(新高考)高考數(shù)學一輪復習講練測專題2.1《不等式的性質(zhì)及常見不等式解法》(解析版)

專題2.1不等式的性質(zhì)及常見不等式解法新課程考試要求1.不等關系：了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關系,了解不等式(組)的實際背景.2.一元二次不等式：(1)會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.(3)會解一元二次不等式.3.會解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式.4.掌握不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其應用.核心素養(yǎng)培養(yǎng)學生數(shù)學運算（例2.3.4）、數(shù)學建模（例1）、邏輯推理（例2.3.4）等核心數(shù)學素養(yǎng).考向預測1.不等式的性質(zhì)及應用2．一元二次不等式的解法3．一元二次不等式的恒成立問題【知識清單】1．實數(shù)的大小(1)數(shù)軸上的任意兩點中，右邊點對應的實數(shù)比左邊點對應的實數(shù)大.(2)對于任意兩個實數(shù)a和b，如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b是負數(shù)，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等關系與不等式我們用數(shù)學符號“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關系，含有這些符號的式子，叫做不等式.3．不等式的性質(zhì)(1)性質(zhì)1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)性質(zhì)2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)性質(zhì)3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性質(zhì)4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性質(zhì)5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性質(zhì)6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)性質(zhì)7：如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N，n≥2)．(8)性質(zhì)8：如果a>b>0，那么eq\r(n,a)>eq\r(n,b)，(n∈N，n≥2)．4．一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我們把只含有一個未知數(shù)，并且知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某個一元二次不等式成立的x的值叫做這個不等式的解，一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集.5.一元二次不等式與相應的二次函數(shù)及一元二次方程的關系如下表判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}?eq\a\vs4\al(?)6．分式不等式的解法定義：分母中含有未知數(shù)，且分子、分母都是關于x的多項式的不等式稱為__分式不等式__.eq\f(fx,gx)>0?f(x)g(x)__>__0，eq\f(fx,gx)<0?f(x)·g(x)__<__0.eq\f(fx,gx)≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))?f(x)·g(x)__>__0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0)).eq\f(fx,gx)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0))?f(x)·g(x)__<__0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0.))7．簡單的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次項的次數(shù)高于2，這樣的不等式稱為高次不等式.解法：穿根法①將f(x)最高次項系數(shù)化為正數(shù)；②將f(x)分解為若干個一次因式的積或二次不可分因式的積；③將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，自上而下，從右向左依次通過每一點畫曲線(注意重根情況，偶次方根穿而不過，奇次方根穿過)；④觀察曲線顯現(xiàn)出的f(x)的值的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集．8.不等式恒成立問題1．一元二次不等式恒成立問題(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).2．含參數(shù)的一元二次不等式恒成立．若能夠分離參數(shù)成k<f(x)或k>f(x)形式．則可以轉化為函數(shù)值域求解．設f(x)的最大值為M，最小值為m.(1)k<f(x)恒成立?k<m，k≤f(x)恒成立?k≤m.(2)k>f(x)恒成立?k>M，k≥f(x)恒成立?k≥M.9．絕對值不等式的解法1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用兩邊平方的形式轉化為二次不等式求解．2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式(1)絕對值不等式|x|>a與|x|<a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．10．絕對值不等式的應用如果a，b是實數(shù)，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當ab≥0時，等號成立．【常用結論】1．倒數(shù)性質(zhì)的幾個必備結論(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).2．兩個重要不等式若a>b>0，m>0，則(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．【考點分類剖析】考點一：用不等式表示不等關系例1.用一段長為30SKIPIF1<0的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長18SKIPIF1<0,要求菜園的面積不小于216SKIPIF1<0,靠墻的一邊長為SKIPIF1<0,其中的不等關系可用不等式(組)表示為________.

【答案】SKIPIF1<0【解析】矩形菜園靠墻的一邊長為SKIPIF1<0,則另一邊長為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,根據(jù)已知得SKIPIF1<0【規(guī)律總結】用不等式(組)表示實際問題中不等關系的步驟：①審題．通讀題目，分清楚已知量和待求量，設出待求量．找出體現(xiàn)不等關系的關鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過”“不超過”等．②列不等式組：分析題意，找出已知量和待求量之間的約束條件，將各約束條件用不等式表示．【變式探究】某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本．根據(jù)市場調(diào)查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少2000本，若把提價后雜志的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元？【答案】見解析【解析】提價后雜志的定價為x元，則銷售的總收入為(8－eq\f(x－2.5,0.1)×0.2)x萬元，那么不等關系“銷售的收入不低于20萬元”用不等式可以表示為：(8－eq\f(x－2.5,0.1)×0.2)x≥20.考點二：比較數(shù)或式子的大小例2.已知x＜y＜0，比較(x2＋y2)(x－y)與(x2－y2)(x＋y)的大?。敬鸢浮恳娊馕觥窘馕觥俊選＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)＞0，∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．【領悟技法】1.比較大小的常用方法(1)作差法一般步驟：①作差；②變形；③定號；④結論．其中關鍵是變形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當兩個式子都為正數(shù)時，有時也可以先平方再作差．(2)作商法一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④結論．(3)函數(shù)的單調(diào)性法將要比較的兩個數(shù)作為一個函數(shù)的兩個函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關系．【變式探究】(1)比較x2＋y2＋1與2(x＋y－1)的大??；(2)設a∈R且a≠0，比較a與eq\f(1,a)的大?。敬鸢浮恳娊馕觥窘馕觥?1)x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．(2)由a－eq\f(1,a)＝eq\f(a－1a＋1,a)當a＝±1時，a＝eq\f(1,a)；當－1＜a＜0或a＞1時，a＞eq\f(1,a)；當a＜－1或0＜a＜1時，a＜eq\f(1,a).考點三：不等式性質(zhì)的應用例3.【多選題】（2021·河北高三二模）若實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則下列選項中一定成立的有（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【解析】根據(jù)條件，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，逐一分析四個選項，即可得答案.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正確；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故B錯誤；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C錯誤；因為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正確.故選：AD例4.若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln4,4)，c＝eq\f(ln5,5)，則()A．a(chǎn)＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c【答案】B【解析】方法一易知a，b，c都是正數(shù)，eq\f(b,a)＝eq\f(3ln4,4ln3)＝log8164＜1，所以a＞b；eq\f(b,c)＝eq\f(5ln4,4ln5)＝log6251024＞1，所以b＞c.即c＜b＜a.方法二對于函數(shù)y＝f(x)＝eq\f(lnx,x)，y′＝eq\f(1－lnx,x2)，易知當x＞e時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．因為e＜3＜4＜5，所以f(3)＞f(4)＞f(5)，即c＜b＜a.例5.設f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4”，則f(－2)的取值范圍是．【答案】[5,10]【解析】方法一(待定系數(shù)法)設f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n為待定系數(shù))，則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1.))所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又因為1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10.方法二(解方程組法)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝a－b，,f1＝a＋b，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)[f－1＋f1]，,b＝\f(1,2)[f1－f－1].))所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又因為1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.【規(guī)律總結】1．判斷不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件．(2)解決有關不等式選擇題時，也可采用特值法進行排除，注意取值要遵循以下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算．(3)若要判斷某結論正確，應說明理由或進行證明，推理過程應緊扣有關定理、性質(zhì)等，若要說明某結論錯誤，只需舉一反例．2．證明不等式(1)要在理解的基礎上，記準、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準確地加以應用．(2)應用不等式的性質(zhì)進行推證時，應注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質(zhì)與法則．3．求取值范圍(1)建立待求范圍的代數(shù)式與已知范圍的代數(shù)式的關系，利用不等式的性質(zhì)進行運算，求得待求的范圍．(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉化，就有可能擴大其取值范圍．4．掌握各性質(zhì)的條件和結論．在各性質(zhì)中，乘法性質(zhì)的應用最易出錯，即在不等式的兩邊同時乘(除)以一個數(shù)時，必須能確定該數(shù)是正數(shù)、負數(shù)或零，否則結論不確定．【變式探究】已知12<a<60,15<b<36，求a－b及eq\f(a,b)的取值范圍．【錯解】∵12<a<60,15<b<36，∴12－15<a－b<60－36，eq\f(12,15)<eq\f(a,b)<eq\f(60,36)，∴－3<a－b<24，eq\f(4,5)<eq\f(a,b)<eq\f(5,3).【辨析】錯解中直接將12<a<60,15<b<36相減得a－b的取值范圍，相除得eq\f(a,b)的取值范圍而致錯．【正解】∵15<b<36，∴－36<－b<－15.∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45.又15<b<36，∴eq\f(1,36)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15).又12<a<60，∴eq\f(12,36)<eq\f(a,b)<eq\f(60,15)，即eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.綜上，－24<a－b<45，eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.【易錯警示】錯用不等式的性質(zhì)致錯.考點四：一元二次不等式的解法例6.（2020·全國高考真題（文））已知集合SKIPIF1<0則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得SKIPIF1<0，得到結果.【詳解】由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：D.【規(guī)律方法】1.解一元二次不等式的一般步驟(1)化：把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標準形式．(2)判：計算對應方程的判別式．(3)求：求出對應的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實根．(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．2．含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要對參數(shù)進行分類討論．(1)若二次項系數(shù)為常數(shù)，首先確定二次項系數(shù)是否為正數(shù)，再考慮分解因式，對參數(shù)進行分類討論，若不易分解因式，則可依據(jù)判別式符號進行分類討論．(2)若二次項系數(shù)為參數(shù)，則應先考慮二次項系數(shù)是否為零，確定不等式是不是二次不等式，然后再討論二次項系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式．(3)對方程的根進行討論，比較大小，以便寫出解集．【易錯警示】忽視二次項系數(shù)的符號致誤【變式探究】1．（2021·江西九江市·高三三模（文））已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0．故選：B．2.（2021·陜西省漢中中學高三其他模擬（理））已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故選：A.考點五：絕對值不等式的解法例7.（2021·浙江高三其他模擬）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】先化簡SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即得解.【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.反之，也成立.所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分必要條件.故選：C例8.（廣東高考真題（理））不等式的解集為.【答案】.【解析】令，則，（1）當時，由得，解得，此時有；（2）當時，，此時不等式無解；（3）當時，由得，解得，此時有；綜上所述，不等式的解集為.【規(guī)律方法】形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三種解法：(1)分段討論法：利用絕對值號內(nèi)式子對應方程的根，將數(shù)軸分為(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此處設a<b)三個部分，在每個部分上去掉絕對值號分別列出對應的不等式求解，然后取各個不等式解集的并集．(2)幾何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的幾何意義：數(shù)軸上到點x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的全體，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)圖象法：作出函數(shù)y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結合圖象求解．【變式探究】1.（2017天津，文2）設，則“”是“”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】【解析】，則，，則，，據(jù)此可知：“”是“”的的必要的必要不充分條件，本題選擇B選項.2.不等式|x?3|?|x+1|<1的解集為_______________．【答案】{x|x>1【解析】當x<?1時，原不等式可化為?(x?3)+(x+1)<1，無解；當?1≤x<3時，原不等式可化為?(x?3)?(x+1)<1，即x>12，所以12<x<3；當x≥3時，原不等式可化為(x?3)?(x+1)<1，即?4<1，所以考點六：絕對值不等式的應用如果a，b是實數(shù)，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當ab≥0時，等號成立．例9.（2020·陜西省西安中學高二期中（文））若關于x的不等式有實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．或 B． C． D．【答案】A【解析】分析：利用絕對值的幾何意義求得最小值為，再由不等式有解可得實數(shù)的取值范圍．詳解：由于表示數(shù)軸上的對應點到和對應點的距離之差，其最小值為，最大值為，因為關于的不等式有實數(shù)解，可得，即，解得或.故選：A.【總結提升】1.兩類含絕對值不等式的證明問題一類是比較簡單的不等式，往往可通過平方法、換元法去掉絕對值符號轉化為常見的不等式證明題，或利用絕對值三角不等式性質(zhì)定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通過適當?shù)奶?、拆項證明；另一類是綜合性較強的函數(shù)型含絕對值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來證明．2.含絕對值不等式的應用中的數(shù)學思想(1)利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；(2)利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想．3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三種方法(1)轉化法：轉化為分段函數(shù)進而利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解.(2)利用絕對值三角不等式進行“求解”，但要注意兩數(shù)的“差”還是“和”的絕對值為定值.(3)利用絕對值的幾何意義.【變式探究】1.（2020·廣東省高三其他（理））已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）或或或或即不等式的解集為.（2）考點七：不等式恒成立問題例10.（2020·浙江高考真題）已知a，bSKIPIF1<0R且ab≠0，對于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，則（）A．a(chǎn)<0 B．a(chǎn)>0 C．b<0 D．b>0【答案】C【解析】對SKIPIF1<0分SKIPIF1<0與SKIPIF1<0兩種情況討論，結合三次函數(shù)的性質(zhì)分析即可得到答案.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的零點為SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0，必有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0，必有SKIPIF1<0.綜上一定有SKIPIF1<0.故選：C例11.（2020·江蘇省太湖高級中學高一期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0，關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.（1）求實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；（2）求關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集；（3）若不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0，（2）當SKIPIF1<0時，解集為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，不等式無解，當SKIPIF1<0時，解集為SKIPIF1<0，（3）SKIPIF1<0【解析】（1）由題意得不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，由根與系數(shù)的關系得SKIPIF1<0，從而可求出實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，然后分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求解即可；（3）令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，然后分對稱軸在SKIPIF1<0軸左側和右側兩種情況求解即可【詳解】（1）因為關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，即不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則不等式無解，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，解集為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，不等式無解，當SKIPIF1<0時，解集為SKIPIF1<0（3）令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，對稱軸在SKIPIF1<0軸左側，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，即對稱軸在SKIPIF1<0軸右側，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，綜上SKIPIF1<0【規(guī)律方法】(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍)．(2)轉化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)f(x)的值域為[m，n]，則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，即n≤a.【變式探究】函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.(1)當x∈R時，f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當x∈[－2,2]時，f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)實數(shù)a的取值范圍是[－6,2]．(2)實數(shù)a的取值范圍為[－7,2]．【解析】(1)∵當x∈R時，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，∴實數(shù)a的取值范圍是[－6,2]．(2)對于任意x∈[－2,2]，f(x)≥0恒成立．即x2＋ax＋3－a≥0對任意x∈[－2,2]恒成立，令g(x)＝x2＋ax＋3－a.則有①Δ≤0或②SKIPIF1<0或③SKIPIF1<0解①得－6≤a≤2，解②得a∈?，解③得－7≤a<－6.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為[－7,2]．【總結提升】解決不等式恒成立問題的兩種思路(1)轉化成含有參數(shù)的不等式,借助對應函數(shù)圖象,找到滿足題目要求的條件,構造含參數(shù)的不等式(組),求得參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù),通過求函數(shù)的最值,進而確定參數(shù)的范圍.專題2.1不等式的性質(zhì)及常見不等式解法練基礎練基礎1．（2021·山西高三三模（理））已知全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下圖陰影部分表示的集合是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由圖可知陰影部分表示的集合是集合A與集合B的補集的交集，所以求出集合A和集合B的補集，再求交集即可【詳解】解：由圖可知陰影部分表示的集合是SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C2．（2020·黑龍江省大慶實驗中學高三一模（文））已知集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為集合或，集合，所以.故選：A3．（2020·陜西省西安中學高二期中（理））已知不等式SKIPIF1<0對一切SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0根據(jù)題意可得SKIPIF1<0.故選：A4．（2020·黑龍江省佳木斯一中高一期中（理））對于任意實數(shù)SKIPIF1<0，下列正確的結論為（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0； B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0； D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】D【解析】A：根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可知：只有當SKIPIF1<0時，才能由SKIPIF1<0推出SKIPIF1<0，故本選項結論不正確；B：若SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0推出SKIPIF1<0，故本選項結論不正確；C：若SKIPIF1<0時，顯然滿足SKIPIF1<0，但是SKIPIF1<0沒有意義，故本選項結論不正確；D：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以本選項結論正確.故選：D5．（2020·江西省崇義中學高一開學考試（文））下列結論正確的是（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】C【解析】對于A選項，若SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，A選項錯誤；對于B選項，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0滿足，但SKIPIF1<0，B選項錯誤；對于C選項，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由不等式的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，C選項正確；對于D選項，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，D選項錯誤.故選：C.6．（2020·山西省高三其他（理））已知集合，，則()A． B．C． D．【答案】A【解析】因為或，，所以，，，故選：A7．（2020·山東省高三二模）已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，因此，.故選：D.8．（2021·寧夏石嘴山市·高三二模（理））已知SKIPIF1<0，下列不等式一定成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】利用特殊值法，可排除A、B、C，利用函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)性，可得判斷D正確.【詳解】當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，A、C均不成立；當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，B不成立；由于函數(shù)SKIPIF1<0在R上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正確.故選：D9．【多選題】（2021·湖北高三月考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為正數(shù)，且SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】先根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為正數(shù)，且SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，A.利用基本不等式判斷；B.由SKIPIF1<0，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷；C.利用“1”的代換轉化結合基本不等式判斷；D.利用基本不等式判斷.【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為正數(shù)，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，A.因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故錯誤；B.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故正確；C.因為SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，取等號，故正確；D.因為SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，取等號，故錯誤；故選：BC10．（2020·周口市中英文學校高二月考（文））(1)求不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集；(2)若關于x的不等式|ax－2|<3的解集為SKIPIF1<0，求a的值.【答案】(1){x|x≤－3或x≥2}(2)a＝－3【解析】(1)當x<－2時,不等式等價于－(x－1)－(x＋2)≥5,解得x≤－3；當－2≤x<1時,不等式等價于－(x－1)＋(x＋2)≥5,即3≥5,無解；當x≥1時,不等式等價于x－1＋x＋2≥5,解得x≥2.綜上,不等式的解集為{x|x≤－3或x≥2}.(2)∵|ax－2|<3,∴－1<ax<5.當a>0時,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0無解；當a＝0時,x∈R,與已知條件不符；當a<0時,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,解得a＝－3.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·湖南高三二模）若相異兩實數(shù)x，y滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0之值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】根據(jù)已知條件求得SKIPIF1<0，由此求得所求表達式的值.【詳解】兩式作差消元得：SKIPIF1<0，反代回去得：SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，由同構及韋達定理有：SKIPIF1<0繼而有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：D2．（2021·新疆高三其他模擬（理））若關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．5 B．SKIPIF1<0 C．6 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以將問題轉化為SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，利用根與系數(shù)的關系可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，進而可得結果.【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故選：C.3．（2021·四川南充市·高三三模（文））已知SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的以SKIPIF1<0為周期的偶函數(shù)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】先利用函數(shù)的周期性和奇偶性可得SKIPIF1<0，從而將SKIPIF1<0轉化為SKIPIF1<0，進而可求出SKIPIF1<0的取值范圍【詳解】解：因為SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的以SKIPIF1<0為周期的偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故選：C4．（2021·河南商丘市·高三月考（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0，若關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】方程SKIPIF1<0有四個不同的實數(shù)根，即直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0，作出函數(shù)圖像，即轉化為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有兩個不等實根，可得答案.【詳解】設SKIPIF1<0，該直線恒過點SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0有四個不同的實數(shù)根如圖作出函數(shù)SKIPIF1<0的圖像，結合函數(shù)圖象，則SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0有兩個不同的公共點，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有兩個不等實根，令SKIPIF1<0，實數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：D.5．（2021·湖南高三一模）已知關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為________________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關系，應用韋達定理把SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示，化待求式為一元函數(shù)，再利用基本不等式得結論．【詳解】由不等式解集知SKIPIF1<0，由根與系數(shù)的關系知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號．故答案為：SKIPIF1<0．6．（2021·四川攀枝花市·高三一模（理））定義在R上的奇函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，不等式SKIPIF1<0的解為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及條件求得函數(shù)周期，從而求得SKIPIF1<0時對應的函數(shù)解析式，然后解一元二次不等式即可.【詳解】SKIPIF1<0，函數(shù)周期為2；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0則不等式SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<07．（2020·寧夏回族自治區(qū)高三其他（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求實數(shù)x的取值范圍；(2)若對于任意實數(shù)x，不等式SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)a的值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【解析】(1)由題，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，解得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.綜上有SKIPIF1<0.故實數(shù)x的取值范圍為SKIPIF1<0(2)因為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故實數(shù)a的值范圍為SKIPIF1<08．已知函數(shù)f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a).(1)當a＝2時，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)當函數(shù)f(x)的定義域為R時，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)1.(2)a的取值范圍是(－∞，4).【解析】(1)函數(shù)的定義域滿足|x－1|＋|x－5|－a>0，即|x－1|＋|x－5|>a.設g(x)＝|x－1|＋|x－5|，由|x－1|＋|x－5|≥|x－1＋5－x|＝4，當a＝2時，∵g(x)min＝4，∴f(x)min＝log2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g(x)＝|x－1|＋|x－5|的最小值為4.∵|x－1|＋|x－5|－a>0，∴a<g(x)min時，f(x)的定義域為R.∴a<4，即a的取值范圍是(－∞，4).9．（2019·河南省高三一模（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0.（1）解不等式SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0，解SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以解集為SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時取得最小值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.10．（2020·江蘇蘇州市·星海實驗中學高一月考）已