《曲線與方程》(5) 教學(xué)課件

【知識梳理】1.曲線與方程的定義一般地,在直角坐標系中,如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立如下的對應(yīng)關(guān)系:那么,這個方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線.這個方程曲線上2.求動點的軌跡方程的基本步驟任意x,y所求方程【考點自測】1.(思考)給出下列命題:①f(x0,y0)=0是點P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上的充要條件;②方程x2+xy=x的曲線是一個點和一條直線;③到兩條互相垂直的直線距離相等的點的軌跡方程是x2=y2;④方程y=與x=y2表示同一曲線.其中錯誤的是(

)A.①②③

B.②③④

C.①③④

D.①②④【解析】選B.①正確.由f(x0,y0)=0可知點P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上,又P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上時,有f(x0,y0)=0,所以f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上的充要條件.②錯誤.方程變?yōu)閤(x+y-1)=0,所以x=0或x+y-1=0,故方程表示直線x=0或直線x+y-1=0.③錯誤.當以兩條互相垂直的直線為x軸、y軸時,是x2=y2,否則不正確.④錯誤.因為方程y=表示的曲線只是方程x=y2表示曲線的一部分,故其不正確.2.若動點P到定點F(1,-1)的距離與到直線l:x-1=0的距離相等,則動點P的軌跡是(

)A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.直線【解析】選D.因為定點F(1,-1)在直線l:x-1=0上,所以軌跡為過F(1,-1)與直線l垂直的一條直線,故選D.3.實數(shù)變量m,n滿足m2+n2=1,則坐標(m+n,mn)表示的點的軌跡是(

)A.拋物線 B.橢圓C.雙曲線的一支 D.拋物線的一部分【解析】選D.設(shè)x=m+n,y=mn,則x2=(m+n)2=m2+n2+2mn=1+2y,且由于m,n的取值都有限制,因此變量x的取值也有限制,所以點(m+n,mn)的軌跡為拋物線的一部分,故選D.4.方程x2+xy=0表示的曲線是

.【解析】因為x2+xy=0,所以x(x+y)=0,所以x=0或x+y=0,所以方程x2+xy=0表示兩條直線.答案:兩條直線5.若方程ax2+by=4的曲線經(jīng)過點A(0,2)和則a=

,b=

.【解析】因為曲線經(jīng)過點A(0,2)和所以解得:a=16-8,b=2.答案:16-8

2考點1定義法求點的軌跡方程

【典例1】(1)(2014·北京模擬)△ABC的頂點A(-5,0),B(5,0),△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上,則頂點C的軌跡方程是_____

.(2)已知圓C與兩圓x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圓C的圓心軌跡方程為L,設(shè)L上的點與點M(x,y)的距離的最小值為m,點F(0,1)與點M(x,y)的距離為n.①求圓C的圓心軌跡L的方程;②求滿足條件m=n的點M的軌跡Q的方程.

【解題視點】(1)根據(jù)題設(shè)條件,尋找動點C與兩定點A,B距離的差滿足的等量關(guān)系|CA|-|CB|=6,由雙曲線的定義得出所求軌跡為雙曲線的一部分,再求其方程.(2)①將圓C與另外兩圓都相外切,轉(zhuǎn)化為圓心距與兩圓半徑和之間的關(guān)系.②m=n說明到定點的距離與到定直線的距離相等.【規(guī)范解答】(1)如圖,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根據(jù)雙曲線的定義,所求軌跡是以A,B為焦點,實軸長為6的雙曲線的右支,方程為

答案:

(2)①兩圓半徑都為1,兩圓圓心分別為C1(0,-4),C2(0,2),由題意得|CC1|=|CC2|,可知圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線,C1C2的中點為(0,-1),直線C1C2的斜率不存在,故圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線,其方程為y=-1,即圓C的圓心軌跡L的方程為y=-1.②因為m=n,所以M(x,y)到直線y=-1的距離與到點F(0,1)的距離相等,故點M的軌跡Q是以y=-1為準線,點F(0,1)為焦點,頂點在原點的拋物線,而=1,即p=2,所以,軌跡Q的方程是x2=4y.【易錯警示】準確把握雙曲線的定義在本例(1)中易出現(xiàn)的錯誤結(jié)果,其原因是對雙曲線的定義理解錯誤或沒有注意到頂點C始終在x=3的右側(cè).【規(guī)律方法】定義法求軌跡方程的適用條件及關(guān)鍵(1)適用條件:動點與定點、定直線之間的某些關(guān)系滿足直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義.(2)關(guān)鍵:定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是理解平面幾何圖形的定義.提醒:弄清各種常見曲線的定義是用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】(2013·北京模擬)一圓形紙片的圓心為點O,點Q是圓內(nèi)異于點O的一定點,點A是圓周上一點.把紙片折疊,使點A與Q重合,然后展平紙片,折痕與OA交于P點.