(通用版)高考數(shù)學(文數(shù))一輪復習考點梳理與過關練習19《平面向量的數(shù)量積及向量的應用》(含詳解)

考點19平面向量的數(shù)量積及向量的應用1．平面向量的數(shù)量積（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.（2）了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系.（3）掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.（4）能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.2．向量的應用（1）會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.（2）會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題.一、平面向量的數(shù)量積1．平面向量數(shù)量積的概念（1）數(shù)量積的概念已知兩個非零向量，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內積)，記作,即，其中θ是與的夾角.【注】零向量與任一向量的數(shù)量積為0.（2）投影的概念設非零向量與的夾角是θ，則()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.如圖（1）（2）（3）所示，分別是非零向量與的夾角為銳角、鈍角、直角時向量在方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影長是向量的長度.（3）數(shù)量積的幾何意義由向量投影的定義，我們可以得到的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影的乘積.2．平面向量數(shù)量積的運算律已知向量和實數(shù),則①交換律：；②數(shù)乘結合律：；③分配律：.二、平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角及性質設非零向量，是與的夾角.（1）數(shù)量積：.（2）模：.（3）夾角：.（4）垂直與平行：；a∥b?a·b=±|a||b|.【注】當與同向時,；當與反向時,.（5）性質：|a·b|≤|a||b|(當且僅當a∥b時等號成立)?.三、平面向量的應用1．向量在平面幾何中常見的應用已知.（1）證明線段平行、點共線問題及相似問題，常用向量共線的條件：（2）證明線段垂直問題，如證明四邊形是正方形、矩形，判斷兩直線（或線段）是否垂直等，常用向量垂直的條件：（其中為非零向量）（3）求夾角問題，若向量與的夾角為，利用夾角公式：（其中為非零向量）（4）求線段的長度或說明線段相等，可以用向量的模：，或（其中兩點的坐標分別為）（5）對于有些平面幾何問題，如載體是長方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐標法，建立平面直角坐標系，把向量用坐標表示出來，通過代數(shù)運算解決綜合問題.2．向量在物理中常見的應用（1）向量與力、速度、加速度及位移力、速度、加速度與位移的合成與分解，實質上就是向量的加減法運算.（2）向量與功、動量力做的功是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，實質是力和位移兩個向量的數(shù)量積，即為和的夾角).考向一平面向量數(shù)量積的運算平面向量數(shù)量積的類型及求法：(1)平面向量數(shù)量積有兩種計算公式：一是夾角公式；二是坐標公式.(2)求較復雜的平面向量數(shù)量積的運算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運算律或相關公式進行化簡.典例1若向量m=(2k-1,k)與向量nA．0 B．4C． D．【答案】D【解析】因為向量m=(2k-1,k)與向量n所以2k-1=4k，解得k=-1即m=(-2,-1所以m?n=選D．典例2已知向量與的夾角為450，則__________．【答案】1+【解析】由向量與的夾角為450，得.1．在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，，則=A． B．2C．3 D．42．已知菱形的邊長為2，，則A．4 B．6C． D．考向二平面向量數(shù)量積的應用平面向量數(shù)量積主要有兩個應用：(1)求夾角的大?。喝鬭，b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得(夾角公式)，所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關角度的問題．(2)確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角.典例3在平行四邊形中，若則A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖所示,平行四邊形中，，，，，因為，所以，則，所以.故選C．3．已知向量,且與的夾角為鈍角，則實數(shù)λ的取值范圍是.考向三平面向量的模及其應用平面向量的模及其應用的類型與解題策略：(1)求向量的模．解決此類問題應注意模的計算公式，或坐標公式的應用，另外也可以運用向量數(shù)量積的運算公式列方程求解．(2)求模的最值或取值范圍．解決此類問題通常有以下兩種方法：①幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；②代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運算法則轉化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍．(3)由向量的模求夾角．對于此類問題的求解，其實質是求向量模方法的逆運用.典例4已知平面向量的夾角為，且，則A． B．C． D．【答案】B【解析】，所以.故選B．4．已知OA=2，0，OB=考向四平面向量的應用1．向量與平面幾何綜合問題的解法與步驟：(1)向量與平面幾何綜合問題的解法①坐標法把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵校瑒t有關點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決．②基向量法適當選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關系構造關于未知量的方程來進行求解．【注】用坐標法解題時，建立適當?shù)淖鴺讼凳墙忸}的關鍵，用基向量解題時要選擇適當?shù)幕祝?2)用向量解決平面幾何問題的步驟①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；②通過向量運算研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；③把運算結果“翻譯”成幾何關系.2．利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路：(1)求三角函數(shù)值，一般利用已知條件將向量關系轉化為三角函數(shù)關系式．利用同角三角函數(shù)關系式及三角函數(shù)中常用公式求解．(2)求角時通常由向量轉化為三角函數(shù)問題，先求值再求角．(3)解決與向量有關的三角函數(shù)問題的思想方法是轉化與化歸的數(shù)學思想，即通過向量的相關運算把問題轉化為三角函數(shù)問題．(4)解三角形．利用向量的坐標運算，把向量垂直或共線轉化為相應的方程，在三角形中利用內角和定理或正、余弦定理解決問題.3．用向量法解決物理問題的步驟如下：(1)抽象出物理問題中的向量，轉化為數(shù)學問題；(2)建立以向量為主體的數(shù)學模型；(3)利用向量的線性運算或數(shù)量積運算，求解數(shù)學模型；(4)用數(shù)學模型中的數(shù)據(jù)解釋或分析物理問題.4．常見的向量表示形式：(1)重心．若點G是的重心，則或(其中P為平面內任意一點)．反之，若，則點G是的重心．(2)垂心．若H是的垂心，則.反之，若，則點H是的垂心．(3)內心．若點I是的內心，則.反之，若，則點I是的內心．(4)外心．若點O是的外心，則或.反之，若，則點O是的外心.典例5等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值為A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，設，則，∴.設向量的夾角為，則.【思路點撥】根據(jù)已知建立平面直角坐標系，將等腰直角三角形的兩直角邊所在直線作為x軸和y軸，分別設出三角形頂點和兩直角邊中點的坐標，再代入坐標求解兩中線所對應的向量的數(shù)量積和模，進而求得夾角的余弦值.5．扇形OAB的半徑為1，圓心角為90°，P是AB上的動點，則OPA．0 B．-1C．-2 D．典例6已知，，函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)fx的（Ⅱ）若銳角的三個內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且fA=1，求的取值范圍.【解析】（Ⅰ）由條件可知:，∴.故函數(shù)fx的零點滿足,由，解得,．（Ⅱ）由正弦定理得①.由（Ⅰ）知，而fA=1，得∴，又，得.∵，∴，代入①化簡得：，又在銳角中，有，又，∴，∴，則有，即：3<b+c【名師點睛】利用向量的共線與垂直和數(shù)量積之間的關系建立三角方程或三角函數(shù)式，從而解決三角函數(shù)中的求值、求角或求最值等問題是高考考查的熱點.6．在中,內角的對邊分別為,且向量，若.（1）求的值；（2）若,求在方向上的投影.典例7一質點受到平面上的三個力F1、F2、F3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分別為2和4，則F3的大小為________．【答案】【解析】由題意知F3=?(F1＋F2)，∴|F3|=|F1＋F2|，∴|F3|2=|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos60°=28，∴|F3|=.7．在水流速度為的河流中，有一艘船正沿與水流垂直的方向以的速度航行，則船自身航行的速度大小為____________.1．已知向量a=(3,0)，b=(x,-2)A．-3 B．C．3 D．32．已知向量，則A．0 B．－1C．2或－2 D．3．已知共點力F1=(lg2，lg2)，F(xiàn)2=(lg5，lg2)作用在物體M上，產生位移s=(2lg5,1)，則共點力對物體做的功W為A．lg2 B．lg5C．1 D．24．設向量a，b滿足a=2b=2且2a+3A．-2 B．-1C．1 D．25．已知向量，則下列結論正確的是A． B．C． D．6．已知向量，，若，的夾角為鈍角，則的取值范圍是A． B．C．且 D．7．在矩形中，,．若點，分別是，的中點，則A．4 B．3C．2 D．18．在中，，，，設點、滿足，，若，則A． B．2C． D．39．中，設，若，則是A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．無法確定其形狀10．已知向量、為單位向量，且在的方向上的投影為，則向量與的夾角為A． B．C． D．11．已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),則“x>A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件12．已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則的最小值是A．－ B．－2C．－ D．－113．已知點，，，若，則的值為A． B．C． D．14．已知O是內部一點，OA+OB+OC=0，ABA．33 B．C．32 D．15．平面直角坐標系xOy中，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，向量，，則以下說法正確的是A． B．C． D．16．已知是互相垂直的單位向量,向量,,則__________．17．平面向量a與b的夾角為45°，a=(1,-1)，|b|=118．已知，，且，共線，則向量在方向上的投影為__________．19．如圖，在矩形中，，，點為的中點，點在邊上，且，則的值是．AABCEFD20．在平行四邊形中，，點在邊上，則的取值范圍是．21．設向量，其中，若，則.22．已知向量AB與AC的夾角為120°，且AB=2，AC=3.若AP=λAB+AC23．在平行四邊形中，.（1）用表示；（2）若，，求的值.24．如圖，在四邊形OBCD中，CD=2BO，OA=2AD，（1）用OA,OB表示（2）點P在線段AB上，且AB=3AP，求cos∠PCB1．（2019年高考全國I卷文數(shù)）已知非零向量a，b滿足，且b，則a與b的夾角為A． B． C． D．2．（年高考全國II卷文數(shù)）已知向量，滿足，，則A．4 B．3C．2 D．03．（浙江）已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2?4e·b+3=0，則|a?b|的最小值是A．?1 B．+1C．2 D．2?4．（新課標全國Ⅱ文科）設非零向量，滿足，則A．⊥ B．C．∥ D．5．（北京文科）設m,n為非零向量，則“存在負數(shù)，使得”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（天津文科）在如圖的平面圖形中，已知,則的值為A． B．C． D．07．（2019年高考北京卷文數(shù)）已知向量=（–4，3），=（6，m），且，則m=__________．8．（2019年高考全國III卷文數(shù)）已知向量，則___________.9．（新課標全國Ⅰ文科）已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b與a垂直，則m=________．10．（天津文科）在中，，，．若，，且，則的值為________．11．（浙江）已知向量a，b滿足則的最小值是________，最大值是___________．12．（2019年高考江蘇卷）如圖，在中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點.若，則的值是___________．13．（2019年高考天津卷文數(shù)）在四邊形中，，點在線段的延長線上，且，則_____________．變式拓展變式拓展1．【答案】C【解析】在平行四邊形中，，，則，，則．故選C．2．【答案】B【解析】如圖所示，菱形的邊長為2，，∴，∴，∴，且，∴，故選B．3．【答案】【解析】∵與的夾角為鈍角，∴，即，∴.又當與反向時，夾角為180°，即，則，解得.應該排除反向的情形，即排除，于是實數(shù)λ的取值范圍為.【誤區(qū)警示】依據(jù)兩向量夾角θ的情況,求向量坐標中的參數(shù)時,需注意當夾角為0°時,;當夾角為180°時,,這是容易忽略的地方.4．【答案】1【解析】∵AC得OC=tOC=當t=12時，OC有最小值5．【答案】B【解析】根據(jù)題意建立平面直角坐標系，如圖所示，設點P(x,y)，則0≤x≤10≤y≤1∴OP=(x,y)，OA=(∴OP由圖形可知，當x=0，y=1時，上式取得最小值是-1．故選B．6．【解析】（1）∵，，，又為的內角，.（2）在中，由正弦定理，得，，，為銳角，，由余弦定理，得，解得或（舍去）.∴在方向上的投影為.7．【答案】【解析】如圖，代表水流速度，代表船自身航行的速度，而代表實際航行的速度，所以有，所以船自身航行的速度大小為.考點沖關考點沖關1．【答案】D【解析】∵a=(3,0)，b=(x,-2)又a⊥(a-2b)，∴故選D.2．【答案】A【解析】因為，所以，所以.故選A．3．【答案】D【解析】由題意，共點力F1=(lg2，lg2)，F(xiàn)2=(lg5，lg2)作用在物體M上，其合力為F1+F2=（1，2lg2）,產生位移s=(2lg5,1)，則共點力對物體做的功W=(F1+F2)?故選D4．【答案】A【解析】由題意可知：a=2b=2，，則2a+35．【答案】D【解析】選項A：=，所以選項A錯誤；選項B：，∴不平行于，所以選項B錯誤；選項C：，因為，所以選項C錯誤；選項D：，因為，所以選項D正確，故選D.6．【答案】C【解析】若，的夾角為鈍角，則且不反向共線，由，得.當向量，共線時，，得，此時.所以且.故選C．7．【答案】C【解析】由題意作出圖形，如圖所示：由圖及題意，可得：，，∴.故選C．8．【答案】D【解析】因為，所以，所以.由已知，，則.故選D.9．【答案】C【解析】因為c?(c+a-b)=AB?(故選C．10．【答案】A【解析】設向量與的夾角為，因為向量、為單位向量，且在的方向上的投影為，所以，即，則，又，所以，故選A．11．【答案】C【解析】若a與b的夾角為銳角,則a·b>0,且a與b不平行,所以a·b=2x>0,得x>0,且x-1≠4,x≠5,所以“x故選C．12．【答案】A【解析】以為軸，以邊上的高為軸建立平面直角坐標系，如圖，則，設，則，所以當時，取得最小值.故選A．13．【答案】C【解析】，，，則，.故選C.14．【答案】A【解析】由OA+OB+OC=0可知點O又AB?AC=|AB||AC|cos故選A．15．【答案】B【解析】由題意不妨設，則，，據(jù)此逐一考查所給的選項：a=4+0=2，b=1+1a-b=1,-1,aa?b=2,0?不存在實數(shù)λ滿足a=λb，則不成立，選項D錯誤故選B.16．【答案】2【解析】由題得.17．【答案】10【解析】由a=1,-1，得又b=1，且向量a與b∴a∴a18．【答案】【解析】由與共線得：，解得：.向量在方向上的投影為：.19．【答案】 【解析】以為原點，為軸，為軸，建立平面直角坐標系，則，，，，∴，，∴.20．【答案】【解析】因為點在邊上，所以設，則，，所以，又，所以，故答案為．21．【答案】【解析】將的兩邊平方并化簡可得，，又∵，是單位向量，∴，即，即，又∵，∴.22．【答案】【解析】由題意可得AP?BC=0，整理得AC2因為向量AB與AC的夾角為120°，且AB=2，AC所以9+(λ-1)×2×3×(-12)-4λ=0，23．【解析】（1）.（2）∵，，∴.由圖可得：，∴.24．【解析】（1）因為OA=2AD，所以因為CD=2BO，所以CB=（2）因為CD=2BO，所以因為OA=2AD，所以點因為∠D=90°，所以∠O=90°.以O為坐標原點，OA所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.因為BO=AD=1，CD所以A(2,0所以AC=(1,2)因為點P在線段AB上，且AB=3AP，所以AP=所以CP=因為?CB所以.1．【答案】B【解析】因為b，所以=0，所以，所以=，所以a與b的夾角為，故選B．【名師點睛】對向量夾角的計算，先計算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為．2．【答案】B【解析】因為,所以選B.【名師點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，考查考生的運算求解能力，考查的數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學運算.3．【答案】A【解析】設a=(x,y),e=(1,0),b=(m,n)由b2?4e·b+3=0得m2+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,因此|a?b選A.4．【答案】A【解析】由平方得，即，則.故選A.【名師點睛】已知.(1)向量平行：，,.(2)向量垂直：.(3)向量運算：.5．【答案】A【解析】若，使，則兩向量反向，夾角是，那么；若，那么兩向量的夾角為，并不一定反向，即不一定存在負數(shù)，使得，所以是充分而不必要條件.故選A.6．【答案】C【解析】如圖所示，連結MN，由BM=2MA,CN=2NA可