=得a+1???設(shè)「a-3n122二、數(shù)列求和的幾種常見方法數(shù)列問題中蘊涵著豐富的數(shù)學思想方法，是高考用來考查考生對數(shù)學思想方法理解程度的良好素材，是歷年高考的一大熱點，在高考命題中，多以與不等式的證明或求解相結(jié)合的形式出現(xiàn)，一般數(shù)列的求和，主要是將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題，因此，我們有必要對數(shù)列求和的各種方法進行系統(tǒng)探討.1、公式求和法通過分析判斷并證明一個數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列后，可直接利用等差、等比數(shù)列的求和公式求和，或者利用前n個正整數(shù)和的計算公式等直接求和.運用公式求解的注意事項：首先要注意公式的應(yīng)用范圍，確定公式適用于這個數(shù)列之后，再計算.特別地，注意數(shù)列是等比數(shù)列時需要討論q=1和q豐1的情況.⑴等差數(shù)列求和公式：S⑴等差數(shù)列求和公式：Snn(a+a)n(n—1)1n=na+d12⑵等比數(shù)列求和公式：Sn⑵等比數(shù)列求和公式：Snna1=<a(1—qn)(q=1)a-aqn~(q豐1)1-q另外，還有必要熟練掌握一些常見的數(shù)列的前n項和公式.正整數(shù)和公式有：yn]n(n另外，還有必要熟練掌握一些常見的數(shù)列的前n項和公式.正整數(shù)和公式有：yn]n(n+1)2k=1n”n(n+1)(2n+1):n”「n(n+1)“2=k3=[]2―6―2例1、已知數(shù)列f6)｝的前n項和為S，且S=n2+2n.若ann1列ta｝的前n項和T.nn分析：根據(jù)數(shù)列的項和前n項和的關(guān)系入手求出f&2再根據(jù)an+1通項公式后，確定數(shù)列的特點，根據(jù)公式解決.=f(L),a=n+1(a)CgN*),求數(shù)n=f(a)(ngN*)求出數(shù)列ta｝的nn解：???當n>2時，f())S一S=2n+1.當n=1時,(f0=)^=3,適合上式f(n)=2n+1'ngN*)，a=fG)=3,a=2a+1(gN*丿，即a+1=2(a+1)TOC\o"1-5"\h\z1n+1nn+1n???數(shù)列ian+1｝是首項為4、公比為2的等比數(shù)列.)(、:.a+1=(a+1).2n-1=2n+1,.a=2n+1—1(gN*丿;T=Y2+23+A2n+1丿—n=2n+2—n—4.n1nn【能力提升】公式法主要適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列的求和，一些綜合性的數(shù)列求和的解答題最后往往就歸結(jié)為一個等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題.—1變式訓練1:已知logx=，求x+x2+x3++xn+—的前n項和.3log32

變式訓練2：S設(shè)s=1+2+…+n(ngN*)，求f(n)=n的最大值.n(n+32)Sn+12、倒序相加法如果一個數(shù)列｛a｝，與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，可采用把正著寫n與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法.我們在學知識時，不但要知其果，更要索其因，知識的得出過程是知識的源頭，也是研究同一類知識的工具，例如：等差數(shù)列前n項和公式的推導，用的就是“倒序相加法”.+a+an差數(shù)列前n項和公式的推導，用的就是“倒序相加法”.+a+an-1n??+a+a21TOC\o"1-5"\h\zn12S=a+a+nnn-12S=(a+a)+(a+a)+…+(a+a)???2n-11n例2、已知函數(shù)F例2、已知函數(shù)F(x)=12009F12009丿(2008]、2009丿分析：由所求的和式的特點，易想到探究：和為1的兩個自變量函數(shù)值的和是否為常數(shù).從而確定可否用倒序相加法求和.【解析】???F(x)+F(—x)=活+鼎—!=3.???設(shè)S=F2009丿+F2009丿(20081F2009丿?①S=F(2008、2009???設(shè)S=F2009丿+F2009丿(20081F2009丿?①S=F(2008、2009丿(20071+F2009丿+LF2009丿2S=Fk2009丿+Fk2009丿+Fk2009丿+Fk2009丿+A+Fk2009丿+Fk2009丿=3x2008=6024，所以S=3012.【能力提升】倒序相加法來源于課本，是等差數(shù)列前項和公司推導時所運用的方法，它是一種重要的求和方法.當求一個數(shù)列的有限項和時，若是“與首末兩端等距離”的兩項和都相等，即可用此法.x2例3：已知fx2例3：已知f(x)=寸'則f(1)+f(2)+ff1]+f(3)+f2丿；丿+f⑷+f4=k3丿4丿解：???由f(x)+ff「=x2=-+1+1+1=3122???原式=f(i)+]=-+1+1+1=3122變式訓練2：如已知函數(shù)f(x)對任意xGR都有f(x)+f(1一x)=,S=f(0)+f()+2nnf(2)+f(3)+…+f(㈡)+f(nz1)+f(1),(neN*),求S

nnnnn變式訓練已知f變式訓練已知f(X)=市那么111f(1)+f⑵+Af(2008)+f(-)+f(-)+Af(―)二2320083、裂項相消法裂項相消法是將數(shù)列的各項拆成兩項或多項，使得前后項相抵消，留下有限項，從而求出數(shù)列的前n項和.一般地，我們把數(shù)列的通項分成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和?適用于類似］—\(其中匕｝是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列，以及部分無IaaInnn+1需要掌握一些常見的裂項方法：理數(shù)列和含階乘的數(shù)列等.用裂項法求和，需要掌握一些常見的裂項方法：(2n-(2n-1)(2n+1)2<2n-1=—^)n(n+k)knn+k=、：n+1一、：n；n+-,;n+1例4:｛a｝是公差為d的等差數(shù)列,nn1求工-aak=1kk+1a?akk+例4:｛a｝是公差為d的等差數(shù)列,nn1求工-aak=1kk+1a?akk+1X—(a+d)dIakk1-丄](d豐0)a丿k+11丄111]aadlaa丿kk+1k=1lkk+15、數(shù)列{a}nk=1例1d滿足2Va=1,a12+……an+1a丿n+1n+252=—a一—a3n+13nnA+aann+1分析：根據(jù)給出的遞推式求出數(shù)列｛｝，再根據(jù)的特點拆項解決.naann+14444=2(a—a3n+1解：?.?由已知條件，得a-an=2(a—a3n+1解：?.?由已知條件，得a-an+2n+1nn+1n2133的等比數(shù)列，故a—a=n+1n:.a=a+n1(a—a)+(a—a)+L+(:.a=a+n1(a—a)+(a—a)+L+(a2-a)=1+—+n-1n-1(2]n〔2]I3丿、3丿1nn31--3aann+1322T=亠+3^+^^+Lnaaaaaa1223341-1-(2]nJ3丿1+aa3nn+1n+11--+L2【能力提升】用裂項相消法求和的關(guān)鍵是先將形式復雜的式子轉(zhuǎn)化為兩個式子的差的形式因此需要掌握一些常見的裂項技巧.變式訓練1:在數(shù)列｛a｝變式訓練1:在數(shù)列｛a｝中,n12n++，又b=n+1na-ann+1=+n+1n+1-—，求數(shù)列｛b｝的前n項n的和.變式訓練:2:求和：s=1+變式訓練:2:求和：s=1+1+21+2+3111變式訓練3：求和：++—2+13+、：24+、.：34、錯位相減法錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式.即若在（差比數(shù)列）｛a-b｝中，｛a｝成等差數(shù)列，｛b｝成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯位相nnnn減整理后即可以求出前n項和.例題：S=1+例題：S=1+2x+3x2+4x3+nx?S=x+2x2+3x3+4x4+①—②(1-x)Sn()1-xnnxn+nxn-1+(n—1)Xn-1+nxn+xn-1-nxn當x豐1時，S=-，當x=1時，S=1+2+3+當n(1-x)21-xnn(n+1)【能力提升】錯位相減法適用于數(shù)列｛b｝，其中｛｝是等差數(shù)列，｛｝是等比數(shù)列.若等比數(shù)列nnnnn中公比q未知，則需要對公比q分q=1和q豐1兩種情況進行分類討論.例6、已知數(shù)列是首項為a1=4,公比為q=4的等比數(shù)列，設(shè)bn+2=沁丄an（n丘（，數(shù)列:｝滿足c=a-b.求數(shù)列:｝的前n項和S.nnnnnn分析：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可以知道數(shù)列缶｝為等差數(shù)列，這樣數(shù)列:｝就是一個等差數(shù)列與一個等nn比數(shù)列對應(yīng)項的乘積構(gòu)成的數(shù)列，因而可考慮用錯位相減法來解決.解：???由題意知，a=nOwN*),又b二3loga—2,故b=3n-解：???由題意知，a=nn1nn4廠11neN*???Sn???4S=1x+4x?.?兩式相減，得4S=廠11neN*???Sn???4S=1x+4x?.?兩式相減，得4S=???S23n+2(1+7x+L+(3n—5)x(4「+A+f1(3n—2)xeN*).4丿—(3n—2)x11n+14丿n+1=1—(3n+2)x[1Y+1n24變式訓練n24變式訓練3、求數(shù)列怎，-2225、(分組)拆項求和法(裂項重組法)變式訓練1、求S=1+2x+3x2+4x3++nxn-1n變式訓練2、若數(shù)列｛a｝的通項a=(2n—1)?3”，求此數(shù)列的前n項和S.nn2n，…，，…前n項的和.232n所謂裂項重組法就是針對一些特殊的數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以通過拆分、合并、分組，將所求和轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和例7、已知數(shù)列S｝的通項公式為a”=2"+3n—1,求數(shù)列L｝的前n項和.分析：該數(shù)列的通項是由一個等比數(shù)列'」與一個等差數(shù)列《n—1｝組成的，所以可將其轉(zhuǎn)化為一個等比數(shù)列與一個等差數(shù)列進行分組求和.【解析】S=a+a+Aa=C1+2)+C2+5)+ACn+3n—1)n12n1+22+a+2n)+t+5+A(3n-1)]=4—+花+(3n—1)]=2=2n+1+n2+n—222【能力提升】在求和時，一定要認真觀察數(shù)列的通項公式，如果它能拆分成幾項的和，而這些項分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，那么我們就可以用此方法求和.例8、數(shù)列｝的前n項和是S(eN*),若數(shù)列ta｝的各項按如下規(guī)則排列：

112123123412,3,