《機械振動》 教學(xué)課件

§16-8多普勒效應(yīng)§16-7駐波§16-6波的疊加原理波的干涉§16-5惠更斯原理及其應(yīng)用§16-4波的能量能流密度§16-3平面簡諧波的波函數(shù)§16-2機械波的傳播速度§16-1機械波的產(chǎn)生和傳播4.熟練掌握駐波形成條件和干涉強弱條件教學(xué)基本要求1.確切理解描述波動各量的物理意義，并能熟練地確定這些物理量2.深刻理解平面簡諧波波函數(shù)的物理意義，并會建立波函數(shù)，運用它來討論與分析波動現(xiàn)象3.熟練掌握波的干涉原理和干涉強弱的條件波動是振動狀態(tài)的傳播，波動是物質(zhì)常見的一種運動形式機械波機械振動在彈性介質(zhì)中的傳播過程，如繩波、聲波、水面波等電磁波變化電磁場在空間的傳播過程，如無線電波、光波、X射線等機械波和電磁波在本質(zhì)上并不相同，但它們都具有波動的共同特征和規(guī)律都具有一定的傳播速度在波傳播過程中都伴隨有能量的傳播都具有反射、折射、干涉和衍射等現(xiàn)象水面波的折射光波的折射能傳播振動的彈性介質(zhì)如空氣、水、繩索等一.機械波產(chǎn)生的條件波源作機械振動的物體，如聲帶、樂器的弦等不同強度的聲波波源聲強/dB聲強/dB§16-1機械波的產(chǎn)生和傳播波動在彈性介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)中各點僅在平衡位置附近作振動，并不隨波流動前進。t水面波傳播方向水面質(zhì)點軌跡水面波的振動形式比較復(fù)雜，水表面質(zhì)點沿橢圓軌道運動由于形變引起的彈性力，介質(zhì)中一點的振動會引起鄰近質(zhì)點的振動，這振動又會帶動更遠(yuǎn)的質(zhì)點振動。振動就由近及遠(yuǎn)地向各個方向傳播形成波動。介質(zhì)具有彈性是機械波能在介質(zhì)中傳播的原因二.橫波和縱波橫波質(zhì)點振動方向和波的傳播方向相互垂直縱波質(zhì)點振動方向和波的傳播方向相同手移動方向手移動方向波傳播方向波傳播方向介質(zhì)——繩介質(zhì)——彈簧橫波的傳播過程波傳播方向t=0t=T/4t=T/2t=3T/4t=Tt傳波介質(zhì)質(zhì)點振動方向時刻t

各質(zhì)點位置——波形曲線t=0t=T/4t=T/2t=3T/4t=T縱波的傳播過程t波傳播方向傳波介質(zhì)質(zhì)點位置隨時間的變化——振動曲線1s傳播距離=v波傳播方向一完整波形長三.波的傳播速度、波長和周期以及它們之間的關(guān)系波長λ沿傳播方向兩個相鄰的相位（即位移和運動方向）相同質(zhì)點之間的距離波速（相速）v

單位時間內(nèi)振動狀態(tài)（或相位）傳播的距離。波的傳播過程就是相位的傳播過程相鄰兩波谷距離頻率ν波的周期的倒數(shù)，等于波源和各質(zhì)點的振動頻率周期

T波前進一個波長所需的時間，等于波源和各質(zhì)點的振動周期vt=0t=Ttλ前進了一個波長完成了一個振動周期四.波動的幾個概念

波線（波射線）波傳播的方向波陣面（波前）某一時刻t，波動到達的各點連成的曲面波面（同相面）在波動介質(zhì)中相位相同的點連成的曲面波速、波長和周期（頻率）之間的基本關(guān)系同相面波陣面

波線波陣面同相面

波線球面波波陣面是球面平面波波陣面是平面平面縱波球面縱波

凝聚區(qū)凝聚區(qū)稀疏區(qū)稀疏區(qū)以聲波為例例題16-1空氣中的聲速為320m/s時，振動頻率為400Hz的音叉產(chǎn)生的聲波的波長是多少？當(dāng)音叉完成30次振動時，聲波傳播了多遠(yuǎn)？解波源的頻率就是波的頻率，由波長、頻率和波速之間的基本關(guān)系式得音叉完成1次振動所需的時間（周期）為完成30次振動所需的時間為在30次振動時間內(nèi)聲波傳播的距離為一.物質(zhì)的彈性

彈性物體在外力作用下產(chǎn)生形變，外力撤除后物體會恢復(fù)原狀的性質(zhì)

應(yīng)力物體形變時，單位面積的恢復(fù)力F/S法向應(yīng)力壓應(yīng)力張應(yīng)力切向應(yīng)力SFSFFFS§16–2機械波的傳播速度法向應(yīng)力=F/S

1.

線應(yīng)變ASFFBll楊氏彈性模量線應(yīng)變=l/l形變量2.

體應(yīng)變SF體積彈性模量體應(yīng)變=V/V法向應(yīng)力=F/S

體積變化3.

切應(yīng)變切變彈性模量切應(yīng)變切向應(yīng)力=F/S

ASFFBxl形變量物體彈性形變的勢能計算伸長量x

由0到l過程中，外力所作的功FFSDA當(dāng)棒伸長為x

時則棒伸長量x

由0到l過程中，外力所作的功為即彈性物體的形變勢能為單位體積的形變勢能一般可表示為二.傳播橫波和縱波的介質(zhì)波的傳播速度

橫波在介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)的形變是切變，只有固體中能產(chǎn)生切向應(yīng)力，只有固體才能傳播橫波

縱波在介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)的形變是體應(yīng)變，故固體、液體和氣體內(nèi)都能傳播縱波橫波引起介質(zhì)切變放大可以證明：橫波在固體中的傳播速度為固體的密度機械波的傳播速度完全取決于介質(zhì)的彈性和慣性，即取決于介質(zhì)的彈性模量和密度。縱波的傳播速度為介質(zhì)的體積彈性模量介質(zhì)的密度固體的切變彈性模量若縱波沿一細(xì)棒狀的介質(zhì)傳播，則體積彈性模量可用楊氏彈性模量代替，即在固體中E>G，所以在固體中縱波的傳播速度大于橫波的傳播速度機械波的傳播速度完全取決于介質(zhì)的各種彈性模量和波的性質(zhì)（橫波、縱波），以及介質(zhì)的密度，與頻率無關(guān)。楊氏彈性模量介質(zhì)的密度三子波的合成波方波可分解為無窮多子波的疊加無論是什么形式的波，都可視為是由許多最簡單、最基本的簡諧波（余弦波）的合成簡諧波波源和各質(zhì)點均作簡諧振動的波TA§16-3平面簡諧波的波函數(shù)在均勻介質(zhì)中沿x軸正向傳播的一平面簡諧波一.平面簡諧波的波函數(shù)

平面簡諧波的波函數(shù)能描述x軸上各點振動情況的函數(shù)yxxOPv波線波傳播方向質(zhì)點振動相對于平衡位置的位移已知原點O的振動方程，需導(dǎo)出

P點的振動方程波的傳播就是振動相位的傳播，O點相位傳到P點所需時間為，則P點t時刻相位等于O點時刻相位，即，P點位移為已知原點O

點的振動方程為給出了在波的傳播過程中，任意時刻、任一點的振動狀態(tài)。即沿x軸正向傳播的平面簡諧波的波函數(shù)P點的振動方程原點O的初相沿x軸正向傳播的波函數(shù)可寫成如下幾種形式：

即x=x0處質(zhì)點的振動方程，初相為二.波函數(shù)的物理意義當(dāng)x一定時例如x=x0

，波函數(shù)變?yōu)閥t0x=x0處質(zhì)點的振動曲線即t=t0

時刻的波形方程當(dāng)t

一定時例如t=t0，波函數(shù)變?yōu)閥xOv波線波傳播方向t=t0

時刻的波形該時刻各質(zhì)點的位移曲線

Δt時間內(nèi)波形移動距離波的傳播過程就是波形的傳播過程，這種在空間傳播的波稱為行波若t

與x都變化yxOv波傳播方向t

時刻的波形t+Δt時刻的波形Δx=vΔt兩波形上相位相同點x

t+t

時刻，位于

處質(zhì)點的相位為

t時刻，位于x

處質(zhì)點的相位為因兩質(zhì)點的相位相同，則由波函數(shù)可得：表明經(jīng)過

t

時間，波形向前推進了x=vt

的距離，即波形以速度v

向前傳播P

點相位傳送到O點所需時間為x/v

波沿x軸負(fù)向傳播在均勻介質(zhì)中沿x軸負(fù)向傳播的一平面簡諧波yxxOPv波傳播方向已知原點O的振動方程，需導(dǎo)出

P點的振動方程波的傳播就是振動相位的傳播，O點相位落后P點的相位的時間為，則t時刻P點相位等于O點時刻相位，t時刻P點位移為已知原點O

點的振動方程為即沿x軸負(fù)向傳播的平面簡諧波的波函數(shù)P點的振動方程原點O的初相沿x軸負(fù)向傳播的波函數(shù)可寫成如下幾種形式：例題16-2沿x軸正向傳播的平面余弦波，原點的振動方程為y=6×10-2cos(πt/9+π/3)，其中y以m為單位，t以s為單位，波長為36m，求：（1）波函數(shù)；（2）x=9m處質(zhì)點的振動方程；（3）t=3s時的波形及該時刻波峰的位置坐標(biāo)。解（1）原點振動初相φ=π/3，波的振幅頻率等于原點振動的振幅頻率，波長λ=36m，代入沿x軸正向傳播的波函數(shù)表示式，得其中x、y以m為單位，t以s為單位。（2）在上式中，令x=9m，即得所求振動方程（3）在波函數(shù)中，令t=3s，即得該時刻的波形波峰處位移最大，即y=6×10-2m，將之與上式相比較得：由此得x=(12–36k)m,k=0,±1,±2,…這就是各波峰的位置坐標(biāo)例題16-3圖中實線為一平面余弦波在t=0時刻的波形圖，此波形以v=0.08m/s的速度沿x軸正向傳播，試求：（1）a、b的振動方向；（2）O點的振動方程；（3）波函數(shù)。解（1）y/m-0.2x/mOv0.2ab0.20.4Δt時間后的波形運動方向（2）由圖看出波的振幅A=0.2m，波長λ=0.4m，已知波速v=0.08m/s，由基本關(guān)系式λ=vT得：故O點的振動方程為初相φ的計算：O點的振動速度為由第一式得φ=π/2或3π/2，由第二式sinφ>0，應(yīng)取φ=π/2，得O點的振動方程cosφ=0，sinφ>0，t=0時，O點的位移y=0，O點向下運動，即u為負(fù)，代入以上二式得其中y以m為單位，t以s為單位。（3）該平面余弦波的波函數(shù)為其中t以s為單位，x、y以m為單位。

波的傳播過程既是振動的傳播過程，也是能量的傳播過程一.波的能量波函數(shù)為的簡諧縱波在棒中傳播x△xBCOBCyy+△y波線截面積S取體積元S△x平衡位置形變后t時刻位置§16-4波的能量能流密度介質(zhì)密度為ρ，體積元BC質(zhì)量為因△x很小，t時刻體積元運動速度即x

處介質(zhì)的振動速度

體積元的振動動能為該時刻體積元的伸長為△y，則

體積元的彈性勢能為結(jié)果表明，任一時刻體積元的動能和勢能完全相等，相位相同，同時達到最大，同時為零由振動速度與彈性模量關(guān)系，體積元的總能量為結(jié)果表明，體積元的總能量隨時間作周期性變化；在給定時刻各體積元的總能量隨空間位置x作周期性變化；介質(zhì)中能量以波的形式傳播。介質(zhì)中單位體積內(nèi)波的能量叫做波的能量密度，表示為能量密度與平均能量密度能量密度在一個周期內(nèi)的平均值稱平均能量密度二.能流和能流密度單位時間內(nèi)通過某一面積的平均能量稱為通過該面積的平均能流vS波傳播方向1s內(nèi)通過S面的能量都在此柱體內(nèi)平均能量αS強度為I

的波，傳播方向與平面的夾角為α，則穿過該平面的平均能流為

能流密度（波的強度）通過垂直于波傳播方向的單位面積的平均能流能流密度為矢量，方向與波速方向相同，即三.平面波和球面波的振幅S1.平面波的振幅兩個面的平均能流分別為平面簡諧波S波傳播方向A1、A2分別為兩個面處波的振幅即介質(zhì)不吸收波的能量對平面波，振幅不變

A1=A2，則S1S2r2r1O2.

球面波的振幅若介質(zhì)不吸收能量，通過兩個球面的平均能流相等A1、A2分別為兩球面上波的振幅球面簡諧波的波函數(shù)為得在數(shù)值上A等于離開波源單位距離處波的振幅波源惠更斯原理介質(zhì)中波動傳到的各點都可以看作新的波源，這些新波源發(fā)射的波稱為次級子波，其后任一時刻這些新的子波的前方包絡(luò)就是該時刻的新波陣面。一.惠更斯原理只要知道某一時刻的波陣面，就可以根據(jù)這一原理來決定次一時刻的波陣面§16-5惠更斯原理及其應(yīng)用球面波的傳播平面波的傳播t時刻的波陣面t時刻的波陣面t+t時刻的波陣面波線新波源rr=vt

波線新波源子波波陣面rr=vt

二.波的衍射波偏離直線傳播的現(xiàn)象稱為波的衍射現(xiàn)象BA新波源波線子波波陣面新波陣面惠更斯原理對衍射現(xiàn)象的說明衍射現(xiàn)象是波的共同特征。與縫寬d比較，波長愈長衍射現(xiàn)象愈顯著；波長愈短衍射愈不顯著，而方向性則愈強。BAd波線新波源三.波的反射與折射入射線、反射線與界面的法線在一平面內(nèi)，反射角等于入射角A’ACDMNIRenirC’C’’A’’1.

波的反射定律當(dāng)波傳播到兩種介質(zhì)的分界面時，要形成反射波與折射波。用惠更斯原理可推出反射和折射定律。界面法線A點子波波陣面新波源C點子波波陣面r=i波的折射定律相對折射率2.波的折射定律A’ACDMNIRenirC’界面法線A點子波波陣面新波源C點子波波陣面n1Eir折射波傳播方向n2由幾何關(guān)系得幾列波在同一種介質(zhì)中相遇，在相遇區(qū)域，介質(zhì)質(zhì)點的振動為各列波分別引起的振動的合成（疊加）。一.波的疊加原理幾列波在同一種介質(zhì)中相遇，各自頻率、波長、振幅及振動方向等仍保持不變，并按原傳播方向繼續(xù)前進。波的疊加原理波的獨立傳播特性§16-6波的疊加原理波的干涉在兩列波的相遇區(qū)域某些點振動互相加強（振幅增大），另一些點振動互相減弱（振幅減?。┑默F(xiàn)象，叫波的干涉現(xiàn)象。

二.波的干涉頻率相同、振動方向相同、初相相同或初相差恒定的兩個波源稱相干波源，發(fā)出的波為相干波。三.兩列相干波互相加強與減弱的條件兩個相干波源S1、S2振動方程分別為介質(zhì)中波長為，兩列波在P點引起的振動分別為S1S2PP點合振動為其中兩波在P點所引起的振動的相位差對

點振幅起決定性作用P當(dāng)（k=0、±1、±2、……）時

A=A1+A2

振動最強當(dāng)（k=0、±1、±2、……）時

A=A1-A2

振動最弱當(dāng)1=2時，則有

此時位相差的數(shù)值僅決定于兩相干波源到P點的路程差δ，稱為波程差。加強減弱S1S2加強加強減弱減弱減弱S1S2合振幅最大當(dāng)時合振幅最小當(dāng)時半波長的偶數(shù)倍半波長的奇數(shù)倍用波程差δ判斷干涉圖樣分布情況一.駐波的形成兩列頻率相同、振動方向相同、振幅相等、在同一直線上沿相反方向傳播的波疊加后生成駐波。波腹（振幅最大）波節(jié)（靜止不動）另一種介質(zhì)反射波入射波反射波與入射波疊加后可生成駐波§16-7駐波向左傳播的波向右傳播的波波腹節(jié)點波腹波腹波腹節(jié)點節(jié)點合成的波形xxx二.駐波方程（選擇一波腹處為坐標(biāo)原點）沿x軸正向傳播的波沿x軸負(fù)向傳播的波合成波xyO相位這是一個振幅為的簡諧振動方程三.駐波的特征波節(jié)位置波腹位置xyO兩節(jié)點間各點相