BLACK-SCHOLES期權(quán)定價(jià)模型

(完整)BLACK-SCHOLES期權(quán)定價(jià)模型BLACK—SCHOLES期權(quán)定價(jià)模型BLACK—SCHOLES期權(quán)定價(jià)模型Black-Scholes（Black-ScholesOptionPricingModel)，199710Black-Scholes（Black-ScholesOptionPricingModel)，19971010九屆諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予了兩位美國學(xué)者,哈佛商學(xué)院教授羅伯特·默頓（RoBertMerton)和斯坦福大學(xué)教授邁倫·斯克爾斯(MyronScholes)。他們創(chuàng)立和發(fā)展的布萊克-斯克爾斯期權(quán)定價(jià)模型(BlackScholesOptionPricingModel）為包括股票、債券、貨幣、商品在內(nèi)的新興衍生金融市場的各種以市價(jià)價(jià)格變動(dòng)定價(jià)的衍生金融工具的合理定價(jià)奠定了基礎(chǔ)，特別是為評(píng)估組合保險(xiǎn)成本、可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)及認(rèn)股權(quán)證估值等提供了依據(jù)。BLACK—SCHOLES期權(quán)定價(jià)模型—簡介BLACK—SCHOLES期權(quán)定價(jià)模型—簡介斯克爾斯與他的同事、已故數(shù)學(xué)家費(fèi)雪·(FischerBlack)70價(jià)的復(fù)雜公式（看漲和看跌兩篇論文幾乎同時(shí)在不同刊物上發(fā)表。所以,布萊克—斯克爾斯定價(jià)模型亦可稱為布萊克—斯克爾斯—默頓定價(jià)模型（含紅利的價(jià)的復(fù)雜公式（看漲和看跌兩篇論文幾乎同時(shí)在不同刊物上發(fā)表。所以,布萊克—斯克爾斯定價(jià)模型亦可稱為布萊克—斯克爾斯—默頓定價(jià)模型（含紅利的協(xié)會(huì)（TheRoyalSwedishAcademyofSciencese)贊譽(yù)他們在期權(quán)定價(jià)方面的研究成果是今后25年經(jīng)濟(jì)科學(xué)中的最杰出貢獻(xiàn)。BLACK-SCHOLES期權(quán)定價(jià)模型—其假設(shè)條件(一)B—S模型有5個(gè)重要的假設(shè)1、金融資產(chǎn)收益率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布;（股票價(jià)格走勢遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)）2、在期權(quán)有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率和金融資產(chǎn)收益變量是恒定的；3、市場無摩擦,即不存在稅收和交易成本；4、該期權(quán)是歐式期權(quán),即在期權(quán)到期前不可實(shí)施；5、金融資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)無紅利及其它所得（該假設(shè)后被放棄)；6、不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；7、證券交易是持續(xù)的；8、投資者能夠以無風(fēng)險(xiǎn)利率借貸。(二）B-S(完整)BLACK-SCHOLES期權(quán)定價(jià)模型c)LerTN(d)1 2其中:d/L)2/1 Td/L)2/2 T

d T1C-期權(quán)初始合理價(jià)格L—期權(quán)交割價(jià)格S—T—期權(quán)有效期r-連續(xù)復(fù)利計(jì)無風(fēng)險(xiǎn)利率2—年度化方差（波動(dòng)率）N（）—正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù) ，（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布μ=0）在此應(yīng)當(dāng)說明兩點(diǎn)：第一，該模型中無風(fēng)險(xiǎn)利率必須是連續(xù)復(fù)利形式。一個(gè)簡單的或不連續(xù)的無風(fēng)險(xiǎn)利率(設(shè)為r0)一般是一年復(fù)利一次,而rr0必須轉(zhuǎn)化為rr=l（1+r0

或r0

=er—1r0=0。06，則r=ln（1+0.06）=0.05831005。106，該r0=0.06第二，T365100T=100/365=0。274。BLACK—SCHOLES期權(quán)定價(jià)模型—推導(dǎo)運(yùn)用（一)B—S模型的推導(dǎo)B-S模型的推導(dǎo)是由看漲期權(quán)入手的，對(duì)于一項(xiàng)看漲期權(quán),其到期的期值是:E[G]=E［max（ST—L，O)］其中,E［G］—看漲期權(quán)到期期望值-到期時(shí)交易金融資產(chǎn)的市場價(jià)值L—期權(quán)交割價(jià)（期權(quán)費(fèi))(完整)BLACK-SCHOLES期權(quán)定價(jià)模型到期有兩種可能情況：1S>L，則期權(quán)實(shí)施以進(jìn)帳(In-the—moneymax（S—L，O）=S-Lt t t2S〈L,(Out—of-the-money)失效，且max(S—L，O）t t=0從而:其中:P：(S〉L)E[S|S>L］：既定(S〉L)下SE[G］按有效期無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利

貼現(xiàn),得期權(quán)t t t t t t初始合理價(jià)格:C=P×E-r×（E［S｜S〉L]-L)（*)這樣期權(quán)定價(jià)轉(zhuǎn)化為確定PE［S｜S>L］.t t t t t首先,)與現(xiàn)價(jià)比值的對(duì)數(shù)值，即t收益=lnS由假設(shè)1收益服從對(duì)數(shù)正態(tài)分,即所以=μ，t t t t tS可以證明,相對(duì)價(jià)格期望值大于eut=eut+2T2=eutt t tσ2），且有σt=σT其次,求(St

〉L）的概率P，也即求收益大于（LS)的概率。已知正態(tài)分布有性質(zhì)：Pr06［ζ>χ]=1-N(χ-μσ）其中:ζ—χ—關(guān)鍵值μ—ζ的期望值σ—ζ的標(biāo)準(zhǔn)差所以：：=P06［S>］=P06[lnS/]〉lnLL?lnL? ? σ）σTn4由對(duì)稱性：1?（）t t=(?）=NlnS+（? σ2）σTar。SL下S｜S處于正態(tài)分布的Lt t t tE[St

|S>=S?erT?N(dt 1

）N（d）2其中：d1

=［ln（S/L）+（γ+2/2）T]/σTd =ln（S/L)+（γ—2/2）T/σT=d2

—σT最后，將P、E［St

｜S]>L]代入(*)式整理得B—StC=SN(d1

LerTN(d)2(完整)BLACK-SCHOLES期權(quán)定價(jià)模型(二)B-S模型應(yīng)用實(shí)例（以歐式期權(quán)看漲期權(quán)為例）題目：假設(shè)市場上某股票現(xiàn)價(jià)S為164元，無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利利率γ是0.0521，市場方差2為0。0841（=0.29 ），實(shí)施價(jià)格（行權(quán)價(jià)格是165元，有效期T為0。0959（即為35天）的期權(quán)初始合理價(jià)格（權(quán)費(fèi)）是多少？公式回憶：d/L)2/1 Td/L)2/2 T

d T1(完整)BLACK-SCHOLES期權(quán)定價(jià)模型c)LerTN(d)1 2計(jì)算步驟如下:①d =［ln（164/165)+(0.0521+0.0841/2）×0.0959］/（0.29×0.0959）=0.03281②d =0.0328—0。29×0.0959=—0。5702③N（0。03）=0.5120N（—0。06）=1—N(0.06）=1—0。5239=0.4761④C=164×0。5120-165×e0.0521×0.0959×0。4761=5.803因此理論上該期權(quán)的合理價(jià)格是5。803。如果該期權(quán)市場實(shí)際價(jià)格是5.75，那么這意味著該期權(quán)有所低估。在沒有交易成本的條件下，購買該看漲期權(quán)有利可圖.（三）看跌期權(quán)定價(jià)公式的推導(dǎo)B—S可以推移項(xiàng)得:將B-S模型代入整理得：此即為看跌期權(quán)初始價(jià)格定價(jià)模型.BLACK—SCHOLES期權(quán)定價(jià)模型-模型發(fā)展B-S模型只解決了不分紅股票的期權(quán)定價(jià)問題,默頓發(fā)展了B-S模型，使其亦運(yùn)用于支付紅利的股票期權(quán)。(完整)BLACK-SCHOLES期權(quán)定價(jià)模型(一）存在已知的不連續(xù)紅利假設(shè)某股票在期權(quán)有效期內(nèi)某時(shí)間T（即除息日)支付已知紅利D，只需將該紅t利現(xiàn)值從股票現(xiàn)價(jià)S中除去,將調(diào)整后的股票價(jià)值S′代入—S’=?Drt內(nèi)存在其它所得，依該法一一減去。從而將B-S模型變型得新公式:（δ）0.04，164，164×004=656.41646.56。因?yàn)楣稍诖思t利現(xiàn)值為：S(1-E—δT),所以S′=S?E—δT，以S′代S，得存在連續(xù)紅利支付的期權(quán)定價(jià)公式:C=S?E—δT?N(D1