3.2數(shù)學(xué)證明-課件

§2數(shù)學(xué)證明

§2數(shù)學(xué)證明11.了解演繹推理的意義．2.掌握三段論的模式，并會用演繹推理即三段論模式證明數(shù)學(xué)命題.1.了解演繹推理的意義．21.了解演繹推理的含義．(重點)2.能利用“三段論”進行簡單的推理．(重點、難點)1.了解演繹推理的含義．(重點)31．歸納推理的含義根據(jù)一類事物中

具有某種屬性，推斷該類事物中

．將這種推理方式稱為歸納推理．2．類比推理的含義由于兩類不同對象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)

推斷

，這種推理過程稱為類比推理．類比推理是

的推理．部分事物每一個都有這種屬性一類對象的其他特征另一類對象也具有類似的其他特征兩類事物特征之間1．歸納推理的含義部分事物每一個都有這種屬性一類對象的其他特43．合情推理的含義根據(jù)

、

(定義、公理、定理等)，推測出某些結(jié)果的推理方式．

和

是最常見的合情推理．實驗和實踐的結(jié)果、個人的經(jīng)驗和直覺已有的事實和正確的結(jié)論歸納推理類比推理實驗和實踐的結(jié)果、個人的經(jīng)驗和直覺已有的事實和正確的結(jié)論歸納51．演繹推理(1)含義：從一般性的原理出發(fā)，推出

結(jié)論的推理．(2)特點：由

的推理．(3)一般模式：

．大前提：

．小前提：

．結(jié)論：

．某個特殊情況下的一般到特殊三段論已知的一般原理所研究的特殊情況根據(jù)一般的原理，對特殊情況做出的判斷1．演繹推理某個特殊情況下的一般到特殊三段論已知的一般原理所62．“三段論”的常用格式大前提：M是P.小前提：S是M.結(jié)論：

.S是PS是P71．下列說法不正確的個數(shù)為()①演繹推理是一般到特殊的推理；②演繹推理得到的結(jié)論一定正確；③合情推理是演繹推理的前提，演繹推理是合情推理的可靠性．A．3 B．2C．1 D．0解析：

演繹推理的結(jié)論正確與否與前提、推理形式有關(guān)，不一定正確，故②不正確．答案：

C1．下列說法不正確的個數(shù)為()839解析：

推理的形式正確，但大前提是錯誤的，這是因為對數(shù)函數(shù)y＝logax(0＜a＜1)是減函數(shù)，所以得到的結(jié)論是錯誤的．答案：

C3103．“一切奇數(shù)都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇數(shù)．”把此演繹推理寫成三段論的形式為：大前提__________________________________________；小前提__________________________________________；結(jié)論__________________________________________．311解析：由三段論可知：大前提是一般原理；小前提是所研究的特殊情況；結(jié)論是根據(jù)一般的原理，對特殊情況做出的判斷．答案：一切奇數(shù)都不能被2整除75不能被2整除75是奇數(shù)3124．下面推理錯在何處？如果不買彩票，那么就不能中獎，因為你買了彩票，所以你一定中獎．解析：

推理規(guī)則不對，小前提與大前提不對應(yīng)，大前提作出的判斷是“不買彩票就不能中獎”，小前提對應(yīng)的應(yīng)為“你沒買彩票”，結(jié)論“你不可能中獎”.

313 用三段論的形式寫出下列演繹推理：(1)矩形的對角線相等，正方形是矩形，所以正方形的對角線相等；(2)0.33是有理數(shù)；(3)一切奇數(shù)都不能被2整除，2100＋1是奇數(shù)，所以2100＋1不能被2整除． 用三段論的形式寫出下列演繹推理：14315[解題過程]

(1)每一個矩形的對角線相等． 大前提正方形是矩形． 小前提正方形的對角線相等． 結(jié)論(2)所有的循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)． 大前提0．33是循環(huán)小數(shù)． 小前提0．33是有理數(shù)． 結(jié)論(3)一切奇數(shù)都不能被2整除． 大前提2100＋1是奇數(shù)． 小前提2100＋1不能被2整除． 結(jié)論[解題過程](1)每一個矩形的對角線相等． 大前提161.用三段論的形式寫出下列演繹推理．(1)若兩角是對頂角，則此兩角相等．所以若兩角不相等，則此兩角不是對頂角．(2)三角函數(shù)都是周期函數(shù)，y＝tanα是三角函數(shù)，因此y＝tanα是周期函數(shù)．(3)通項公式an＝2n＋3的數(shù)列{an}為等差數(shù)列．1.用三段論的形式寫出下列演繹推理．17解析：

演繹推理中如果大前提、小前提都是真實的，按照三段論形式推出的結(jié)論必是真實的，因此，演繹推理可以作為嚴格的推理方法．(1)兩個角是對頂角，則兩角相等． 大前提∠1和∠2不相等． 小前提∠1和∠2不是對頂角． 結(jié)論(2)三角函數(shù)都是周期函數(shù)． 大前提y＝tanα是三角函數(shù)． 小前提y＝tanα是周期函數(shù)． 結(jié)論解析：演繹推理中如果大前提、小前提都是真實的，按照三段論形18(3)數(shù)列{an}中，如果當n≥2時，an－an－1為常數(shù)，則{an}為等差數(shù)列． 大前提通項公式an＝2n＋3時，若n≥2.則an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常數(shù))． 小前提通項公式an＝2n＋3表示的數(shù)列為等差數(shù)列． 結(jié)論319 在四邊形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD(如圖)，求證：ABCD為平行四邊形，寫出三段論形式的演繹推理． 在四邊形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD(如圖)，求證：20321[證明過程]

(1)連結(jié)AC.(2)平面幾何中的三角形“邊邊邊”定理是：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，這一定理相當于：對于任意兩個三角形，如果它們的三邊對應(yīng)相等，則這兩個三角形全等， 大前提△ABC和△CDA的三邊對應(yīng)相等， 小前提則這兩個三角形全等． 結(jié)論[證明過程](1)連結(jié)AC.22(3)由全等三角形的定義可知：全等三角形的對應(yīng)角相等，這一性質(zhì)相當于：對于任意兩個三角形，如果它們?nèi)?，則它們的對應(yīng)角相等． 大前提△ABC和△CDA全等． 小前提則它們的對應(yīng)角相等． 結(jié)論用符號表示，就是△ABC≌△CDA?∠1＝∠2且∠3＝∠4且∠B＝∠D.323(4)兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行． 大前提直線AB、DC被直線AC所截，內(nèi)錯角∠1＝∠2. 小前提(已證)則AB∥DC. 結(jié)論同理有：BC∥AD.324(5)如果四邊形兩組對邊分別平行，那么這個四邊形是平行四邊形． 大前提四邊形ABCD中，兩組對邊分別平行． 小前提則四邊形ABCD是平行四邊形． 結(jié)論用符號表示為：AB∥DC且AD∥BC?四邊形ABCD為平行四邊形．(5)如果四邊形兩組對邊分別平行，那么這個四邊形是平行四邊形252.如圖，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB上的點，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求證：ED＝AF.2.如圖，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB上的點，∠BFD＝26證明：

因為同位角相等，兩條直線平行， 大前提∠BFD與∠A是同位角，且∠BFD＝∠A， 小前提所以FD∥AE. 結(jié)論因為兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形， 大前提DE∥BA，且FD∥AE， 小前提所以四邊形AFDE為平行四邊行． 結(jié)論因為平行四邊形的對邊相等， 大前提ED和AF為平行四邊形AFDE的對邊， 小前提所以ED＝AF. 結(jié)論證明：因為同位角相等，兩條直線平行， 大前提27328329∵a>1，且x1<x2，∴ax1<ax2，x1－x2<0.又∵x1>－1，x2>－1，∴(x1＋1)(x2＋1)>0.∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)． 小前提∴函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． 結(jié)論330331答案：①③④

答案：①③④321．三段論中的大前提提供了一個一般性的原理，小前提指出了一種特殊情況，兩個命題結(jié)合起來，揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而得到了第三個命題——結(jié)論．2．三段論推理的結(jié)論正確與否，取決于兩個前提是否正確，推理形式(即S與M的包含關(guān)系)是否正確．[特別提醒]運用三段論推理時，常可省略大前提或小前提，對于復(fù)雜的證明，也常把前一個三段論的結(jié)論作為下一個三段論的前提．1．三段論中的大前提提供了一個一般性的原理，小前提指出了一種331．演繹的前提是一般性原理，演繹所得的結(jié)論是蘊涵于前提之中的個別、特殊事實，結(jié)論完全蘊涵于前提之中．2．在演繹推理中，前提與結(jié)論之間存在著必然的聯(lián)系，只要前提是真實的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論也必定是正確的．因而演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴格證明的工具．3．演繹推理是一種收斂性的思維方法，它較少有創(chuàng)造性，但卻具有條理清晰、令人信服的論證作用，有助于科學(xué)的理論化和系統(tǒng)化．1．演繹的前提是一般性原理，演繹所得的結(jié)論是蘊涵于前提之中的34合情推理演繹推理主要區(qū)別常用形式歸納、類比三段論思維運動過程的方向歸納推理是從部分到整體，從特殊到一般的推理；類比推理是從特殊到特殊的推理從一般性的知識的前提推出一個特殊性的知識的結(jié)論，即從一般到特殊的推理前提與結(jié)論聯(lián)系的性質(zhì)結(jié)論超過了前提所斷定的范圍，其結(jié)論具有或然性結(jié)論不超過前提所斷定的范圍，前提和結(jié)論的聯(lián)系是必然的應(yīng)用不能作為數(shù)學(xué)證明的工具，但它具有創(chuàng)造性思維，對于數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)很有意義可以作為數(shù)學(xué)證明的工具，較少創(chuàng)造性，但它嚴密的論證有助于數(shù)學(xué)的理論化和系統(tǒng)化合情推理演繹推理主要區(qū)別常用形式歸納、類比三段論思維運動過程35合情推理演繹推理主要聯(lián)系兩者緊密聯(lián)系，互為依賴，互為補充(1)演繹推理的一般性知識的大前提必須借助于歸納推理從具體的經(jīng)驗中概括出來．從這個意義上可以說，沒有歸納推理就沒有演繹推理．(2)合情推理也離不開演繹推理，合情推理活動的目的、任務(wù)和方向必須借助于理論思維，依靠人們先前積累的一般性理論知識作指導(dǎo)．這本身就是一種演繹活動，并且合情推理得到的結(jié)論正確與否，必須借助于演繹推理去論證，從這個意義上說，沒有演繹推理也就沒有合情推理.合情推理演繹推理主要聯(lián)系兩者緊密聯(lián)系，互為依賴，互為補充36演繹推理與合情推理的有機結(jié)合——探索性演繹法，即探索性演繹法是在演繹推理的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種合情推理的方法．337◎如圖，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB邊上的高，求證：∠ACD＞∠BCD.◎如圖，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB邊上的高，求證：38【錯解】

證明：在△ABC中，因為CD⊥AB，AC＞BC，所以AD＞BD，所以∠ACD＞∠BCD.【錯因】

錯解原因在于雖然運用的大前提正確：在同一個三角形內(nèi)，大邊對大角；而AD與BD并不是同一個三角形的兩條邊，即小前提并不成立，所以推理過程錯誤．339【正解】

證明：因為CD⊥AB，所以∠ADC＝∠BDC＝90°.所以∠A＋∠ACD＝∠B＋∠BCD＝90°.所以∠A－∠B＝∠BCD－∠ACD.在△ABC中，因為AC＞BC，所以∠B＞∠A，即∠A－∠B＜0，所以∠BCD－∠ACD＜0，所以∠ACD＞∠BCD.340§2數(shù)學(xué)證明

§2數(shù)學(xué)證明411.了解演繹推理的意義．2.掌握三段論的模式，并會用演繹推理即三段論模式證明數(shù)學(xué)命題.1.了解演繹推理的意義．421.了解演繹推理的含義．(重點)2.能利用“三段論”進行簡單的推理．(重點、難點)1.了解演繹推理的含義．(重點)431．歸納推理的含義根據(jù)一類事物中

具有某種屬性，推斷該類事物中

．將這種推理方式稱為歸納推理．2．類比推理的含義由于兩類不同對象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)

推斷

，這種推理過程稱為類比推理．類比推理是

的推理．部分事物每一個都有這種屬性一類對象的其他特征另一類對象也具有類似的其他特征兩類事物特征之間1．歸納推理的含義部分事物每一個都有這種屬性一類對象的其他特443．合情推理的含義根據(jù)

、

(定義、公理、定理等)，推測出某些結(jié)果的推理方式．

和

是最常見的合情推理．實驗和實踐的結(jié)果、個人的經(jīng)驗和直覺已有的事實和正確的結(jié)論歸納推理類比推理實驗和實踐的結(jié)果、個人的經(jīng)驗和直覺已有的事實和正確的結(jié)論歸納451．演繹推理(1)含義：從一般性的原理出發(fā)，推出

結(jié)論的推理．(2)特點：由

的推理．(3)一般模式：

．大前提：

．小前提：

．結(jié)論：

．某個特殊情況下的一般到特殊三段論已知的一般原理所研究的特殊情況根據(jù)一般的原理，對特殊情況做出的判斷1．演繹推理某個特殊情況下的一般到特殊三段論已知的一般原理所462．“三段論”的常用格式大前提：M是P.小前提：S是M.結(jié)論：

.S是PS是P471．下列說法不正確的個數(shù)為()①演繹推理是一般到特殊的推理；②演繹推理得到的結(jié)論一定正確；③合情推理是演繹推理的前提，演繹推理是合情推理的可靠性．A．3 B．2C．1 D．0解析：

演繹推理的結(jié)論正確與否與前提、推理形式有關(guān)，不一定正確，故②不正確．答案：

C1．下列說法不正確的個數(shù)為()48349解析：

推理的形式正確，但大前提是錯誤的，這是因為對數(shù)函數(shù)y＝logax(0＜a＜1)是減函數(shù)，所以得到的結(jié)論是錯誤的．答案：

C3503．“一切奇數(shù)都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇數(shù)．”把此演繹推理寫成三段論的形式為：大前提__________________________________________；小前提__________________________________________；結(jié)論__________________________________________．351解析：由三段論可知：大前提是一般原理；小前提是所研究的特殊情況；結(jié)論是根據(jù)一般的原理，對特殊情況做出的判斷．答案：一切奇數(shù)都不能被2整除75不能被2整除75是奇數(shù)3524．下面推理錯在何處？如果不買彩票，那么就不能中獎，因為你買了彩票，所以你一定中獎．解析：

推理規(guī)則不對，小前提與大前提不對應(yīng)，大前提作出的判斷是“不買彩票就不能中獎”，小前提對應(yīng)的應(yīng)為“你沒買彩票”，結(jié)論“你不可能中獎”.

353 用三段論的形式寫出下列演繹推理：(1)矩形的對角線相等，正方形是矩形，所以正方形的對角線相等；(2)0.33是有理數(shù)；(3)一切奇數(shù)都不能被2整除，2100＋1是奇數(shù)，所以2100＋1不能被2整除． 用三段論的形式寫出下列演繹推理：54355[解題過程]

(1)每一個矩形的對角線相等． 大前提正方形是矩形． 小前提正方形的對角線相等． 結(jié)論(2)所有的循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)． 大前提0．33是循環(huán)小數(shù)． 小前提0．33是有理數(shù)． 結(jié)論(3)一切奇數(shù)都不能被2整除． 大前提2100＋1是奇數(shù)． 小前提2100＋1不能被2整除． 結(jié)論[解題過程](1)每一個矩形的對角線相等． 大前提561.用三段論的形式寫出下列演繹推理．(1)若兩角是對頂角，則此兩角相等．所以若兩角不相等，則此兩角不是對頂角．(2)三角函數(shù)都是周期函數(shù)，y＝tanα是三角函數(shù)，因此y＝tanα是周期函數(shù)．(3)通項公式an＝2n＋3的數(shù)列{an}為等差數(shù)列．1.用三段論的形式寫出下列演繹推理．57解析：

演繹推理中如果大前提、小前提都是真實的，按照三段論形式推出的結(jié)論必是真實的，因此，演繹推理可以作為嚴格的推理方法．(1)兩個角是對頂角，則兩角相等． 大前提∠1和∠2不相等． 小前提∠1和∠2不是對頂角． 結(jié)論(2)三角函數(shù)都是周期函數(shù)． 大前提y＝tanα是三角函數(shù)． 小前提y＝tanα是周期函數(shù)． 結(jié)論解析：演繹推理中如果大前提、小前提都是真實的，按照三段論形58(3)數(shù)列{an}中，如果當n≥2時，an－an－1為常數(shù)，則{an}為等差數(shù)列． 大前提通項公式an＝2n＋3時，若n≥2.則an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常數(shù))． 小前提通項公式an＝2n＋3表示的數(shù)列為等差數(shù)列． 結(jié)論359 在四邊形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD(如圖)，求證：ABCD為平行四邊形，寫出三段論形式的演繹推理． 在四邊形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD(如圖)，求證：60361[證明過程]

(1)連結(jié)AC.(2)平面幾何中的三角形“邊邊邊”定理是：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，這一定理相當于：對于任意兩個三角形，如果它們的三邊對應(yīng)相等，則這兩個三角形全等， 大前提△ABC和△CDA的三邊對應(yīng)相等， 小前提則這兩個三角形全等． 結(jié)論[證明過程](1)連結(jié)AC.62(3)由全等三角形的定義可知：全等三角形的對應(yīng)角相等，這一性質(zhì)相當于：對于任意兩個三角形，如果它們?nèi)?，則它們的對應(yīng)角相等． 大前提△ABC和△CDA全等． 小前提則它們的對應(yīng)角相等． 結(jié)論用符號表示，就是△ABC≌△CDA?∠1＝∠2且∠3＝∠4且∠B＝∠D.363(4)兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行． 大前提直線AB、DC被直線AC所截，內(nèi)錯角∠1＝∠2. 小前提(已證)則AB∥DC. 結(jié)論同理有：BC∥AD.364(5)如果四邊形兩組對邊分別平行，那么這個四邊形是平行四邊形． 大前提四邊形ABCD中，兩組對邊分別平行． 小前提則四邊形ABCD是平行四邊形． 結(jié)論用符號表示為：AB∥DC且AD∥BC?四邊形ABCD為平行四邊形．(5)如果四邊形兩組對邊分別平行，那么這個四邊形是平行四邊形652.如圖，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB上的點，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求證：ED＝AF.2.如圖，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB上的點，∠BFD＝66證明：

因為同位角相等，兩條直線平行， 大前提∠BFD與∠A是同位角，且∠BFD＝∠A， 小前提所以FD∥AE. 結(jié)論因為兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形， 大前提DE∥BA，且FD∥AE， 小前提所以四邊形AFDE為平行四邊行． 結(jié)論因為平行四邊形的對邊相等， 大前提ED和AF為平行四邊形AFDE的對邊， 小前提所以ED＝AF. 結(jié)論證明：因為同位角相等，兩條直線平行， 大前提67368369∵a>1，且x1<x2，∴ax1<ax2，x1－x2<0.又∵x1>－1，x2>－1，∴(x1＋1)(x2＋1)>0.∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)． 小前提∴函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． 結(jié)論370371答案：①③④

答案：①③④721．三段論中的大前提提供了一個一般性的原理，小前提指出了一種特殊情況，兩個命題結(jié)合起來，揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而得到了第三個命題——結(jié)論．2．三段論推理的結(jié)論正確與否，取決于兩個前提是否正確，推理形式(即S與M的包含關(guān)系)是否正確．[特別提醒]運用三段論推理時，?？墒÷源笄疤峄蛐∏疤?，對于復(fù)雜的證明，也常把前一個三段論的結(jié)論作為下一個三段論的前提．1．三段論中的大前提提供了一個一般性的原理，小前提指出了一種731．演繹的前提是一般性原理，演繹所得的結(jié)論是蘊涵于前提之中的個別、特殊事實，結(jié)論完全蘊涵于前提之中．2．在演繹推理中，前提與結(jié)論之間存在著必然的聯(lián)系，只要前提是真實的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論也必定是正確的．因而演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴格證明的工具．3．演繹推理是一種收斂性的思維方法，它較少有創(chuàng)造性，但卻具有條理清晰、令人信服的論證作用，有助于科學(xué)的理論化和系統(tǒng)化．1．演繹的前提是一般性原理，演繹所得的結(jié)論是蘊涵于前提之中的74合情推理演繹推理主