數(shù)字電路課件-信號與系統(tǒng)第3章

信號與系統(tǒng)B第三章離散系統(tǒng)的時域分析第三章離散系統(tǒng)的時域分析3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)

一、差分與差分方程二、差分方程的經(jīng)典解三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)3.2單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng)

一、單位序列響應(yīng)二、階躍響應(yīng)3.3卷積和

一、序列分解與卷積和二、卷積的圖解三、不進(jìn)位乘法四、卷積和的性質(zhì)點(diǎn)擊目錄，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)第三章離散系統(tǒng)的時域分析3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)一、差分與差分方程

設(shè)有序列f(k)，則…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等稱為f(k)的移位序列。仿照連續(xù)信號的微分運(yùn)算，定義離散信號的差分運(yùn)算。1.差分運(yùn)算離散信號的變化率有兩種表示形式：3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)（1）一階前向差分定義：f(k)=f(k+1)–f(k)（2）一階后向差分定義：f(k)=f(k)–f(k–1)式中，和稱為差分算子，無原則區(qū)別。本書主要用后向差分，簡稱為差分。（3）差分的線性性質(zhì)：

[af1(k)+bf2(k)]=af1(k)+bf2(k)（4）二階差分定義：

2f(k)=[f(k)]=[f(k)–f(k-1)]=f(k)–f(k-1)=f(k)–f(k-1)–[f(k-1)–f(k-2)]=f(k)–2f(k-1)+f(k-2)（5）m階差分:

mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+…+bmf(k-m)因此，可定義：3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)2.差分方程

包含未知序列y(k)及其各階差分的方程式稱為差分方程。將差分展開為移位序列，得一般形式

y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)

差分方程本質(zhì)上是遞推的代數(shù)方程，若已知初始條件和激勵，利用迭代法可求得其數(shù)值解。例：若描述某系統(tǒng)的差分方程為

y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知初始條件y(0)=0,y(1)=2,激勵f(k)=2kε(k),求y(k)。解：y(k)=–3y(k–1)–2y(k–2)+f(k)y(2)=–3y(1)–2y(0)+f(2)=–2y(3)=–3y(2)–2y(1)+f(3)=10……一般不易得到解析形式的(閉合)解。

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)二、差分方程的經(jīng)典解y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)與微分方程經(jīng)典解類似，y(k)=yh(k)+yp(k)1.齊次解yh(k)

齊次方程

y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0其特征方程為1+an-1λ–1+…+a0λ–n=0

，即

λn+an-1λn–1+…+a0=0其根λi(i=1，2，…，n)稱為差分方程的特征根。齊次解的形式取決于特征根。當(dāng)特征根λ為單根時，齊次解yn(k)形式為：Cλk當(dāng)特征根λ為r重根時，齊次解yn(k)形式為：

(Cr-1kr-1+Cr-2kr-2+…+C1k+C0)λk

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)2.特解yp(k):特解的形式與激勵的形式雷同(r≥1）

。（1）激勵f(k)=km(m≥0）

①所有特征根均不等于1時;yp(k)=Pmkm+…+P1k+P0

②有r重等于1的特征根時;yp(k)=kr[Pmkm+…+P1k+P0]（2）激勵f(k)=ak

①當(dāng)a不等于特征根時;yp(k)=Pak

②當(dāng)a是r重特征根時;yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+…+P1k+P0)ak（3）激勵f(k)=cos(βk)或sin(βk)且所有特征根均不等于e±jβ

；

yp(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk)例：若描述某系統(tǒng)的差分方程為

y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)已知初始條件y(0)=0，y(1)=–1；激勵f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。解：特征方程為λ2+4λ+4=0可解得特征根λ1=λ2=–2，其齊次解

yh(k)=(C1k+C2)(–2)k特解為yp(k)=P(2)k,k≥0代入差分方程得P(2)k+4P(2)k–1+4P(2)k–2=f(k)=2k

，解得P=1/4所以得特解：yp(k)=2k–2,k≥0故全解為y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(–2)k+2k–2,k≥0代入初始條件解得C1=1,C2=–1/43.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

y(k)=yzi(k)+zs(k),也可以分別用經(jīng)典法求解。

y(j)=yzi(j)+yzs(j),j=0,1,2,…,n–1設(shè)激勵f(k)在k=0時接入系統(tǒng)，通常以y(–1),y(–2),…，y(–n)描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)。

yzs(–1)=yzs(–2)=…=yzs(–n)=0

所以y(–1)=yzi(–1),y(–2)=yzi(–2),…，y(–n)=yzi(–n)

然后利用迭代法分別求得零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的初始值yzi(j)和yzs(j)(j=0,1,2,…，n–1)3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)例：若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為

y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知激勵f(k)=2k,k≥0，初始狀態(tài)y(–1)=0,y(–2)=1/2,求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。解：(1)yzi(k)滿足方程yzi(k)+3yzi(k–1)+2yzi(k–2)=0其初始狀態(tài)yzi(–1)=y(–1)=0,yzi(–2)=y(–2)=1/2首先遞推求出初始值yzi(0),yzi(1),yzi(k)=–3yzi(k–1)–2yzi(k–2)yzi(0)=–3yzi(–1)–2yzi(–2)=–1,yzi(1)=–3yzi(0)–2yzi(–1)=3方程的特征根為λ1=–1，λ2=–2，其解為yzi(k)=Czi1(–1)k+Czi2(–2)k

將初始值代入并解得Czi1=1,Czi2=–2

所以yzi(k)=(–1)k–2(–2)k,k≥03.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)yzs(k)+3yzs(k–1)+2yzs(k–2)=f(k)初始狀態(tài)yzs(–1)=yzs(–2)=0遞推求初始值

yzs(0),yzs(1)，

yzs(k)=–3yzs(k–1)–2yzs(k–2)+2k,k≥0yzs(0)=–3yzs(–1)–2yzs(–2)+1=1yzs(1)=–3yzs(0)–2yzs(–1)+2=–1分別求出齊次解和特解，得

yzs(k)=Czs1(–1)k+Czs2(–2)k+yp(k)=Czs1(–1)k+Czs2(–2)k+(1/3)2k代入初始值求得Czs1=–1/3,Czs2=1所以yzs(k)=–(–1)k/3+(–2)k+(1/3)2k,k≥0（2）零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)

滿足3.2單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng)3.2單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng)一、單位序列響應(yīng)

由單位序列δ(k)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位序列響應(yīng)或單位樣值響應(yīng)或單位取樣響應(yīng)，或簡稱單位響應(yīng)，記為h(k)。h(k)=T[{0},δ(k)]

例1已知某系統(tǒng)的差分方程為y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)求單位序列響應(yīng)h(k)。解根據(jù)h(k)的定義有

h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=δ(k)（1）

h(–1)=h(–2)=0（1）遞推求初始值h(0)和h(1)。3.2單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng)h(k)=h(k–1)+2h(k–2)+δ(k)h(0)=h(–1)+2h(–2)+δ(0)=1h(1)=h(0)+2h(–1)+δ(1)=1(2)求h(k)。對于k>0，h(k)滿足齊次方程

h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=0

其特征方程為(λ+1)(λ–2)=0

所以h(k)=C1(–1)k+C2(2)k

，k>0h(0)=C1+C2=1,h(1)=–C1+2C2=1解得C1=1/3,C2=2/3h(k)=(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k,k≥0或?qū)憺閔(k)=[(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k]ε(k)方程（1）移項(xiàng)寫為3.2單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng)

例2：若方程為：

y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)–f(k–2)

求單位序列響應(yīng)h(k)解h(k)滿足

h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=δ(k)–δ(k–2)令只有δ(k)作用時，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h1(k),它滿足

h1(k)–h1(k–1)–2h1(k–2)=δ(k)根據(jù)線性時不變性，

h(k)=h1(k)–h1(k–2)=[(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k]ε(k)–[(1/3)(–1)k–2+(2/3)(2)k–2]ε(k–2)3.2單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng)二、階躍響應(yīng)g(k)=T[ε(k),{0}]由于，δ(k)=ε(k)–ε(k–1)=ε(k)所以，h(k)=g(k)(k2≥k1)兩個常用的求和公式：3.3卷積和3.3卷積和一、卷積和1.序列的時域分解任意離散序列f(k)可表示為

f(k)=…+f(-1)δ(k+1)+f(0)δ(k)+f(1)δ(k-1)+f(2)δ(k-2)+…+f(i)δ(k–i)+…3.3卷積和2.任意序列作用下的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)f(k)根據(jù)h(k)的定義：δ(k)

h(k)由時不變性：δ(k

-i)h(k-i)f(i)δ(k-i)由齊次性：f(i)h(k-i)由疊加性：‖f(k)‖yzs(k)卷積和3.3卷積和3.卷積和的定義已知定義在區(qū)間（–∞，∞）上的兩個函數(shù)f1(k)和f2(k)，則定義和為f1(k)與f2(k)的卷積和，簡稱卷積；記為

f(k)=f1(k)*f2(k)注意：求和是在虛設(shè)的變量i下進(jìn)行的，i為求和變量，k為參變量。結(jié)果仍為k的函數(shù)。3.3卷積和例：f(k)=akε(k),h(k)=bkε(k)，求yzs(k)。解：yzs(k)=f(k)*h(k)當(dāng)i<0,ε(i)=0；當(dāng)i>k時，ε(k-i)=0ε(k)*ε(k)=(k+1)ε(k)3.3卷積和二、卷積的圖解法卷積過程可分解為四步：（1）換元：k換為i→得f1(i)，f2(i)（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(i)反轉(zhuǎn)→f2(–i)右移k→f2(k–i)（3）乘積：f1(i)f2(k–i)（4）求和：i從–∞到∞對乘積項(xiàng)求和。注意：k為參變量。下面舉例說明。3.3卷積和例：f1(k)、f2(k)如圖所示，已知f(k)=f1(k)*f2(k)，求f(2)=？解：（1）換元（2）f2(i)反轉(zhuǎn)得f2(–i)（3）f2(–i)右移2得f2(2–i)（4）f1(i)乘f2(2–i)（5）求和，得f(2)=4.5f2(–i)f2(2–i)3.3卷積和三、不進(jìn)位乘法求卷積f(k)=所有兩序列序號之和為k的那些樣本乘積之和。如k=2時f(2)=…+f1(-1)f2(3)+f1(0)f2(2)+f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)+…例

f1(k)={0，f1(1)，f1(2)，f1(3)，0}f2(k)={0，f2(0)，f2(1)，0}=…+f1(-1)f2(k+1)+f1(0)f2(k)+f1(1)f2(k-1)+f1(2)f2(k-2)+…+f1(i)f2(k–i)+…3.3卷積和f1(1)，f1(2)，f1(3)f2(0)，f2(1)×——————————————————f1(1)f2(0)，f1(2)f2(0)，f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)，f1(2)f2(1)，f1(3)f2(1)+—————————————————————f1(3)f2(1)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(1)f2(0)f(k)={0，f1(1)f2(0)，f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)，f1(3)f2(1)，0}排成乘法3.3卷積和例

f1(k)={0，2，1，5，0}↑k=1f2(k)={0，3，4，0，6，0}↑k=03，4，0，62，1，5解×————————15，20，0，303，4，0，66，8，0，12+————————————6，11，19，32，6，30求f(k)=f1(k)*f2(k)f(k)={0，6，11，19，32，6，30}↑k=1教材上還提出一種列表法，本質(zhì)是一樣的。3.3卷積和四、卷積和的性質(zhì)1.