遞推公式求通項公式(練習)

遞推公式求通項公式(練習)遞推公式求通項公式(練習)遞推公式求通項公式(練習)V:1.0精細整理，僅供參考遞推公式求通項公式(練習)日期：20xx年X月由遞推公式求通項公式的常用方法由數列的遞推公式求通項公式是高中數學的重點問題，也是難點問題，它是歷年高考命題的熱點題。對于遞推公式確定的數列的求解，通常可以通過遞推公式的變換，轉化為等差數列或等比數列問題，有時也用到一些特殊的轉化方法與特殊數列。方法一：累加法形如an+1－an＝f(n)（n＝2,3,4,…）,且f(1)＋f(2)＋…＋f(n-1)可求，則用累加法求an。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后利用這種方法求解。例1：（07年北京理工農醫(yī)類）已知數列{an}中，a1＝2,an＋1＝an＋cn(c是常數，n＝1,2,3,…)且a1,a2,a3成公比不為1的等比數列（1）求c的值；（2）求{an}的通項公式方法二：累乘法形如eq\f(an+1,an)＝g(n)（n＝2,3,4…），且f(1)f(2)…f(n－1)可求，則用累乘法求an.有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例2：設{an}是首項為1的正項數列，且(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0(n＝1,2,3…)，求它的通項公式。方法三：構造新數列法構造新數列法：將遞推關系經過適當的恒等變形轉化為特殊數列的遞推關系（等差數列、等比數列、常數列或等差數列和等比數列的求和形式），以下類型均采用這種解法。類型一:an＋1＝Aan＋B(A,B∈R,A≠0)線性遞推關系當A≠0，B＝0時，an＋1＝Aan是以A為公比的等比數列；當A≠0，B≠0時，an＋1＝Aan＋B可變形為an＋1＋eq\f(B,A－1)＝A（an＋eq\f(B,A－1)），此時就構造出了{an＋eq\f(B,A－1)}這樣一個以a1＋eq\f(B,A－1)為首項，以A為公比的新的等比數列，從而求出an。例3：（07年全國理科卷）已知數列{an}中，a1＝2,an＋1＝（eq\r(2)－1）（an＋2），n＝1,2,3,…，求{an}的通項公式。類型二：an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均為常數)方法一：觀察所給的遞推公式，它一定可以變形為an＋1＋xqn+1＝p(an＋xqn),將遞推關系an＋1＝pan＋cqn待入得pan＋cqn＋xqn+1＝p(an＋xqn)解得x＝eq\f(c,p－q),則由原遞推公式構造出了an＋1＋eq\f(c,p－q)·qn+1＝p(an＋eq\f(c,p－q)·qn)，而數列{an＋eq\f(c,p－q)·qn}是以為首相以為公比的等比數列。方法二：將an＋1＝pan＋cqn兩邊分別除以qn+1,則有eq\f(an+1,pn+1)＝eq\f(an,pn)＋eq\f(cqn,pn+1)然后利用累加法求得?？梢妼τ谕粋€題型的構造的新數列類型可能不唯一，所以要注意巧妙構造。例4：（07年唐山二摸）在數列{an}中，a1＝eq\f(1,6)，an＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2)·eq\f(1,3n)(n∈n*,n≥2),求{an}的通項公式。類型三：an＋2＝pan＋1＋qan(其中p,q均為常數)方法：先把原遞推公式轉化為an＋2－san＋1=t(an＋1－san)，其中s,t滿足eq\b\lc\{(\a\al(s＋t＝p,s·t＝－q))，再利用等比數列來求解。例5：已知數列{an}中,a1=1,a2=2,an＋2＝eq\f(2,3)an＋1＋eq\f(1,3)an,求{an}的通項公式。（特征根法）類型四、同除法構建例6．已知數列中,,,求數列的通項公式.配套練習：1、已知數列{an}滿足a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝an＋eq\f(1,n2＋n),求an。2、（04年唐山二摸）已知數列{an}滿足a1＝1，2n-1an＝an－1(n∈N,n≥2)，求an。3、（06年福建卷）已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1（n≥2），求an。4、已知數列{an}中，a1＝eq\f(5,6)，an＋1＝eq\f(1,3)an＋(eq\f(1,2))n+1，求an。5、已知數列{an}中,a1=0,a2=2,a