上海中考數(shù)學壓軸題專題復習-平行四邊形的綜合

一、平行四邊形真題與模擬題分類匯編(難題易錯題)1.已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，0為對角線BD的中點，過點0的直線EF分別交AD,BC于E，F(xiàn)兩點，連結(jié)BE，DF.求證：△D0E^△B0F.當/D0E等于多少度時，四邊形BFDE為菱形？請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)當/D0E=90。時，四邊形BFED為菱形，理由見解析.【解析】試題分析：(1)利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法得出△DOE竺△BOF(ASA)；(2)首先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進而利用垂直平分線的性質(zhì)得出BE=ED，即可得出答案.試題解析：(1)T在ABCD中，O為對角線BD的中點，BO=DO，ZEDB=ZFBO，在厶EOD和厶FOB中^EDO=^OBFDO=00“FOD"FOB.△DOE竺△BOF(ASA)；(2)當ZDOE=90°時，四邊形BFDE為菱形，理由：T△DOE^△BOF，.OE=OF，又TOB=OD,.四邊形EBFD是平行四邊形，TZEOD=9O°,.EF丄BD，.四邊形BFDE為菱形.考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定.2.如圖，ABCD是正方形，點G是BC上的任意一點，DE丄AG于E，BFIIDE，交AG于F.求證：AF=BF+EF.【答案】詳見解析.【解析】【分析】由四邊形ABCD為正方形，可得出/BAD為90°,AB=AD，進而得到/BAG與ZEAD互余，又DE垂直于AG,得到ZEAD與ZADE互余，根據(jù)同角的余角相等可得出ZADE=ZBAF，利用AAS可得出△ABF^△DAE；利用全等三角的對應邊相等可得出BF=AE，由AF-AE=EF,等量代換可得證.【詳解】TABCD是正方形，AD=AB，ZBAD=90°TDE丄AG，ZDEG=ZAED=90°ZADE+ZDAE=90°又:ZBAF+ZDAE=ZBAD=90°，ZADE=ZBAF.TBFIIDE，ZAFB=ZDEG=ZAED.在厶ABF與厶DAE中，「ZAFB=ZAED<ZADE=ZBAF，、AD=AB△ABF竺△DAE(AAS).BF=AE.TAF=AE+EF，AF=BF+EF.點睛：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.3.⑴如圖①，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,過點0作直線EF丄BD,交AD于點E,交BC于點F,連接BE、DF,且BE平分ZABD.求證：四邊形BFDE是菱形；直接寫出ZEBF的度數(shù)；(2)把(1)中菱形BFDE進行分離研究，如圖②，點G、I分別在BF、BE邊上，且BG=BI,連接GD,H為GD的中點，連接FH并延長，交ED于點J,連接IJ、IH、IF、IG.試探究線段IH與FH之間滿足的關(guān)系，并說明理由；⑶把(1)中矩形ABCD進行特殊化探究，如圖③，當矩形ABCD滿足AB=AD時，點E是對角線AC上一點，連接DE、EF、DF，使厶DEF是等腰直角三角形，DF交AC于點G.請直接寫出線段AG、GE、EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)①詳見解析；②60°.(2)/H=FH；(3)EG2=AG2+CE2.【解析】【分析】①由△DOE^△BOF,推出EO=OF,TOB=OD,推出四邊形EBFD是平行四邊形，再證明EB=ED即可.②先證明/ABD=2ZADB,推出/ADB=30°,延長即可解決問題.IH=、込FH.只要證明厶/JF是等邊三角形即可.結(jié)論：EG2=AG2+CE2.如圖3中，將△ADG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM,先證明厶DEG^△DEM,再證明△ECM是直角三角形即可解決問題.【詳解】(1)①證明：如圖1中，ADIIBC,OB=OD,ZEDO=AFBO,在厶DOE和厶BOF中,rZEDO=ZFBO<OD=OB,ZEOD=ZBOF△doe里△BOF,.EO=OF,TOB=OD,.四邊形EBFD是平行四邊形,TEF±BD,OB=OD,.EB=ED,.四邊形EBFD是菱形.②TBE平分/ABD,ZABE=AEBD,TEB=ED,.ZEBD=ZEDB,.ZABD=2ZADB,TZABD+ZADB=90°,ZADB=30°,ZABD=60°,ZABE=ZEBO=ZOBF=30°,.ZEBF=60°.(2)結(jié)論：IH=、、云FH.理由：如圖2中，延長BE到M,使得EM=EJ，連接MJ.T四邊形EBFD是菱形，ZB=60°,.EB=BF=ED,DEIIBF,ZJDH=ZFGH,在厶DHJ和厶GHF中，2dhg=zghfDH=GH,ZJDH=ZFGH△DJ△GHF,DJ=FG,JH=HF,EJ=BG=EM=BI,.BE=IM=BF,TZMEJ=ZB=60°,.△MEJ是等邊三角形，MJ=EM=NI,ZM=ZB=60°在厶BIF和厶MJI中，?BI=MJZB=ZM,BF=IM.△BIF里△MJI,.IJ=IF,ZBFI=ZMIJ,THJ=HF,.IH丄JF,TZBFI+ZB/F=120°,ZMIJ+ZB/F=120°,ZJ/F=60°,.△J/F是等邊三角形，在RtA/HF中，TZ/HF=90°,Z/FH=60°,.ZF/H=30°,./H=-J3FH.(3)結(jié)論：EG2=AG2+CE2.理由：如圖3中，將△ADG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM,TZFAD+ZDEF=90°,.AFED四點共圓，ZEDF=ZDAE=45°,ZADC=90°,ZADF+ZEDC=45°,TZADF=ZCDM,ZCDM+ZCDE=45°=ZEDG,在厶DEM和厶DEG中，?DE=DE<ZEDG=ZEDM,、DG=DM△DEGZ△DEM,.GE=EM,TZDCM=ZDAG=ZACD=45°,AG=CM,ZECM=90°.EC2+CM2=EM2,TEG=EM,AG=CM,.GE2=AG2+CE2.【點睛】考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，學會轉(zhuǎn)化的思想思考問題.4.現(xiàn)有一張矩形紙片ABCD(如圖)，其中AB=4cm,BC=6cm，點E是BC的中點.將紙片沿直線AE折疊，點B落在四邊形AECD內(nèi)，記為點B',過E作EF垂直B'C,交BC于F.求AE、EF的位置關(guān)系；求線段BC的長，并求△BEC的面積.

【答案】（1）見解析；（2）b，ec=-25?【解析】【分析】（1）由折線法及點E是BC的中點，可證得厶B'EC是等腰三角形，再有條件證明/AEF=90°即可得到AE丄EF；（2）連接BBZ，通過折疊，可知ZEBBz=ZEBB由E是BC的中點，可得EB'=EC,ZECBz=ZEB'C，從而可證△BB'C為直角三角形，在RtAAOB和RtABOE中，可將OB,BB'的長求出，在RtABB'C中，根據(jù)勾股定理可將B'C的值求出.【詳解】（1）由折線法及點E是BC的中點，EB=EB'=EC,ZAEB=ZAEB，???△BEC是等腰三角形，又:EF丄BC.EF為ZB'EC的角平分線，即ZB'EF=ZFEC，.ZAEF=180°-（ZAEB+ZCEF）=90°,即ZAEF=90°,即AE丄EF；（2）連接BB交AE于點0,由折線法及點E是BC的中點,.EB=EB'=EC,ZEBB'=ZEBBZECB'=ZEB'C；又：△BBC三內(nèi)角之和為180°,zBB'C=90°；T點B'是點B關(guān)于直線AE的對稱點，.AE垂直平分BB'；在RtAA0B和RtAB0E中,B02=AB2-A02=BE2-(AE-A0)2將AB=4cm,BE=3cm,AE=5cm,A0=A0=16cm,12.B0=\AB2AO2=cm,5BB'=BB'=2B0=24Tcm18.在RtABBC中，B，C=\；BC2_BB，2由題意可知四邊形OEFB'是矩形,12EF=OB'=51812108x—=—5525【點睛】考查圖形的折疊變化及三角形的內(nèi)角和定理勾股定理的和矩形的性質(zhì)綜合運用.關(guān)鍵是要理解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化.5.如圖1,若分別以厶ABC的AC、BC兩邊為邊向外側(cè)作的四邊形ACDE和BCFG為正方形，則稱這兩個正方形為外展雙葉正方形.（1）發(fā)現(xiàn)：如圖2,當/C=90。時，求證：△ABC與氐DCF的面積相等.（2）引申：如果/CH90°時，（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，請結(jié)合圖1給出證明；若不成立，請說明理由；（3）運用：如圖3,分別以△ABC的三邊為邊向外側(cè)作的四邊形ACDE.BCFG和ABMN為正方形，則稱這三個正方形為外展三葉正方形?已知△ABC中，AC=3，BC=4.當ZC=。時，圖中陰影部分的面積和有最大值是.【答案】（1）證明見解析；（2）成立，證明見解析；（3）18.【解析】試題分析：（1）因為AC=DC,ZACB=ZDCF=90°,BC=FC，所以△ABd△DFC，從而△ABC與厶DFC的面積相等；（2）延長BC到點P,過點A作AP丄BP于點P；過點D作DQ丄FC于點Q.得到四邊形11ACDE,BCFG均為正方形，AC=CD,BC=CF,ZACP=ZDCQ.所以△APd△DQC.11所以'△ABC=SADFC；于是AP=DQ.又因為S“Bc=2BC?AP,所以'△ABC=SADFC；(3)根據(jù)(2)得圖中陰影部分的面積和是△ABC的面積三倍，若圖中陰影部分的面積和

有最大值，則三角形ABC的面積最大，當△ABC是直角三角形，即ZC是90度時，陰影部1分的面積和最大?所以S陰影部分面積和=3S“bc=3x23=18證明：在厶ABC與厶DFC中,AC=DC???{ZACB=ZDCF,BC=FC△ABC竺△DFC.??△ABC與厶DFC的面積相等；解：成立.理由如下：如圖，延長BC到點P,過點A作AP丄BP于點P；過點D作DQ丄FC于點Q.ZAPC=ZDQC=90°.???四邊形ACDE,BCFG均為正方形，AC=CD,BC=CF,ZACP+ZPCD=90°,ZDCQ+ZPCD=90°,ZACP=ZDCQ.ZAPC=ZDQC{ZACP=ZDCQ,AC=CD△APd△DQC(AAS),?AP=DQ.1又:1又:S“BC=2BC?AP，1沐DFC=2FC?DQ,解：根據(jù)(2)得圖中陰影部分的面積和是△ABC的面積三倍，若圖中陰影部分的面積和有最大值，則三角形ABC的面積最大，?當厶ABC是直角三角形，即ZC是90度時，陰影部分的面積和最大.陰影部分面積和=3S陰影部分面積和=3S△ABC=3X2X3X4=18-考點：四邊形綜合題6.已知：在矩形ABCD中，AB=10,BC=12，四邊形EFGH的三個頂點E、F、H分別在矩形ABCD邊AB、BC、DA上,AE=2.曲圖2如圖①，當四邊形EFGH為正方形時，求△GFC的面積；如圖②，當四邊形EFGH為菱形，且BF=a時，求△GFC的面積(用a表示)；在(2)的條件下，△GFC的面積能否等于2?請說明理由.【答案】(1)10；(2)12-a；(3)不能【解析】解：(1)過點G作GM丄BC于M.在正方形EFGH中，ZHEF=90°,EH=EF,ZAEH+ZBEF=90°.TZAEH+ZAHE=90°,ZAHE=ZBEF.又:ZA=ZB=90°,AHE竺△BEF.同理可證厶MFG竺△BEF.GM=BF=AE=2..FC=BC-BF=10.11--X10X2-10???過點G作GM丄BC交BC的延長線于M,連接HF.TADIIBC,???ZAHF=ZMFH.TEHIFG,???ZEHF=ZGFH.ZAHE=ZMFG.又TZA=ZGMF=90°,EH=GF,AHE竺△MFG.???GM=AE=2.115^GFC—-FC-GM--(12z￡??△GFC的面積不能等于2.說明一：t若gfc=2,則12—a=2,.a=10.此時，在△BEF中，EF=^BE1+BE1=^(10-2/+10z=在厶AHE中，冊=押T匸70=^EF2-AE2=JT麗^160>1.2.AH>AD,即點H已經(jīng)不在邊AD上，故不可能有S=2.△GFC說明二：△GFC的面積不能等于2.T點H在AD上,???菱形邊EH的最大值為VBF的最大值為7丁.又:函數(shù)沐gfc=12—a的值隨著a的增大而減小，二Sagfc的最小值為''■v?l.又GFC的面積不能等于2.7.已知邊長為1的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（與點A、C不重合），過點P作PE丄PB，PE交射線DC于點E,過點E作EF丄AC,垂足為點F.（1）當點E落在線段CD上時（如圖），求證：PB=PE；在點P的運動過程中，PF的長度是否發(fā)生變化？若不變，試求出這個不變的值，若變化，試說明理由；（2）當點E落在線段DC的延長線上時，在備用圖上畫出符合要求的大致圖形，并判斷上述（1）中的結(jié)論是否仍然成立（只需寫出結(jié)論，不需要證明）；（3）在點P的運動過程中，△PEC能否為等腰三角形？如果能，試求出AP的長，如果不【答案】（1）①證明見解析；②點PP在運動過程中，PF的長度不變，值為?。唬?）畫圖見解析，成立；（3）能，1.【解析】分析：（1）①過點P作PG丄BC于G,過點P作PH丄DC于H,如圖1.要證PB=PE，只需證到△PGB^△PHE即可；②連接BD,如圖2.易證△BOP^△PFE，則有BO=PF，只需求出BO的長即可.（2）根據(jù)條件即可畫出符合要求的圖形，同理可得（1）中的結(jié)論仍然成立.（3）可分點E在線段DC上和點E在線段DC的延長線上兩種情況討論，通過計算就可求出符合要求的AP的長.詳解：（1）①證明：過點P作PG丄BC于G,過點P作PH丄DC于H,如圖1.圖1T四邊形ABCD是正方形，PG丄BC,PH丄DC,ZGPC=ZACB=ZACD=ZHPC=45°.PG=PH,ZGPH=ZPGB=ZPHE=90°.TPE丄PB即ZBPE=90°,ZBPG=90°-ZGPE=ZEPH.在厶PGB和厶PHE中，^ZPGB=ZPHE<PG=PH,ZBPG=ZEPH△PGB竺△PHE(ASA),PB=PE.②連接BD,如圖2.T四邊形ABCD是正方形，二ZBOP=90°.TPE丄PB即ZBPE=90°,ZPBO=90°-ZBPO=ZEPF.TEF丄PC即ZPFE=90°,ZBOP=ZPFE.在厶BOP和厶PFE中，rZPBO=ZEPF<ZBOP=ZPFE、PB=PE△BOP竺△PFE(AAS),.BO=PF.T四邊形ABCD是正方形，OB=OC,ZBOC=90°,.BCs2OB.TBC=1,???OB^22.PF=22?

???點PP在運動過程中，PF的長度不變，值為空.2當點E落在線段DC的延長線上時，符合要求的圖形如圖3所示.同理可得：PB=PE,PF=(3同理可得：PB=PE,PF=(3)①若點E在線段DC上，如圖1.AD圈1TZBPE=ZBCE=90°,?ZPBC+ZPEC=180°.TZPBCV90°,?ZPEC>90°.若厶PEC為等腰三角形，則EP=EC.ZEPC=ZECP=45°,ZPEC=90°，與ZPEC>90。矛盾，?當點E在線段DC上時，△PEC不可能是等腰三角形.②若點E在線段DC的延長線上，如圖4.若厶PEC是等腰三角形,TZPCE=135°，?CP=CE，

ZCPE=ZCEP=22.5°.ZAPB=180°-90°-22.5°=67.5°.TZPRC=90°+ZPBR=90°+ZCER,ZPBR=ZCER=22.5°,ZABP=67.5°,ZABP=ZAPB.AP=AB=1.???AP的長為1.點睛：本題主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、四邊形的內(nèi)角和定理、三角形的內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)等知識，有一定的綜合性，而通過添加輔助線證明三角形全等是解決本題的關(guān)鍵.&已知點O是厶ABC內(nèi)任意一點，連接OA并延長到E,使得AE=OA，以O(shè)B,OC為鄰邊作OBFC，連接OF與BC交于點H,再連接EF.（1）如圖1,若厶ABC為等邊三角形，求證：①EF丄BC；②EF".'BC；（2）如圖2,若厶ABC為等腰直角三角形（BC為斜邊），猜想（1）中的兩個結(jié)論是否成立？若成立，直接寫出結(jié)論即可；若不成立，請你直接寫出你的猜想結(jié)果；（3）如圖3,若厶ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC,請你直接寫出EF與BC之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】（1）見解析；（2）EF丄BC仍然成立；埠妒_1（3）EF=「BC【解析】1試題分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到BH=HC='BC,OH=HF,再由等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BC,AH丄BC，根據(jù)勾股定理得到AH='BC,即可；1（2）由平行四邊形的性質(zhì)得到BH=HC=，BC,OH=HF,再由等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=BC,AH丄BC,根據(jù)勾股定理得到AH=BC，即可;1(3)由平行四邊形的性質(zhì)得到BH=HC」BC,oh=hf,再由等腰三角形的性質(zhì)和1”AB=AC=kBC得到AB=BC,AH丄BC,根據(jù)勾股定理得到AH=，BC,即可.試題解析：(1)連接AH,如圖1,T四邊形OBFC是平行四邊形,1BH=HC=】BC,OH=HF,T△ABC是等邊三角形,AB=BC,AH丄BC,在RtAABH中，AH2=AB2-BH2,站一（；/零AH=，、■-=BC,TOA=AE,OH=HF,.AH是厶OEF的中位線，1.AH=JEF,AHIIEF,EF丄BC,「BC=?EF,EF丄BC,EF=J：BC；(2)EF丄BC仍然成立，EF=BC，如圖2,ET四邊形OBFC是平行四邊形,11BH=HC=】BC,OH=HF,T△ABC是等腰三角形,abJbc,ah丄bc.在RtAABH中，AH2=AB2-BH2=g'BH)2-BH2=BH2,1AH=BH=?BC,TOA=AE,OH=HF,.AH是厶OEF的中位線,1.AH=‘EF,AHIIEF,11EF丄BC,】BC=?EF,EF丄BC,EF=BC；T四邊形T四邊形OBFC是平行四邊形,1BH=HC=:BC,OH=HF,T△ABC是等腰三角形，AB=kBC,AH丄BC,1)BC2,在RtAABH中，AH2=AB2-BH2=(kBC)2-C：BC)2=()BC2,AH=BH=BC,TOA=AE,OH=HF,.AH是厶OEF的中位線，1.AH=:EF,AHIIEF,1.1—-1EF丄BC,「BC=EF,.EF=Q'BC.考點：四邊形綜合題.9.如圖，在菱形ABCD中，AB=6,ZABC=60°,AH丄BC于點H.動點E從點B出發(fā)，沿線段BC向點C以每秒2個單位長度的速度運動.過點E作EF丄AB，垂足為點F.點E出發(fā)后，以EF為邊向上作等邊三角形EFG，設(shè)點E的運動時間為t秒，△EFG和厶AHC的重合部分面積為S.CE=(含t的代數(shù)式表示).求點G落在線段AC上時t的值.當S>0時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.點P在點E出發(fā)的同時從點A出發(fā)沿A-H-A以每秒個單位長度的速度作往復運動，當點E停止運動時，點P隨之停止運動，直接寫出點P在厶EFG內(nèi)部時t的取值范圍.32宀【答案】(1)6-2t；(2)t=2；(3)當‘VtW2時，S=t2+、’tW'；當2<t<3時，S=-&5護29/33F31224t2+2t-2；(4)7<t<%.【解析】試題分析：(1)由菱形的性質(zhì)得出BC=AB=6得出CE=BC-BE=6-2t即可；由菱形的性質(zhì)和已知條件得出厶ABC是等邊三角形，得出ZACB=60°，由等邊三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)得出ZGEF=60°,GE=EF=BE?sin60°仝’t，證出ZGEC=90°，由三角函數(shù)求GE出CE^；I"=t，由BE+CE=BC得出方程，解方程即可；3分兩種情況：①當■<t<2時，SMEFG的面積-△NFN的面積，即可得出結(jié)果；②當2<t<3時，由①的結(jié)果容易得出結(jié)論；3由題意得出t=?時，點P與H重合，E與H重合，得出點P在厶EFG內(nèi)部時，t的不等式，解不等式即可.試題解析：(1)根據(jù)題意得：BE=2t，???四邊形ABCD是菱形，BC=AB=6,CE=BC-BE=6-2t；(2)點G落在線段AC上時，如圖1所示：???四邊形ABCD是菱形，AB=BC,TZABC=60°,.△ABC是等邊三角形，ZACB=60°,T△EFG是等邊三角形，ZGEF=60°,GE=EF=BE?sin60°=」：t,TEF丄AB,ZBEF=90°-60°=30°,ZGEB=90°,.ZGEC=90°,GE呂CE==t,TBE+CE=BC,2t+t=6,解得：t=2；3（3）分兩種情況：①當：）<t<2時，如圖2所示:、=△EFG的面積-△NFN的面積=x（「\）2-^'：x（-：+2―'：）2=；t2+「l-3「12\M即S='t2+'、’t-3、’；當2<t<3時，如圖3所示:

TOC\o"1-5"\h\z7“S='t2+t-蘇I：(「：t-6影：)2,65護29芒33^即S=-上：t2+t-；/33(4)TAH=AB?sin60°=6x二=,：,3\、2\'=,3=2=',3??t=-時，點P與H重合，E與H重合，2"32"2??點P在厶EFG內(nèi)部時，--「V(t->)x2「V「t-：(2t-3)(2t-3),312解得：ytv'；312即點P在厶EFG內(nèi)部時t的取值范圍為：「VtV'.考點：四邊形綜合題.10.(本題14分)小明在學習平行線相關(guān)知識時總結(jié)了如下結(jié)論：端點分別在兩條平行線上的所有線段中，垂直于平行線的線段最短.小明應用這個結(jié)論進行了下列探索活動和問題解決.問題1：如圖1,在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3，P為AC邊上的一動點，以PB，PA為邊構(gòu)造AP□APBQ,求對角線PQ的最小值及PQ最小時小的值.在解決這個問題時，小明構(gòu)造出了如圖2的輔助線，則PQ的最小值為—，當PQ最小時APAC=一—;小明對問題1做了簡單的變式思考.如圖3,P為AB邊上的一動點，延長PA到點E,使AE=nPA(n為大于0的常數(shù)).以PE,PC為邊作dPCQE,試求對角線PQ長的最小值，并求PQ最小盒P時r的值；AS問題2：在四邊形ABCD中，ADIIBC,AB丄BC,AD=1,AB=2,BC=3.(1)如圖4,若；'為上任意一點，以為邊作；〔試